二次函数y=ax²的图象与性质

第二章

二次函数二次函数的图象与性质第2课时1课堂讲解二次函数y=ax2的图象

二次函数y=ax2的性质

2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升回顾旧知1.抛物线y=x2与y=－x2的顶点是原点，对称轴是y轴.抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外)，它的开口向上，并且向上无限伸展；抛物线y=－x2在x轴的下方(除顶点外)，它的开口向

下，并且向下无限伸展.1知识点二次函数y=ax2的图象想一想知1－导在图中画出y=x2的图象.它与y=x2，y=2x2的图象有什么相同和不同？x…-4-3-2-101

234…y=x2在同一直角坐标系中画出函数y=x2和y=2x2的图像(1)列表(2)描点(3)连线12345x12345678910yo-1-2-3-4-5x…-2-1.5-1-0.500.511.52…y=2x28…20.500.524.58…4.58…20.500.524.58…4.5函数y=x2,y=2x2的图像与函数y=x2(图中虚线图形)的图像相比,有什么共同点和不同点?知1－讲当a＜0时，它的图象又如何呢？归纳知1－讲一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大.不同点：相同点：例1在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝－2x2和

y3＝

x2的图象，正确的是图中的()

知1－讲D知1－讲当x＝1时,y1,y2,y3的图象上的对应点分别是(1,2),(1,－2),(1，),可知,其中有两点在第一象限,

一点在第四象限,排除B,C；在第一象限内,y1的对应点(1,2)在上,y3的对应点(1，)在下,排除A.导引：1关于二次函数y＝3x2的图象，下列说法错误的是(

)A．它是一条抛物线B．它的开口向上，且关于y轴对称C．它的顶点是抛物线的最高点D．它与y＝－3x2的图象关于x轴对称知1－练（来自《典中点》）C2关于二次函数y＝2x2与y＝－2x2，下列叙述正确的有(

)①它们的图象都是抛物线；②它们的图象的对称轴都

是

y轴；③它们的图象都经过点(0，0)；④二次函数

y

＝2x2的图象开口向上，二次函数y＝－2x2的图象开口

向下；⑤它们的图象关于x轴对称．A．5个B．4个C．3个D．2个知1－练（来自《典中点》）A(中考·丽水)若二次函数y＝ax2的图象过点P(－2，4)，

则该图象必经过点(

)A．(2，4)

B．(－2，－4)

C．(－4，2)

D．(4，－2)知1－练（来自《典中点》）A函数y＝ax－2与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(

)知1－练（来自《典中点》）4A【2016·赤峰】函数y＝k(x－k)与y＝kx2，y＝(k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(

)知1－练（来自《典中点》）5C【2017·南宁】如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y＝x2(x≥0)和抛物线C2：y＝(x≥0)交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则

的值为(

)B.C.D.知1－练（来自《典中点》）6D2知识点二次函数y＝ax2的性质知2－讲1．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质如下表：函数y＝ax2图象开口方向开口大小顶点坐标对称轴a＞0向上|a|越大，开口越小(0，0)y轴(直线x＝0)a＜0向下|a|越小，开口越大(0，0)y轴(直线x＝0)知2－讲函数y＝ax2增减性最值a＞0当x＞0时，y随x的增大而增大当x＜0时，y随x的增大而减小当x＝0时，y最小值＝0a＜0当x＞0时，y随x的增大而减小当x＜0时，y随x的增大而增大当x＝0时，y最大值＝0续表：知2－讲例2

已知抛物线y＝4x2过点(x1，y1)和点(x2，y2)，当x1＜x2＜0

时，y1________y2.导引：方法一：不妨设x1＝－2，x2＝－1，

将它们分别代入y＝4x2中，得y1＝16，y2＝4，所以y1＞y2.

方法二：在平面直角坐标系中画出抛

物线y＝4x2，如图，显然y1＞y2.

方法三：因为a＝4＞0，x1＜x2＜0，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，所以y1＞y2.（来自《点拨》）＞总

结知2－讲（来自《点拨》）

方法一运用特殊值法，找出符合题目要求的x1和x2的值，计算出对应的y1和y2的值，再比较它们的大小；方法二运用数形结合思想，根据题意画出图象，利用图象来解题；方法三运用性质判断法，根据抛物线对应的函数表达式的特点，结合图象的性质进行判断．知2－讲导引：(1)由增减性可知a－2＜0，从而可求a的取值范围；(2)由于函数有最大值，所以其图象的开口方向向下，

从而得到3a－2＜0；例3根据下列条件分别求a的取值范围：(1)函数y＝(a－2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，

当x＜0时，y随x的增大而增大；(2)函数y＝(3a－2)x2有最大值；(3)抛物线y＝(a＋2)x2与抛物线y＝－

x2的形状相同；(4)函数y＝axa2＋a的图象是开口向上的抛物线．知2－讲导引：(3)由两抛物线的形状相同可知|a＋2|＝

，进而求

出a的值；(4)由其图象是开口向上的抛物线，可知

进而可求出a的值．解：(1)由题意得a－2＜0，解得a＜2.(2)由题意得3a－2＜0，解得a＜.(3)由题意得|a＋2|＝

，解得a1＝－

，a2＝－.(4)由题意得a2＋a＝2，解得a1＝－2，a2＝1，

由题知a＞0，∴a＝1.总

结知2－讲（来自《点拨》）

二次函数y＝ax2的图象和性质都是考查a的正负性，可以直接记性质也可以画草图.1

下列关于函数y＝36x2的叙述中，错误的是(

)A．图象的对称轴是y轴B．图象的顶点是原点C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．y有最大值2

(2016·玉林)抛物线y＝

x2，y＝x2，y＝－x2的共同性质是：①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y轴为对

称轴；④都关于x轴对称．其中正确的有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个知2－练（来自《典中点》）DB【2017·连云港】已知抛物线y＝ax2(a＞0)过A

(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定

正确的是(

)A．y1＞0＞y2

B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0

D．y2＞y1＞0知2－练（来自《典中点》）C4对于二次函数：①y＝3x2；②y＝

x2；③y＝

x2，它们的图象在同一坐标系中，开口大小的顺序用序号来表示应是(

)A．②>③>①B．②>①>③C．③>①>②D．③>②>①知2－练（来自《典中点》）A5若二次函数y＝－ax2，当x＝2时，y＝

；则当x＝－2时，y＝________．知2－练（来自《典中点》）1.画函数图象的步骤有哪些？2.二次函数y=ax2的图象有哪些性质？1知识小结已知二次函数y＝x2，在－1≤x≤4这个范围内，求函数的最值．易错点：不能准确地掌握二次函数y＝ax2的图象与性质2易错小结当x＝－1时，y＝(－1)2＝1；当x＝4时，y＝42＝16.∴在－1≤x≤4这个范围内，函数y＝x2