山东省潍坊市2024届高三上学期期中考试数学试题（解析版）

PAGEPAGE1山东省潍坊市2024届高三上学期期中考试数学试题一、单项选择题1.已知向量，若，则实数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为向量，且，所以，解得，故选：A.2.若“，”为真命题，则实数的取值范围为（）A B. C. D.【答案】D【解析】，，只需的最小值小于即可，由于的最小值为，故.故选：D.3.已知集合，则满足的实数的个数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，因为，所以或，当时，，此时集合中有两个1，所以不合题意，舍去，当时，得或，当时，集合和集合中均有两个1，所以不合题意，舍去，当时，，符合题意，综上，，所以满足的实数的个数为1，故选：B.4.北京故宫博物院展示着一件来自2200年前的宝物——秦诏文权（如图1）.此文权下部呈圆台形，上部为鼻钮，被誉为最美、最具文化、最有政治和历史意义的文物之一.某公司仿照该文权制成一纸镇（如图2），已知该纸镇下部的上、下底面半径分别为，，高为，则该纸镇下部的侧面积与体积分别为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为圆台纸镇下部的上、下底面半径分别为，，高为，所以圆台的母线为长，则该纸镇下部的侧面积为，该纸镇下部的体积为.故选：C.5.设等差数列的前项和为，且公差不为，若，，构成等比数列，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为是等差数列的前项和，所以，得，因为，，成等比数列，所以，设等差数列的首项为，公差为，则，因为，解得，，，所以.故选：D.6.已知则，，大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，，所以，，所以，所以，故选：B.7.设函数，则方程的实根个数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，则方程即，当时，；当时，；当时，若，则，符合题意；若，则，不合题意；当时，若，则，符合题意；若，则，符合题意，即方程的实根个数为3，故选：B.8.已知其中则（）A B. C. D.【答案】C【解析】因为，，得，所以，所以，，所以，因为，，得，所以，，，所以，所以.故选：.二、多项选择题9.在正方体中，直线平面，直线平面，直线平面，则直线的位置关系可能是（）A.两两垂直 B.两两平行C.两两相交 D.两两异面【答案】ACD【解析】对于A，当l为，m为，n为时，两两垂直，A正确；对于B，不妨假设，和不重合，因为平面，平面，则平面，又平面，平面平面，故，则，又平面，平面，故，则，即不可能两两平行，B错误；对于C，当l为，m为，n为时，两两相交，C正确；对于D，当l为，m为，n为时，两两异面，D正确，故选：ACD.10.已知函数，把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（）A.是奇函数B.的图象关于直线对称C.在上单调递增D.不等式的解集为【答案】AB【解析】A选项，，由于的定义域为R，且，故为奇函数，A正确；B选项，，故的图象关于直线对称，B正确；C选项，时，，其中在上不单调，故在上不单调，故C错误；D选项，，则，则，故，D错误.故选：AB.11.已知，为方程的两个实根，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由题意得：，，，；对于A项：，因为：，所以：，所以得：，当且仅当时取等号，故A项正确；对于B项：由，所以得：，故B项错误；对于C项：，所以得：，故C项正确；对于D项：当时取等号，故D项正确.故选：ACD.12.已知正项数列满足：，则（）A. B.是递增数列C. D.【答案】BCD【解析】由得，即，解得，因为正项数列，所以，故A错误；因为，又正项数列，所以，即，因此是递增数列，故B正确；由上可知，，所以，即，故C正确；因为，即，所以，，，…，，因此，，即，故D正确.故选：BCD.三、填空题13.已知点，将向量绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标为_____.【答案】【解析】，设，由题意得，所以，解得或，由图可知，所以，故答案为：.14.诺沃尔（Knowall）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年……人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔年出现一次.从现在（2023年）开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为_________.【答案】【解析】由题意可知：彗星出现的年份构成一个公差为，首项为的等差数列，所以，令，即，解得，又，所以、、、，所以从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为次.故答案为：.15.已知函数是上的偶函数，为奇函数，若，则_______.【答案】【解析】是奇函数，故，且，偶函数，故，则，，函数周期为，，故，，即，，，，，故，.故答案为：.16.如图为几何体的一个表面展开图，其中的各面都是边长为的等边三角形，将放入一个球体中，则该球表面积的最小值为______；在中，异面直线与的距离为_________.【答案】【解析】因为的各面都是边长为的等边三角形，所以结合图像可知，几何体是由两个相同的正四棱锥共底构成.正四棱锥中将放入一个球体中，当球恰好外接时该球表面积的最小值，此时球半径为，该球表面积的最小值为，因为正方形的对角线的交点,平分与，所以四边形为平行四边形，则,而与相交构成平面，则异面直线与的距离即点到平面的距离，三棱锥的体积,令点到平面的距离为，则，解得，异面直线与的距离为.故答案为：，.四、解答题17.已知函数.（1）判断的奇偶性，并证明；（2）解不等式.解：（1）因为定义域为，所以有，即，所以的定义域为，关于原点对称，又因为，所以函数在定义域上为偶函数.（2），所以即因为所以故只需即解得所以不等式的解集为.18.已知函数（其中均为常数，）的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）求函数在上的值域.解：（1）由图象知，记周期为T，则所以所以又因为所以得因为所以所以；（2）因为所以所以所以所以函数的值域为19.在四棱柱中，底面是矩形，.（1）证明：平面⊥平面；（2）求二面角的余弦值.（1）证明：设中点为,连接，，因为得，因为所以又所以在中，所以故为直角三角形，因为，平面，平面，故平面，因为平面，所以平面平面；（2）解：如图，以为坐标原点，分别以方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系故，，，，则﹚设平面的一个法向量为则，即令,则，设平面的一个法向量为则即令则，，由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为20.为方便居民休闲娱乐，某市计划在一块三角形空地上修建一个口袋公园，如图所示.在公园内部计划修建景观道路（道路的宽度忽略不计)，已知把三角形空地分成两个区域，区域为儿童娱乐区，区域为休闲健身区.经测量，米，米.若儿童娱乐区每平方米的造价为元，休闲健身区每平方米的造价为元，景观道路每米的造价为元.（1）若，求景观道路的长度；（2）求为何值时，口袋公园的造价最低？解：（1）在中，，则，，所以在中，，由正弦定理得，，所以景观道路的长度为米.（2）设，在中，，所以又所以所以投资总额因为当且仅当即时取等号.所以当时，取最小值.所以当为时，口袋公园造价最低.21.设为数列的前项和，（1）求的通项公式；（2）若数列的最小项为第项，求；（3）设数的前项和为，证明：.（1）解：由题意知，当时，当时，符合上式，所以；（2）解：由（1）知，，，所以，当且仅当即时，等号成立.所以数列的最小项为第一项，故；（3）证明：由（1）知时，记，设为数列的前项和，则时，时，，因为所以综上，22.已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在定义域上存在极值，求的取值范围；（3）若恒成立，求.解：（1）当时，，，故切点坐标为，又因为，则切线斜率，所以切线方程为，即.（2），函数定义域为，，所以当时，恒成立，不符合题意.当时，令，，所以时，在定义域上单调递增，，因为，所以，当时，，所以在上存在极值点当时，，，所以为的极值点.当时，，因为，，故所以在上存在极值点.综上所述，的取值范围是.（3）恒成立，得，设则，令，则①当时，在时，，，所以