高一数学同步课时作业(人教A版2019必修第二册)第六章平面向量及其应用单元测试B卷(原卷版+解析)

第六章平面向量及其应用单元测试卷（B卷）(时间：120分钟，满分150分)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列等式中不正确的是()A.eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(BC,\s\up7(―→))＋eq\o(CD,\s\up7(―→))＋eq\o(DA,\s\up7(―→))＝0B.eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(AC,\s\up7(―→))＝eq\o(BC,\s\up7(―→))C．0·eq\o(AB,\s\up7(―→))＝0 D．λ(μa)＝(λμ)a2．设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则()A．a⊥b B．|a|＝|b|C．a∥b D．|a|＞|b|3．设向量a＝(－3,4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，\f(8,5))) B．(－6,8)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，－\f(8,5))) D．(6，－8)4．设a，b，c为非零向量，若p＝eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＋eq\f(c,|c|)，则|p|的取值范围为()A．[0,1] B．[1,2]C．[0,3] D．[1,3]5．已知平面向量a，b的夹角为eq\f(2π,3)，且|a|＝3，|b|＝2，则a·(a－2b)＝()A．3 B．9C．12 D．156．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，c＝(4,5)，若(a＋λb)⊥c，则实数λ＝()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．－2 D．27．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是()A．(2，＋∞) B．(－∞，0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))8．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则eq\o(AF,\s\up7(―→))＝()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up7(―→))B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up7(―→))C.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(AD,\s\up7(―→))D.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(―→))9．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2eq\r(2)，c＝2，coseq\f(A,2)＝eq\f(\r(14),4)，则b＝()A．1 B.eq\r(3)C．2 D．410．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求职”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c2a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2＋a2－b2,2)))2)))，现有周长为10＋2eq\r(7)的△ABC满足sinC∶sinA∶sinB＝2∶3∶eq\r(7)，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为()A．6eq\r(3) B．4eq\r(7)C．8eq\r(7) D．12二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)11．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为()A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－naC．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n12．对于△ABC，有如下命题，其中正确的有()A．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形B．若sinA＝cosB，则△ABC为直角三角形C．若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则△ABC为钝角三角形D．若AB＝eq\r(3)，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为eq\f(\r(3),4)或eq\f(\r(3),2)13．给出下列四个命题，其中正确的选项有()A．非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角是30°B．若(eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(AC,\s\up7(―→)))·(eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(AC,\s\up7(―→)))＝0，则△ABC为等腰三角形C．若单位向量a，b的夹角为120°，则当|2a＋xb|(x∈R)取最小值时x＝1D．若eq\o(OA,\s\up7(―→))＝(3，－4)，eq\o(OB,\s\up7(―→))＝(6，－3)，eq\o(OC,\s\up7(―→))＝(5－m，－3－m)，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是m＞－eq\f(3,4)三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)14．平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)·(a－2b)＝－7，则向量a，b的夹角为________．15．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.16．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________．17．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.四、解答题(本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18．(本小题满分12分)已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.19.(本小题满分14分)如图所示，平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(―→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(―→))＝b，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且BF＝eq\f(1,3)BC.(1)以a，b为基底表示向量eq\o(AM,\s\up7(―→))与eq\o(HF,\s\up7(―→))；(2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求eq\o(AM,\s\up7(―→))·eq\o(HF,\s\up7(―→)).20．(本小题满分14分)已知正方形ABCD，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.21．(本小题满分14分)已知海岛A四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A在北偏东75°，航行20eq\r(2)海里后，见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？22．(本小题满分14分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asineq\f(A＋C,2)＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．23．(本小题满分14分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，又点A(8,0)，B(n，t)，C(ksinθ，t)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤θ≤\f(π,2))).(1)若eq\o(AB,\s\up7(―→))⊥a，且|eq\o(AB,\s\up7(―→))|＝eq\r(5)|eq\o(OA,\s\up7(―→))|，求向量eq\o(OB,\s\up7(―→))；(2)若向量eq\o(AC,\s\up7(―→))与向量a共线，当k＞4，且tsinθ取最大值为4时，求eq\o(OA,\s\up7(―→))·eq\o(OC,\s\up7(―→)).第六章平面向量及其应用单元测试卷（B卷）(时间：120分钟，满分150分)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列等式中不正确的是()A.eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(BC,\s\up7(―→))＋eq\o(CD,\s\up7(―→))＋eq\o(DA,\s\up7(―→))＝0B.eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(AC,\s\up7(―→))＝eq\o(BC,\s\up7(―→))C．0·eq\o(AB,\s\up7(―→))＝0 D．λ(μa)＝(λμ)a解析：选Beq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(AC,\s\up7(―→))＝eq\o(CB,\s\up7(―→))＝－eq\o(BC,\s\up7(―→))，故B不正确．故选B.2．设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则()A．a⊥b B．|a|＝|b|C．a∥b D．|a|＞|b|解析：选A法一：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2，∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，∴a·b＝0，∴a⊥b.故选A.法二：利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD中，设eq\o(AB,\s\up7(―→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(―→))＝b，由|a＋b|＝|a－b|，知|eq\o(AC,\s\up7(―→))|＝|eq\o(DB,\s\up7(―→))|，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故选A.3．设向量a＝(－3,4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，\f(8,5))) B．(－6,8)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，－\f(8,5))) D．(6，－8)解析：选D因为向量b与向量a方向相反，所以可设b＝λa＝(－λa,4λ)，λ<0，则|b|＝eq\r(9λ2＋16λ2)＝eq\r(25λ2)＝5|λ|＝－5λ＝10，所以λ＝－2，所以b＝(6，－8)．故选D.4．设a，b，c为非零向量，若p＝eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＋eq\f(c,|c|)，则|p|的取值范围为()A．[0,1] B．[1,2]C．[0,3] D．[1,3]解析：选Ceq\f(a,|a|)，eq\f(b,|b|)，eq\f(c,|c|)分别为a，b，c方向上的单位向量，∴当a，b，c同向时，|p|取得最大值3，且|p|的最小值为0.故选C.5．已知平面向量a，b的夹角为eq\f(2π,3)，且|a|＝3，|b|＝2，则a·(a－2b)＝()A．3 B．9C．12 D．15解析：选Da·b＝3×2×coseq\f(2π,3)＝－3，∴a·(a－2b)＝a2－2a·b＝9－2×(－3)＝15.故选D.6．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，c＝(4,5)，若(a＋λb)⊥c，则实数λ＝()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．－2 D．2解析：选C因为a＝(1,2)，b＝(－2,3)，所以a＋λb＝(1－2λ，2＋3λ)，又(a＋λb)⊥c，所以(a＋λb)·c＝0，即4(1－2λ)＋5(2＋3λ)＝0，解得λ＝－2.故选C.7．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是()A．(2，＋∞) B．(－∞，0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析：选D由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk，m>0，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b>c，,a＋c>b，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2k＋1>2mk，,3mk>mk＋1，))∴k>eq\f(1,2).故选D.8．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则eq\o(AF,\s\up7(―→))＝()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up7(―→))B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up7(―→))C.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(AD,\s\up7(―→))D.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(―→))解析：选D根据题意得eq\o(AF,\s\up7(―→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up7(―→))＋eq\o(AE,\s\up7(―→)))，又eq\o(AC,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(AD,\s\up7(―→))，eq\o(AE,\s\up7(―→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(―→))，所以eq\o(AF,\s\up7(―→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(AD,\s\up7(―→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(―→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(―→)).故选D.9．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2eq\r(2)，c＝2，coseq\f(A,2)＝eq\f(\r(14),4)，则b＝()A．1 B.eq\r(3)C．2 D．4解析：选D∵a＝2eq\r(2)，c＝2，coseq\f(A,2)＝eq\f(\r(14),4)，∴cosA＝2cos2eq\f(A,2)－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(14),4)))2－1＝eq\f(3,4)，∴由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得(2eq\r(2))2＝b2＋22－2×b×2×eq\f(3,4)，整理得b2－3b－4＝0，∴解得b＝4或－1(舍去)．故选D.10．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求职”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c2a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2＋a2－b2,2)))2)))，现有周长为10＋2eq\r(7)的△ABC满足sinC∶sinA∶sinB＝2∶3∶eq\r(7)，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为()A．6eq\r(3) B．4eq\r(7)C．8eq\r(7) D．12解析：选A∵sinC∶sinA∶sinB＝2∶3∶eq\r(7)，则c∶a∶b＝2∶3∶eq\r(7)，∵△ABC周长为10＋2eq\r(7)，即a＋b＋c＝10＋2eq\r(7)，∴c＝4，a＝6，b＝2eq\r(7)，所以S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c2a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2＋a2－b2,2)))2)))＝6eq\r(3).故选A.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)11．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为()A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－naC．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n解析：选AB对于A和B属于数乘对向量与实数的分配律，正确；对于C，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；对于D，若a＝0，则m，n没有关系，错误．故选A、B.12．对于△ABC，有如下命题，其中正确的有()A．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形B．若sinA＝cosB，则△ABC为直角三角形C．若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则△ABC为钝角三角形D．若AB＝eq\r(3)，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为eq\f(\r(3),4)或eq\f(\r(3),2)解析：选CD对于A：sin2A＝sin2B，∴A＝B⇒△ABC是等腰三角形，或2A＋2B＝π⇒A＋B＝eq\f(π,2)，即△ABC是直角三角形．故A错误；对于B：由sinA＝cosB，∴A－B＝eq\f(π,2)或A＋B＝eq\f(π,2).∴△ABC不一定是直角三角形，B错误；对于C：sin2A＋sin2B<1－cos2C＝sin2C，∴a2＋b2<c2.∴△ABC为钝角三角形，C正确；对于D：如图所示，由正弦定理，得sinC＝eq\f(c·sinB,b)＝eq\f(\r(3),2).而c>b，∴C＝60°或C＝120°.∴A＝90°或A＝30°.∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4).D正确．故选C、D.13．给出下列四个命题，其中正确的选项有()A．非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角是30°B．若(eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(AC,\s\up7(―→)))·(eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(AC,\s\up7(―→)))＝0，则△ABC为等腰三角形C．若单位向量a，b的夹角为120°，则当|2a＋xb|(x∈R)取最小值时x＝1D．若eq\o(OA,\s\up7(―→))＝(3，－4)，eq\o(OB,\s\up7(―→))＝(6，－3)，eq\o(OC,\s\up7(―→))＝(5－m，－3－m)，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是m＞－eq\f(3,4)解析：选ABCA中，令eq\o(OA,\s\up7(―→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(―→))＝b.以eq\o(OA,\s\up7(―→))，eq\o(OB,\s\up7(―→))为邻边作平行四边形OACB.∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴四边形OACB为菱形，∠AOB＝60°，∠AOC＝30°，即a与a＋b的夹角是30°，故A正确．B中，∵(eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(AC,\s\up7(―→)))·(eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(AC,\s\up7(―→)))＝0，∴|eq\o(AB,\s\up7(―→))|2＝|eq\o(AC,\s\up7(―→))|2，故△ABC为等腰三角形．故B正确．C中，∵(2a＋xb)2＝4a2＋4xa·b＋x2b2＝4＋4xcos120°＋x2＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，故|2a＋xb|取最小值时x＝1.故C正确．D中，∵eq\o(BA,\s\up7(―→))＝eq\o(OA,\s\up7(―→))－eq\o(OB,\s\up7(―→))＝(3，－4)－(6，－3)＝(－3，－1)，eq\o(BC,\s\up7(―→))＝eq\o(OC,\s\up7(―→))－eq\o(OB,\s\up7(―→))＝(5－m，－3－m)－(6，－3)＝(－1－m，－m)，又∠ABC为锐角，∴eq\o(BA,\s\up7(―→))·eq\o(BC,\s\up7(―→))＞0，即3＋3m＋m＞0，∴m＞－34.又当eq\o(BA,\s\up7(―→))与eq\o(BC,\s\up7(―→))同向共线时，m＝12，故当∠ABC为锐角时，m的取值范围是m＞－34且m≠12.故D不正确．故选A、B、C.三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)14．平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)·(a－2b)＝－7，则向量a，b的夹角为________．解析：(a＋b)·(a－2b)＝|a|2－a·b－2|b|2＝1－a·b－8＝－7，∴a·b＝0，∴a⊥b.故a，b的夹角为eq\f(π,2).答案：eq\f(π,2)15．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.解析：|5a－b|＝eq\r(|5a－b|2)＝eq\r(5a－b2)＝eq\r(25a2＋b2－10a·b)＝eq\r(25＋9－10×1×3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝7.答案：716．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________．解析：法一：由向量三角不等式得，|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)－(a－b)|＝|2b|＝4.又eq\f(|a＋b|＋|a－b|,2)≤eq\r(\f(a＋b2＋a－b2,2))＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(5)，∴|a＋b|＋|a－b|的最大值为2eq\r(5).法二：设a，b的夹角为θ.∵|a|＝1，|b|＝2，∴|a＋b|＋|a－b|＝eq\r(a＋b2)＋eq\r(a－b2)＝eq\r(5＋4cosθ)＋eq\r(5－4cosθ).令y＝eq\r(5＋4cosθ)＋eq\r(5－4cosθ)，则y2＝10＋2eq\r(25－16cos2θ).∵θ∈[0，π]，∴cos2θ∈[0,1]，∴y2∈[16,20]，∴y∈[4,2eq\r(5)]，即|a＋b|＋|a－b|的最小值为4，最大值为2eq\r(5).答案：42eq\r(5)17．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.解析：如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1(km)．由正弦定理得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，∴BC＝eq\f(1,sin60°)·sin15°＝eq\f(\r(6)－\r(2),2\r(3))(km)．设C到直线AB的距离为d，则d＝BC·sin75°＝eq\f(\r(6)－\r(2),2\r(3))×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq\f(\r(3),6)(km)．答案：eq\f(\r(3),6)四、解答题(本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18．(本小题满分12分)已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.解：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，∴a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2；当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，∴a－b＝(2，－4)，∴|a－b|＝eq\r(4＋16)＝2eq\r(5).综上所述，|a－b|为2或2eq\r(5).19.(本小题满分14分)如图所示，平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(―→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(―→))＝b，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且BF＝eq\f(1,3)BC.(1)以a，b为基底表示向量eq\o(AM,\s\up7(―→))与eq\o(HF,\s\up7(―→))；(2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求eq\o(AM,\s\up7(―→))·eq\o(HF,\s\up7(―→)).解：(1)由已知得eq\o(AM,\s\up7(―→))＝eq\o(AD,\s\up7(―→))＋eq\o(DM,\s\up7(―→))＝eq\f(1,2)a＋b.连接AF(图略)，∵eq\o(AF,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(BF,\s\up7(―→))＝a＋eq\f(1,3)b，∴eq\o(HF,\s\up7(―→))＝eq\o(HA,\s\up7(―→))＋eq\o(AF,\s\up7(―→))＝－eq\f(1,2)b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))＝a－eq\f(1,6)b.(2)由已知得a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－6，从而eq\o(AM,\s\up7(―→))·eq\o(HF,\s\up7(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋b))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,6)b))＝eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(11,12)a·b－eq\f(1,6)|b|2＝eq\f(1,2)×32＋eq\f(11,12)×(－6)－eq\f(1,6)×42＝－eq\f(11,3).20．(本小题满分14分)已知正方形ABCD，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.证明：如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)(1)eq\o(BE,\s\up7(―→))＝eq\o(OE,\s\up7(―→))－eq\o(OB,\s\up7(―→))＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)，eq\o(CF,\s\up7(―→))＝eq\o(OF,\s\up7(―→))－eq\o(OC,\s\up7(―→))＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)，∵eq\o(BE,\s\up7(―→))·eq\o(CF,\s\up7(―→))＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，∴eq\o(BE,\s\up7(―→))⊥eq\o(CF,\s\up7(―→))，即BE⊥CF.(2)设P(x，y)，则eq\o(FP,\s\up7(―→))＝(x，y－1)，eq\o(CF,\s\up7(―→))＝(－2，－1)，∵eq\o(FP,\s\up7(―→))∥eq\o(CF,\s\up7(―→))，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.同理由eq\o(BP,\s\up7(―→))∥eq\o(BE,\s\up7(―→))，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2，解得x＝eq\f(6,5)，∴y＝eq\f(8,5)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(8,5))).∴eq\o(AP,\s\up7(―→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)))2＝4＝eq\o(AB,\s\up7(―→))2.∴|eq\o(AP,\s\up7(―→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(―→))|，即AP＝AB.21．(本小题满分14分)已知海岛A四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A在北偏东75°，航行20eq\r(2)海里后，见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？解：如图所示，在△ABC中，依题意得BC＝20eq\r(2)(海里)，∠ABC＝90°－75°＝15°，∠BAC＝60°－∠ABC＝45°.由正弦定理，得eq\f(AC,sin15°)＝eq\f(BC,sin45°)，所以AC＝eq\f(20\r(2)sin15°,sin45°)＝10(eq\r(6)－eq\r(2))(海里)．故A到航线的距离为AD＝ACsin60°＝10(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(\r(3),2)＝(15eq\r(2)－5eq\r(6))(海里)．因为15eq\r(2)－5eq\r(6)>8，所以货轮无触礁危险．22．(本小题满分14分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asineq\f(A＋C,2)＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC