等差数列的性质与应用（解析版）

等差数列的性质与应用一、等差数列的性质探究探究点1从函数的角度探究在直角坐标系中，画出通项公式为an＝3n－5的数列的图象，这个图象有什么特点？(1)数列an＝3n－5为等差数列，其图象的孤立的点在_____直线y＝3x－5上．(2)数列an＝3n－5的公差是直线y＝3x－5的____斜率____．梳理探究：(1)等差数列与一次函数：等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，当d＝0时，an是关于n的常数函数；当d≠0时，an是关于n的一次函数．(2)公差d与斜率：等差数列{an}的图象上的点(n，an)是分布在一条直线上的孤立的点，而这条直线的斜率即为公差d，即：(3)等差数列的单调性：等差数列{an}的公差为d，①当d＞0时，数列{an}为递增数列；②当d＜0时，数列{an}为递减数列；③当d＝0时，数列{an}为常数列．探究点2从项与序号的关系探究思考并完成下列问题：(1)等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d.那么an＝a2＋__(n－2)__d；an＝a3＋__(n－3)_d；an＝am＋_(n－m)_d.(m＜n)等差数列{an}中，a1＋an与a2＋an－1，a3＋an－2有什么关系？答案：a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2梳理探究：（1）两项关系：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)（2）多项关系：设{an}为等差数列，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)特别地，（1）设{an}为等差数列，若m＋n＝2p，则有am＋an＝2ap.(m，n，p∈N*)（2）在有穷等差数列{an}中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…探究点3从等差数列“子数列”的性质探究思考并完成下列问题：(1)将数列的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，首项、公差各是多少？答案：是等差数列，首项为am＋1，公差为d.取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，首项、公差各是多少？答案：是等差数列，首项为a1，公差为2d.(3)取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列呢？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？答案：是等差数列，首项为a7，公差为7d.梳理探究：1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有{pan＋qbn}是公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)。即等差数列的线性运算所得到的数列依然等差。2．若{an}是公差为d的等差数列，则有{an＋an＋k}也是等差数列(k为常数,k∈N*)。即等差数列的“依次每k项的和”所得到的数列依然等差。二、等差数列性质的应用例1已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．解：设这三个数为a－d，a，a＋d，由已知可得：由①得a＝6，代入②得d＝±2，∵该数列是递增的，∴d＝－2舍去，∴这三个数为4,6,8.解题感悟：1.“对称设项”技巧：三个数等差，设这三个数为a－d，a，a＋d；四个数等差，设这四个数为a3d，a－d，a＋d，a+3d；……先设中间项，奇数个项设中间一项为a，公差为d;偶数个项设中间两项a－d，a＋d,公差为2d.2.等差数列单调性应用：性质1.（等差数列的单调性）等差数列{an}的公差为d，①d＞0{an}为递增数列；②d＜0{an}为递减数列；③d＝0{an}为常数列．从函数的角度看，等差数列的单调性是其中最重要的性质，涉及等差数列“项”的变化、范围、最值等问题一般可以考虑此性质的应用。例2在等差数列{an}中，an=m，am=n，且n≠m，求am+n.解题感悟：求等差数列中的特定项，有两种方法：①基本量法：利用通项公式an=a1+(n1)d,解方程（组）求首项和公差，写出特定项（此法具有一般性，有时运算稍繁）；（任意给出两项，使用此法可简化运算）自主练习：1.在等差数列{an}中，若a6＝10，a15＝1，求a21的值．答案：5例3(1)数列{an}为等差数列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an}的通项公式；(2)在等差数列{an}中，a15＝8，a60＝20，求a75的值．解：(1)∵a2＋a8＝2a5，∴3a5＝9，∴a5＝3.∴a2＋a8＝a3＋a7＝6，①又a3a5a7＝－21，∴a3a7＝－7.②，由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1.∴a3＝－1，d＝2，或a3＝7，dan＝a3＋(n－3)d得an＝2n－7或an＝－2n＋13.问题转化为：等差数列{bn}中，b1问题转化为：等差数列{bn}中，b1=a15=8，b4=a60=20，求：b5=？。由通项公式直接求得a75=24解二：∵{an}为等差数列，观察可得：4a60=a15+3a75，（中项性质）∴4×20=8+3×a75,求得a75=24解三：∵{an}为等差数列，可得：a15，a30，a45，a60，a75，依次成等差数列{bn}，问题转化为：等差数列{bn}中，b1=a15=8，b4=a60=20，求：b5=？。由通项公式直接求得a75=24解题感悟：涉及等差数列中的项与项的和，可考虑使用等差数列的“中项性质”求解。性质2.（中项性质）设{an}为等差数列，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)更一般的结论：在等差数列中，若“项数相同”且“序号之和相等”，则“项与项的和相等”。常用结论：设{an}为等差数列，若m＋n＝2p，则有am＋an＝2ap.(m，n，p∈N*)自主练习：2.在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，那么a2＋a8等于多少？提示：a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，故a2＋a8＝2a5＝180.例4在等差数列{an}中，若a6＝10，a15＝1，求a21的值．答案：5a15＝2a6+3a21，求得a21＝5注意：设{an}为等差数列，am，an，ap是任意三项(m，n，p∈N*)，存在唯一λ∈Q，使得ap=λam+(1λ)an.解题感悟：构造“子数列”，利用相应性质求解（如本题例3（2）解法三）性质3.若数列{kn}是等差数列，则数列{akn}也是等差数列．即在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列．自主练习：3．在等差数列{an}中，若a5＝a，a10＝b，则a15＝___2b－a_____.4.在等差数列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，则a13＝(A)A．9B．12C．15D．185.已知数列{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)从数列{an}中，依次取出偶数项，组成一个新数列{bn}，求数列{bn}的通项公式．解：(1)设等差数列的公差为d.因为a1＋a2＋a3＝12，所以a2＝4，因为a8＝6，所以d＝2，所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n，故an＝2n.(2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n.所以数列{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列，故bn＝4n.22b－a例5在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．解：∵(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝3d，(a3＋a6＋a9)－(a2＋a5＋a8)＝3d，∴a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列．∴a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝2×33－39＝27.解题感悟：按“依次每k项和”构造新数列，利用相应性质求解性质4．若{an}是公差为d的等差数列，则有{an＋an＋k}也是等差数列(k为常数,k∈N*)。即等差数列的“依次每k项的和”所得到的数列依然等差。按“依次每k项和”构造新数列：①a1+a3,a3+a5,a5+a7,……；②a1+a4+a7,a2+a5+a8,……；③a2+2a4+3a6,a3+2a5+