浙江省温州市普通高中2024届高三上学期第一次适应性考试数学试题（解析版）

PAGEPAGE1浙江省温州市普通高中2024届高三上学期第一次适应性考试数学试题选择题部分一、选择题1.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以，故选：B.2.设复数对应点在第四象限，则复数对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】由复数对应的点在第四象限，则设，由得，由，得复数对应的点在第二象限.故选：B.3.动点到定点的距离与到定直线：的距离的比等于，则动点的轨迹方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】根据题意可得，平方化简可得，进而得，故选:A.4.已知向量，，则在上的投影向量的坐标是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】在上的投影向量为，故选：B.5.已知离散型随机变量的分布列如下表所示.则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由分布列可得，，故选：D6.若函数，的值域为，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根据题意可知若，则可得；显然当时，可得，由的值域为，利用三角函数图像性质可得，解得，即的取值范围是.故选：D.7.已知为等比数列，则“”是“，是任意正整数”的（）A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件【答案】C【解析】因为为等比数列，则若，则，则所以，是的充分条件；又根据已知可知，约去可得因为为等比数列，所以，所以，所以当为等比数列时，是的充分条件；故选：C8.如图，所有棱长都为1的正三棱柱，，点是侧棱上的动点，且，为线段上的动点，直线平面，则点的轨迹为（）A.三角形（含内部） B.矩形（含内部）C.圆柱面的一部分 D.球面的一部分【答案】A【解析】如下图所示：首先保持在线段上不动，假设与重合根据题意可知当点在侧棱上运动时，若点在点处时，为的中点，此时由可得满足，当点运动到图中位置时，易知，取，可得，取棱上的点，满足，根据三角形相似可得三点共线，当点在侧棱上从点运动到点时，点轨迹即为线段；再研究当点在线段上运动，当点在线段上从点运动到点时，点的轨迹是线段，当点在线段上从点运动到点时，点的轨迹是线段，因此可得，当点是侧棱上运动时，在线段上运动时，点的轨迹为及其内部的所有点的集合；即可得的轨迹为三角形（含内部）.故选：A.二、选择题9.在一次数学考试中，某班成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.图中所有小长方形的面积之和等于1 B.中位数的估计值介于100和105之间C.该班成绩众数的估计值为97.5 D.该班成绩的极差一定等于40【答案】ABC【解析】对于A，由频率分布直方图的性质可知，图中所有小长方形的面积之和等于1，即A正确；对于B，易知组距为，前两组成绩所占的频率为，前三组成绩所占的频率为，由中位数定义可得其估计值介于100和105之间，即B正确；对于C，由图可知频率最高的成绩区间，取中间值为代表可知班成绩众数的估计值为97.5，即C正确；对于D，由图可知成绩最高区间为，最低区间为，但最高分和最低分不一定分别为，所以其成绩极差不一定为40，即D错误；故选：ABC10.已知平面平面，则下列结论一定正确的是（）A.存在直线平面，使得直线平面B.存在直线平面，使得直线平面C.存在直线平面，直线平面，使得直线直线D.存在直线平面，直线平面，使得直线直线【答案】BCD【解析】A.若存在直线平面，使得直线平面，则，故错误；B.当时，又，所以，故正确；C.当时，，故正确；D.当时，，故正确；故选：BCD11.若圆与直线相切，且与圆相切于点，则圆的半径为（）A.5 B.3 C. D.【答案】BD【解析】圆的圆心为，半径为1，圆与圆相切于点，则圆心在轴，设圆心为，则由题意，解得或，时，半径为，时，半径为，故选：BD．12.定义在上的函数的导函数为，对于任意实数，都有，且满足，则（）A.函数为奇函数B.不等式的解集为C.若方程有两个根，，则D.在处的切线方程为【答案】AC【解析】对于A，，由可得，所以，且定义域为，故为奇函数，A正确，由于，所以为常数，则又在中，令，则，故，故，所以，对于B,可得，又，故，则，故B错误，对于C，为单调递增函数，而为开口向上，且对称轴为的二次函数，且是的两个交点，的两个交点设为，则，且，又为单调递增函数，所以，所以，C正确，由得，所以在处的切线方程为，D错误，故选：AC.非选择题部分三、填空题13.已知，则______（用表示）.【答案】【解析】，故答案为：14.______.【答案】82【解析】可得两式和的结果为82，故答案为：82.15.与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的体积为______.【答案】【解析】由题意，画出圆台的直观图，其中为圆台的母线长，，分别为上、下底面的圆心，点为内切球的球心，点为球与圆台侧面相切的一个切点.则由题意可得：，.因此可得：内切球半径，即得内切球的体积为.故答案为：.16.斜率为1的直线与双曲线（）交于两点，点是曲线上的一点，满足，和的重心分别为，的外心为，记直线，，的斜率为，，，若，则双曲线的离心率为______.【答案】【解析】若直线与双曲线有两个交点，设的中点为，联立方程组，整理得，可得，则，又由在直线上，可得，所以，所以，即直线与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线的斜率之积为定值，如图所示，取的中点，因为的重心在中线上，的重心在中线上，所以，，可得，即，又由，可得，可得因为，且的外心为点，则为线段的中点，可得，因为，所以，所以，所以，所以.故答案为：.四、解答题17.已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，，平面.（1）求证：；（2）若四棱锥的体积为2，求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：∵平面，平面，∴，过点作，由为等腰梯形，，故，所以，即，即，平面，∴平面，平面，故.（2）解：方法一:，∵,，∴.如图，建立空间直角坐标系，，，，，,设平面法向量为，则，，取，得同理，设面法向量为，则，，取，得，由题意，.设平面与平面的夹角为，则，方法二：，∵,，∴.∵平面，平面，∴平面平面，过作，则平面垂足，平面，则,过作的垂线，垂足为，连，由于平面,所以平面,平面，故，则为所求二面角夹角平面角.，所以,,，，.18.设的三个内角，，所对的边分别为，，，且.（1）若，求的最小值；（2）求的值.解：（1）由余弦定理知，方法1：所以，当时取等，此时为正三角形.故的最小值为.方法2：所以，当时取等.故的最小值为.（2）方法1：因为.所以原式方法2：因为，原式综上所述：.19.等差数列的前项和为，，.（1）求；（2）记为数列的前项和，若，且是以2为公差的等差数列，求数列的通项公式.解：（1）解一：设等差数列的公差为，则，由可得，即，解得，，故.解二：由得，故，则故，则.（2）解一：由题意知，则，移项平方得，则可得是首项为3，公差为2的等差数列，则，可得，则，当时，，故，故.解二：由题意可设（是常数），则，平方相减可得，则，可得，则，当时，，故，故.20.已知（）.（1）求导函数的最值；（2）试讨论关于的方程（）的根的个数，并说明理由.解：（1）∵，记∴，解得：当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的最大值等于.（2）方法1：由，即，即.令，∴，由解得：∴在上单调递增，在上单调递减，∴，且所以：当时，方程无解；当时，方程有1个解；当时，方程有2个解.方法2：由，即，即.令，，∴，由解得：∴在上单调递增，在上单调递减，∴，且所以：当时，方程无解；当时，方程有1个解；当时，方程有2个解.方法3：由，即，两边取对数得：，即.令，所以由，解得当时，，单调递增，当时，，单调递减所以当，即时，方程无解；当，即时，方程有1个解；当，即时，方程有2个解.21.已知抛物线的焦点为，抛物线上的点处的切线为.（1）求的方程（用，表示）；（2）若直线与轴交于点，直线与抛物线交于点，若为钝角，求的取值范围.解：（1）解法1：抛物线：即，则，则在处切线的斜率为，所以，：，即.解法2：（1）设切线方程为，与抛物线：联立得，，（*）因为直线与抛物线相切，故方程（*）的判别式即，解得，所以，：，即.（2）易知，.设直线：，.代入抛物线方程得，故，，因为为钝角，所以，即，即，（*）因为，不等式（*）即，解得，所以.22.某电子器件由若干个相同的电子模块构成，每个电子模块由4个电子元件按如图所示方式联接，其中每个电子元件导通的概率均为0.9.（1）求每个电子模块导通的概率（保留两位有效数字）；（2）已知某电子器件由20个相同的电子模块构成，系统内不同电子模块彼此独立，是否导通互不影响，当且仅当电子器件中不低于50%的电子模块处于导通状态时，电子器件才能正常工作.若在该电子器件中再添加两个相同的电子模块，试判断新电子器件较原电子器件正常工作的概率是增加还是减小？请说明理由.解：（1）该电子模块导通即电子1、4必须导通且电子2、3至少要有一个导通，所以.（2）设为原电子器件中导通的子模块的个数，，则新电子器件正常工作即原电子器件中至少有11个电子模块导