安徽省芜湖市2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（解析版）VIP

PAGEPAGE1安徽省芜湖市2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，已知，，则的模为（）A.1 B. C. D.3【答案】B【解析】，，则所以故选：B.2.如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，所以，所以.故选：A3.若过点P(3,2m)和点Q(,2)的直线与过点M(2,)和点N(,4)的直线平行，则m的值是（）A. B. C.2 D.－2【答案】B【解析】由，即，得.经检验知，符合题意故选：B.4.已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为（）A.－6 B.6 C.4 D.10【答案】A【解析】因为直线与直线垂直,所以,解得,又垂足为,代入两条直线方程可得,解得,,则.故选5.已知圆关于直线对称，则（）A.0 B.2 C.4 D.6【答案】B【解析】因为圆的圆心为又因为圆关于直线对称，即，所以故选：B6.若为圆的弦的中点，则直线的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设圆的圆心为O，坐标为（1，0），根据圆的垂径定理可知：，因为，所以，因此直线方程为，故本题选D.7.已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A.m<－1或1<m< B.1<m<2C.m<－1或1<m<2 D.m<2【答案】A【解析】+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则，取交集：m<－1或1<m<．故选：A．8.已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意椭圆，为两个焦点，可得，则①，即，由余弦定理得，，故，②联立①②，解得：，而，所以，即，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线：，则下列结论正确的是（）A.直线的倾斜角是B.若直线：，则C.点到直线的距离是1D.过点与直线平行的直线方程是【答案】ACD【解析】对于A，直线的斜率为，故倾斜角是，故A正确，对于B，直线的斜率为，两直线斜率乘积为1，不垂直，故B错误，对于C，由点到直线的距离公式得，故C正确，对于D，过点与直线平行的直线方程为，得，故D正确，故选：ACD10.已知圆，下列说法正确的是（）A.圆心为 B.半径为2C.圆与直线相离 D.圆被直线所截弦长为【答案】BD【解析】将圆化为标准方程得，可知圆心，半径，故A错误，B正确；由圆心到直线的距离，即，直线与圆相切，故C错误；圆心到直线的距离为，由圆的弦长公式，可得，所以D正确.故选：BD.11.已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）A.点到右焦点的距离的最大值为9B.焦距为10C.若，则的面积为9D.的周长为20【答案】AC【解析】由椭圆的方程得：.对A当点为椭圆的左顶点时，点到右焦点的距离的最大，且为9，故A正确；对B.焦距为B错误；对C.由题意得：，①由椭圆定义得：，即，②②-①得：，的面积为，故C正确对D，的周长为，故D错误；故选：AC12.如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（）A.直线平面B.三棱锥的体积为定值C.异面直线与所成角的取值范围是D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】ABD【解析】在选项A中，∵，，，且平面，∴平面，平面，∴，同理，，∵，且平面，∴直线平面，故A正确；在选项B中，∵，平面，平面，∴平面，∵点在线段上运动，∴到平面的距离为定值，又的面积是定值，∴三棱锥的体积为定值，故B正确；在选项C中，∵，∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角.易知等边三角形，当为的中点时，；当与点或重合时，直线与直线的夹角为.故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为1，则，，，，所以，.由A选项正确：可知是平面的一个法向量，∴直线与平面所成角的正弦值为：，∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确.故选：ABD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.过直线与的交点，且垂直于直线的直线的斜截式方程为_______.【答案】【解析】由方程组，解得，即直线与的交点为，因为所求直线垂直于直线，所以其斜率为，则直线方程为，所以直线的斜截式方程为.故答案为：14.两圆与的公切线有___________条.【答案】3【解析】圆整理可得：，可得圆心的坐标为：，半径；的圆心坐标，半径；所以圆心距，所以可得两个圆外切，所以公切线有3条，故答案为：3．15.如图，在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．【答案】【解析】以A为原点，在平面内过点A作的垂线为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，在正三棱柱中，，，则，故,,设异面直线与所成角为，所以,∴异面直线与所成角的余弦值为,故答案为：.16.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为__________.【答案】【解析】由题意椭圆C：，M为椭圆C上任意一，N为圆E：上任意一点，故，当且仅当共线时等号成立，故，当且仅当共线时等号成立，而，故，即的最小值为，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在四棱锥中，底面为菱形，和为正三角形，为的中点．（1）证明：平面．（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．解：（1）连接，交于点，连接．因为为菱形，所以为的中点．因为为的中点，所以为的中位线，所以．因为平面平面，所以平面．（2）在正中，连接，，则．因，所以，所以．因为，平面，所以平面．所以平面，所以平面平面，平面平面，过点作于点，平面，则平面.，所以，又，，则，,.如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则．设平面的法向量为，因为，所以令，得．设平面的法向量为，因为，所以令，得．因为，所以平面与平面夹角的余弦值为．18.如图，在直三棱柱中，，．（1）求证：；（2）求点到平面的距离．解：（1）建立直角坐标系，其中为坐标原点.依题意得，因为，所以.（2）设是平面的法向量，由得所以，令，则，因为，所以到平面的距离为.19.已知的三个顶点分别为，，.（1）求边上的高所在直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程.解：（1）由题意得，且，所以.则边上的高所在直线的方程为，化简得.（2）由题知的中点，所以，则边上的中线所在直线的方程为，化简得.20.已知圆C：和定点，直线l：（）.（1）当时，求直线l被圆C所截得的弦长；（2）若直线l上存在点M，过点M作圆C的切线，切点为B，满足，求m的取值范围.解：（1）圆C：，圆心，半径，当时，直线l的方程为，所以圆心C到直线l的距离，故弦长为.（2）设，则，由，，得.化简得，所以点M的轨迹是以为圆心，8为半径的圆.又因为点M在直线l：上，所以与圆D有公共点，所以，解得，所以m的取值范围是.21.若椭圆的离心率为，且经过点