四川省泸州市四校2023-2024学年高一上学期第一次联考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1四川省泸州市四校2023-2024学年高一上学期第一次联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，所以.故选：C.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】“，”否定是“，”.故选：B.3.不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为的根为或，所以的图象如图所示：所以解集为，即.故选：C4.已知：，下列式子正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对于A项，因为，又，，所以，，所以，所以，故A项错误；D项正确；对于B项，，又，，所以，所以，所以，故B项错误；对于C项，，又，，所以，所以，所以，故C项错误.故选：D5.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】对于A项，因为定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，又在上单调递减，在上单调递增，故A项不成立；对于B项，定义域为，，所以是偶函数，又，所以在上单调递增，故B项成立；对于C项，定义域为，，所以为奇函数，又在上为增函数，故C项不成立；对于D项，定义域为，，所以为偶函数，又在上单调递减，故D项不成立.故选：B.6.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知，.故选：A.7.“函数在区间上不单调”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为的对称轴为，所以由题意知，，解得，又，所以“在区间上不单调”是“”的必要不充分条件.故选：B.8.已知：定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为定义在R上的偶函数在上单调递增，且，所以在上递减，且，所以当或时，，当或时，，由，得或，所以或，所以不等式的解集为.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设，，若，则实数m的值可以为（）A. B.0 C. D.【答案】ABD【解析】因为，所以，又，所以①当时，，②当时，，解得，③当时，，解得，综述：或或.故选：ABD.10.若，且，则下列不等式中不恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】A选项；当时，，即，而当时，，故A选项不是恒成立；B选项；当，时，则，当且仅当时等号成立，而当，时，则，，则，故B选项不是恒成立；C选项；当，时，则，当，时，则，，所以，故C选项不恒成立；D选项：因为，则，，由基本不等式，当且仅当时取等号，故D选项恒成立.故选：ABC.11.给出以下四个判断，其中错误的是（）A.函数在上单调递减B.关于“的不等式有解”的一个必要不充分条件是C.函数，定义域，值域，则满足条件的集合A有3个D.若函数，且，则实数m的值为2【答案】AD【解析】对于A项，因为，所以由复合函数单调性可知，在上单调递增，故A项错误；对于B项，因为，，所以，，令，则在上单调递减，所以，所以，又，所以“的不等式有解”的一个必要不充分条件是，故B项正确；对于C项，令，解得，所以或或，故C项正确；对于D项，因为，所以（或），所以，解得或，故D项错误.故选：AD.12.设对于定义域为D的函数，若存在区间，使得同时满足：①在上单调②当的定义域为时，的值域也为，则区间为该函数的一个“和谐区间”．下列说法正确的是（）A.区间是的一个“和谐区间”B.函数的所有“和谐区间为，，C.若函数存在“和谐区间”，则实数k的取值范围是D.函数存在“和谐区间”【答案】BCD【解析】对于A项，因为在上单调递减，值域为，不符合题意，故A项错误；对于B项，在上单调递增，则，所以，是的两个不等的实根，又，，，所以的所有“和谐区间”为、、，故B项正确；对于C项，因为存在“和谐区间”，在上单调递增，所以，所以，是的两个不等的实根，令，（），则在上有两个不等的实根，令，对称轴为，则，解得，故C项正确；对于D项，因为在，上单调递增，则，所以，是的两个不等的实根，又或，所以，，又，所以存在“和谐区间”为，故D项正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.给出函数，如下表，则________.x123434212168【答案】1【解析】由题知，，所以.故答案为：1.14.已知：，则的值域为________.【答案】【解析】当时，在上单调递增，所以；当时，；当时，，综述：的值域为.故答案为：.15.若函数，使不等式成立，则实数a的取值范围为________.【答案】【解析】因为函数，使不等式成立，所以在上有解，所以，，因为，所以，所以当时，取得最小值，所以，即实数a的取值范围为，故答案为：.16.已知：，集合B是关于x的不等式的解集，若，则实数m的取值范围为________.【答案】【解析】因为，所以，所以①当时，解得，此时，满足，所以符合，②当，即或，当时，不等式变为，解得，此时，不满足，所以不符合；当时，不等式变为，解得，此时，满足，所以符合，③当，即或，令，设的两个不等的实根为，，（），则，因为，所以在上有两个不等的实根，所以，解得，综述：.故答案为：.四．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.设全集，集合，集合．（1）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围；（2）若，求实数a的取值范围．解：（1）因为是的充分条件，所以，因为，，所以，解得，故实数a的取值范围为.（2）①当时，满足，所以，解的；②当时，因为，，且，所以，解得，综上所述：实数a的取值范围.18.已知函数．（1）用定义法证明函数在上单调递增；（2）若函数在定义域上为奇函数，求不等式的解集．解：（1）证明：任取设，，且，则，因为，所以，，所以，所以，所以，故在上单调递增.（2）因为函数在定义域上为奇函数，则，所以，所以，即，所以，由得：，即，所以或，解得或，所以不等式的解集为.19.已知：二次函数的图象的对称轴为，与x轴的一个交点为，函数有最大值4．（1）求函数的解析式；（2）求关于x的不等式的解集．解：（1）∵二次函数的图象的对称轴为，与x轴的一个交点为，∴的图象与x轴的两个交点为、，∴设，又因为的图象过点，所以，即，所以函数的解析式为.（2）由得：，∴，当时，，原不等式的解集为，当时，解得，原不等式的解集为，当时，解得，原不等式的解集为，综上，时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为.20.设函数．（1）若时，恒成立，求的取值范围；（2）若实数a，b均为正数，且满足条件，求的最小值．解：（1）若时，即对恒成立，即，又，当且仅当，即时等号成立，所以，即，故得取值范围.（2）由，即，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值．21.佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）.若每台机器售价万元，且该机器能全部卖完.（1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式；（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.解：（1）当时，；当时，，∴（2）当时，；当时，取最大值万元；当时，，当且仅当时，取等号，综上所述，当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.22.对于函数，存在实数，使成立，则称为关于参数m的不动点．（1）当，时，求关于参数1的不动点；（2）当，时，函数在上存在两个关于参数m的相异的不动点，试求参数m的取值范围；（3）对于任意的，总存在，使得函数有关于参数m（其中）的两个相异的不动点，试求m的取值范围．解：（1）当，时，，令，可得即，解得或，所以当，时，关于参数1的