2022年北京市东城第50中高三二诊模拟考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设等比数列也｝的前〃项和为S,，则“％+4<2%”是“$2,1<0"的()

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

2.一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为()

710兀c2冗42乃

A.-B.---C.—D.-----

3333

3.设尸(力函数〃x)(x>0)的导函数，且满足,(%)>组立，若在AABC中，NA=,，则()

A./(sinA)sin2/(sinB)sin2AB./(sinC)sin2/(sinB)sin2C

C./(cosA)sin2B>/(sinB)cos2AD./(cosC)sin2B>/(sinB)cos2C

4.数列｛〃〃｝,满足对任意的〃£N+,均有。〃+斯+1+。〃+2为定值.若防=2,所3,“98=4,贝!J数列｛〃〃｝的前100项的和Sioo=()

A.132B.299C.68D.99

5.双曲线C：—--^=1(m>0),左焦点到渐近线的距离为2,则双曲线C的渐近线方程为()

5m

A.2x±5y=0B.2x±V?y=0C.氐±2y=()D.氐土y=()

6.已知函数/(x)=ebx-exb+c(b,c均为常数)的图象关于点(2,1)对称，则/(5)^(-1)=(

A.-2B.-1C.2D.4

7.已知复数2=号，则忖=()

A.1+zB.1-ZC.72D.2

8.下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是()

A.正方体B.球体

C.圆锥D.长宽高互不相等的长方体

9.复数2i(l+i)的模为().

1厂

A•一B.1C.2D.2V2

2

10.已知函数〃x+l)是偶函数，当xe(l,”)时，函数单调递减，设a=/(—；］,〃="3),c=/(O),

则a、b、c的大小关系为。

A.b<a<cB.c<h<dC.b<c<aD.a<b<c

11.已知数列<J-1，是公比为g的等比数列，且q〉O,若数列｛风｝是递增数列，则4的取值范围为()

A.(1,2)B.(0,3)C.(0,2)D.(0,1)

12.某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边,

任两盆锦紫苏不相邻的摆法共()种

A.96B.120C.48D.72

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在三棱锥P-ABC中，三条侧棱R4、PB、PC两两垂直，PB=PA+\,PA+PC=4,则三棱锥P—ABC外接

球的表面积的最小值为.

14.过点A(-3,2),3(-5,-2),且圆心在直线3x—2y+4=0上的圆的半径为.

15.(3/+上)的展开式中二项式系数最大的项的系数为(用数字作答).

16.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球

颜色不同的概率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知/(力=6sinx-cosx-cos2，xeR.

(1)求函数/(x)的单调递增区间；

3

(2)AABC的三个内角A、B、C所对边分别为。、b、c,若/(A)=—2且。=2,求AABC1面积的取值范围.

18.(12分)如图1,已知四边形8CZ)E为直角梯形，Z5=90SBE1/CD,且BE=2CD=23C=2,A为BE

的中点•将△£以沿A。折到位置(如图2),连结PC,尸8构成一个四棱锥P-ABC。.

图1图2

(I)求证AD，必；

(H)若B4_L平面ABCD.

①求二面角B-PC-D的大小；

②在棱PC上存在点M,满足丽=41(0W2W1),使得直线AM与平面PBC所成的角为45。，求义的值.

19.(12分)某商场为改进服务质量，在进场购物的顾客中随机抽取了200人进行问卷调查.调查后，就顾客“购物体

验”的满意度统计如下:

满意不满意

男4040

女8040

(1)是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关?

(2)若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了6人发放价值100元的购物券.若在获得了100元购物券的6

人中随机抽取2人赠其纪念品，求获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率.

ti(ad-be}

附表及公式：K2

(a+0)(c+d)(a+c)3+d)

P(K2>k)

00.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

20.(12分)已知集合4={1,2「..,〃},〃e"*，n>2,将A,,的所有子集任意排列，得到一个有序集合组

(”1，加2,其中机=2".记集合知人中元素的个数为4，k0N",k<m,规定空集中元素的个数为0.

⑴当“=2时，求q+a2"1---^4"的值；

(2)利用数学归纳法证明：不论〃(〃22)为何值，总存在有序集合组(M,加2,…，M,“)，满足任意ieN*,iWm—l,

都有•一4+1|=1.

21.(12分)已知关于x的不等式|x+m|-2x<0解集为［1,M)(m>0).

(1)求正数加的值；

2122

(2)设R+,且。+Z?+C=〃2,求证：—+—+—>1.

hca

22.(10分)近年来，随着“雾霾”天出现的越来越频繁，很多人为了自己的健康，外出时选择戴口罩，在一项对人们

雾霾天外出时是否戴口罩的调查中，共调查了120人，其中女性70人，男性5()人，并根据统计数据画出等高条形图

如图所示：

(1)利用图形判断性别与雾霾天外出戴口罩是否有关系并说明理由；

(2)根据统计数据建立一个2x2列联表；

(3)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩的关系.

_n(ad-bc)2

住：K2二-------------------------

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K)>k[}0.100.050.0100.005

攵02.7063.8416.6357.879

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

首先根据等比数列分别求出满足％+«3<24，$2,1<0的基本量，根据基本量的范围即可确定答案.

【详解】

{4}为等比数列，

若4+q<24成立，有q(T—24+1)<0,

因为2夕+120恒成立，

故可以推出4<0且

若$2,1<0成立，

当q=1时，有q<0,

当时，有」L_^_Z<0,因为一一>0恒成立，所以有4<0,

i-<?i-q

故可以推出4<0,geR,

所以“4+生<2%，，是“S2,T<0”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了等比数列基本量的求解，充分必要条件的集合关系，属于基础题.

2.B

【解析】

因为时针经过2小时相当于转了一圈的!，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案.

【详解】

因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2〃，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧

度数为一，x2»=-!乃.

63

故选：B

【点睛】

本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.

3.D

【解析】

根据广(x)>组工的结构形式，设g(x)=4,求导/(x)=(X):2f3,则g，(x)>0,g")在

XXV7X3

(0,+8)上是增函数，再根据在AA8C中，乙4=弓，得到0<N6<3,0<ZC<^,利用余弦函数的单调性，得

到cosNC>sin48,再利用g(x)的单调性求解.

【详解】

设g(x)=§，

所以g，(x)=x/(x)：2/(x).

因为当x＞（）时，/（尤）＞4乎,

>0,

x

所以g'(x)>0,g(尤)在(0,+8)上是增函数，

3717T7T

在AABC中，因为44=一，所以—,0<ZC<-,

444

JT)jrjr

一+NB,KO<ZB<—+ZB<—,

(4)42

(71、

所以sin/B<sin—+/B

U)

即cosZC>sin/B,

所f以(c'osf(sinB)

即/(cosCjsin?B>/(sinB)cos*234C

故选：D

【点睛】

本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

4.B

【解析】

由。“+”“+|+。”+2为定值，可得a“+3=a“，则｛凡｝是以3为周期的数列，求出4,4，生，即求S^.

【详解】

对任意的〃eN.,均有4+an+i+a.为定值，

（4+1+。，，+2+。，，+3）一（凡+为+1+。，，+2）=。,

故氏+3

.••{%}是以3为周期的数列，

故%=a?=2,a?=为8=4,%=%=3，

5]gQ=(q+&+/)+■,,+(佝7+/8+'Aw)+4oo=33(q+ci-,+%)+q

=33(2+4+3)+2=299.

故选：B.

【点睛】

本题考查周期数列求和，属于中档题.

5.B

【解析】

首先求得双曲线的一条渐近线方程而x-逐y=(),再利用左焦点到渐近线的距离为2,列方程即可求出加，进而求

出渐近线的方程.

【详解】

\yl

设左焦点为(-c,0),一条渐近线的方程为J晟x-逐y=0,由左焦点到渐近线的距离为2,可得

Jm+5

所以渐近线方程为/=±£,即为2x±V^y=0,

故选：B

【点睛】

本题考查双曲线的渐近线的方程，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.

6.C

【解析】

根据对称性即可求出答案.

【详解】

解：,••点(5,f(5))与点(-1,/(-D)满足(5-1)+2=2,

故它们关于点(2,1)对称，所以/(5)+/(-1)=2,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题.

7.C

【解析】

根据复数模的性质即可求解.

【详解】

2z

QzT+7

人黑心色

故选:C

【点睛】

本题主要考查了复数模的性质，属于容易题.

8.C

【解析】

根据基本几何体的三视图确定.

【详解】

正方体的三个三视图都是相等的正方形，球的三个三视图都是相等的圆，圆锥的三个三视图有一个是圆，另外两个是

全等的等腰三角形，长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形.

故选：C.

【点睛】

本题考查基本几何体的三视图，掌握基本几何体的三视图是解题关键.

9.D

【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解.

【详解】

解：•.•2i(l+i)=-2+2i,

•••复数2z(l+z)的模为7(-2)2+22=2痣.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题.

10.A

【解析】

根据〃x+l)图象关于y轴对称可知“X)关于x=1对称，从而得到“X)在(-8,1)上单调递增且/(3)=/(-1)；

再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.

【详解】

Qf(x+1)为偶函数.•./(x+1)图象关于)，轴对称

・••/(%)图象关于％=1对称

门€(1,+8)时，“X)单调递减.•.XG(-8,1)时，“X)单调递增

又/(3)=/(—1)且一1<一3<0.•./(—1)<即。<a<c

本题正确选项：A

【点睛】

本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的

单调性，通过自变量的大小关系求得结果.

11.D

【解析】

先根据已知条件求解出｛4｝的通项公式，然后根据｛4｝的单调性以及4〉0得到《满足的不等关系，由此求解出外的

取值范围.

【详解】

/、1

1-1

由已知得‘1=I(?)，则YT+r

氏+i

因为q>0,数列｛%｝是单调递增数列，

]_______1_______

所以%>为>0,贝

M)\3)(q

(1H1

化简得0<—1-<—1>所以0<q<l.

(qJ3a,

故选：D.

【点睛】

本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围,难度一般.已知数列单调性，可根据知,。田之间的大

小关系分析问题.

12.B

【解析】

间接法求解，两盆锦紫苏不相邻，被另3盆隔开有用阀，扣除郁金香在两边有2用A；,即可求出结论.

【详解】

使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有种，

然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有A；种，

根据分步乘法计数原理有扣除郁金香在两边，

排2盆虞美人、1盆郁金香有2周种，

再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有A；,

根据分步计数原理有2用A；,

所以共有2用=12()种.

故选:B.

【点睛】

本题考查排列应用问题、分步乘法计数原理，不相邻问题插空法是解题的关键，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.14万

【解析】

设=可表示出PB,PC,由三棱锥性质得这三条棱长的平方和等于外接球直径的平方，从而半径的最小值，得

外接球表面积.

【详解】

设PA=x则PC=x+1,PC=4—x,由PA,PB,PC两两垂直知三棱锥P-ABC的三条棱PA,PB,PC的棱长的平方

和等于其外接球的直径的平方.记外接球半径为/­,

,2r二,JX2+(X+1)2+(4-X)2=J3f-6x+17

当x=l时，2%=«,%“=半，S表=4兀(半)=14K.

故答案为：14%.

【点睛】

本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是掌握三棱锥的性质：三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球的直径的平方等

于这三条侧棱的平方和.

14.M

【解析】

根据弦的垂直平分线经过圆心，结合圆心所在直线方程，即可求得圆心坐标.由两点间距离公式，即可得半径.

【详解】

因为圆经过点A(-3,2),3(-5,-2)

修)=2

则直线AB的斜率为女

(-3)-(-5)

所以与直线AB垂直的方程斜率为

2

点A(-3,2),B(-5,-2)的中点坐标为M(<0)

所以由点斜式可得直线AB垂直平分线的方程为y=-1(x+4)，化简可得x+2y+4=0

而弦的垂直平分线经过圆心，且圆心在直线3x-2)，+4=0上,设圆心。(“力)

。+2。+4=0a=-2

所以圆心满足解得

3。-2。+4=0b=-l

所以圆心坐标为0(-2,-1)

则圆的半径为r=。4=_3+2f+(2+1产=回

故答案为：回

【点睛】

本题考查了直线垂直时的斜率关系，直线与直线交点的求法,直线与圆的位置关系，圆的半径的求法,属于基础题.

15.5670

【解析】

根据二项式展开的通项，可得二项式系数的最大项，可求得其系数.

【详解】

二项展开式一共有9项，所以由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第5项，系数为《34=567().

故答案为：5670

【点睛】

本题考查了二项式定理展开式的应用，由通项公式求二项式系数，属于中档题.

【解析】

试题分析：根据题意，记白球为A,红球为B,黄球为弓，。2,则

一次取出2只球，基本事件为A3、AC、AG、Bq、BC2>CC2共6种,

其中2只球的颜色不同的是AB、AC-AG、BC1、BO?共5种；

所以所求的概率是

考点：古典概型概率

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)(―q+A乃，§+A乃)(％eZ)；(2).

【解析】

(1)利用三角恒等变换思想化简函数)，=/(x)的解析式为/(x)=sin2x-"-1,然后解不等式

--+2k7T<2x--<-+2^(^eZ),可求得函数y=/(x)的单调递增区间；

262

327r

(2)由/(A)=-万求得A=?*,利用余弦定理结合基本不等式求出税的取值范围，再结合三角形的面积公式可求

得AABC面积的取值范围.

【详解】

/I、\G•c1+COS2X181c,•普冬「

(1)・.・f(x)=——sin2%------------------=——sin2%——cos2x-1=sin2x--------1,

v722222(6)

解不等式—1+2版•<2x—Vq+2br(keZ),解得一看+而•<x<。+丘(keZ).

(jrjr\

因此，函数y=/(x)的单调递增区间为一k7r,—+k/r\(k€Z)；

(2)由题意/(A)=sin(2A-高一1=一1，则sin(2A—看［=一1,

7t..7t1ITT71771..27r

*/0<?!<zr9----<2A-----<-----/.2A-----=—,解得A=—.

6669663

4

由余弦定理得4=/=〃+。2-28ccosA=〃+C2+/JC23匕C,y.-：bc>0,:.0<bc<-,

当且仅当/?=c时取等号,

所以，△ABC的面积S=gbcsinA=/bce[o，T].

【点睛】

本题考查正弦型函数单调区间的求解，同时也考查了三角形面积取值范围的计算，涉及余弦定理和基本不等式的应用，

考查计算能力，属于中等题.

2

18.(I)详见解析；(II)①120。，②2=()或兄=§.

【解析】

(I)可以通过已知证明出AO,平面将8,这样就可以证明出4)依；

(II)①以点A为坐标原点，分别以AHAD,AP为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，可以求出相应点的坐标，求

出平面P8C的法向量为后、平面PCD的法向量比，利用空间向量的数量积，求出二面角B-PC-O的大小；

②求出平面PBC的法向量，利用线面角的公式求出X的值.

【详解】

证明：(I)在图1中，•.•AB//QD,AB=CD,

.•.A3CD为平行四边形，.•.AO//BC,

•.N8=90°，：.AD±BE,

当△£/%沿折起时，AD±AB,ADLAE,即ADLAB,ADLPA,

又ABcAA=A,A6u面PA8,PAu面PA8；.AD1平面PAB,

又•.•PBu平面出8,.♦.ADLPB.

解：(II)①以点4为坐标原点，分别以48,AD,AP为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，由于A4J_平面48C。

则40,0,0),3(1,0,0),C(l,l,0),P(0,0,1),0(0,1,0)

PC=(1,1,-1),fiC=(0,L0),DC=(1,0,0),

设平面P8C的法向量为为=(X,y,z),

PCn=x+y-z=0

则取z=l，得历=(1,0,1),

BCn=y=0

设平面PCD的法向量比=(a,A,c),

m-PC-a+b-c

则〈取〃=1,得比=(0,1,1),

m-DC=a=0

设二面角8-PC—。的大小为e,可知为钝角,

c\m-n\11

则3"一丽=一岳双二-5'

•••二面角B-PC-D的大小为120".

②设AM与面P8C所成角为a,

AM=AP+PM=(0,0,1)+A(1,i,—1)—(A,2,1—A),

平面PBC的法向量为=(1,0,1),

•.,直线AM与平面尸8c所成的角为45，

【点睛】本题考查了利用线面垂直证明线线垂直，考查了利用向量数量积，求二面角的大小以及通过线面角公式

求定比分点问题.

Q

19.(1)有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关；(2)石.

【解析】

(1)由题得K?5.556>5.024,根据数据判断出顾客购物体验的满意度与性别有关；

(2)获得了100元购物券的6人中男顾客有2人，记为4,4；女顾客有4人，记为名，B2,BifB4.从中随机抽

取2人，所有基本事件有15个，其中仅有1人是女顾客的基本事件有8个，进而求出获得纪念品的2人中仅有1人是

女顾客的概率.

【详解】

解析：⑴由题得心200(40x40-80x40)2=—«5.556>5.024

120x80x80x1209

所以，有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关.

（2）获得了1（）0元购物券的6人中男顾客有2人，记为4，女顾客有4人，记为耳，层，层，B4.

从中随机抽取2人，所有基本事件有：（A，4），（4,4），（4，不），（4，国）,（4,均），（&用），（&,不），（演用）,

（4,d）,（4，旦）,（4闯,（4，旦）,（员闻,（员,旦）,（氏品），共15个.

其中仅有1人是女顾客的基本事件有:（4，4）,（A，是），（4，4），（4也），（&4），（4也）,（4，4），（4也）,

共8个.

Q

所以获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率P=1.

【点睛】

本小题主要考查统计案例、卡方分布、概率等基本知识，考查概率统计基本思想以及抽象概括等能力和应用意识，属

于中档题.

20.（1）4;⑵证明见解析.

【解析】

（1）当“=2时，集合A,,共有22=4个子集，即可求出结果；

⑵分类讨论，利用数学归纳法证明.

【详解】

（1）当“=2时，集合4共有22=4个子集，所以《+%+…+册=4；

2

⑵①当〃=2时，m=2=4»由⑴可知，q+%+…+%=4,

此时令4=1,%=2,。3=1，。4=。，

满足对任意i43（ieN"）,都有|4-4/=1,且4=0;

②假设当〃=%（%22）时，存在有序集合组（必,加2，）满足题意，且%=°，

则当〃=左+1时，集合4的子集个数为2H=2・2«个,

因为2-2k是4的整数倍，所以令4“=1，%+2=2,勺+3=1，匍+4=°，

且。2r=%+j+4（1</<2’-4）恒成立，

即满足对任意区21一1,都有同一aM|=1,且％“=°，

综上，原命题得证.

【点睛】

本题考