山东省新高考联合质量测评2024届高三上学期12月联考数学试题（含答案）

山东新高考联合质量测评12月联考试题高三数学2023.12本卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置。2．选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用2B铅笔作答，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。保持卡面清洁，不折叠、不破损。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．若为虚数单位，复数，则等于（）A． B． C． D．3．已知，，，则与的夹角为（）A． B． C． D．4．将半径为3，圆心角为的扇形卷成一个圆锥的侧面，则圆锥的体积为（）A． B． C． D．5．设函数（且）在区间单调递减，则a的取值范围是（）A． B． C． D．6．设函数（）的导函数的最大值为2，则在上的最小值为（）A． B． C． D．7．记非常数数列的前n项和为，设甲：是等比数列；乙：（，1，且），则（）A．甲是乙的充要条件 B．甲是乙的充分不必要条件C．甲是乙的必要不充分条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件8．已知，，，且，则的值为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知一组数据，，…，是公差不为0的等差数列，若去掉数据，则所剩下的数据的（）A．平均数不变 B．中位数不变 C．标准差不变 D．极差不变10．根据《中华人民共和国噪声污染防治法》，城市噪音分为工业生产噪音，建筑施工噪音、交通运输噪音和生活环境噪音等四大类。根据不同类型的噪音，又进一步细化了限制标准。通常我们以分贝（dB）为单位来表示声音大小的等级，30～40分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病．如果强度为v的声音对应的分贝数为（dB），那么满足：．对几项生活环境的分贝数要求如下，城市道路交通主干道：60～70dB，商业、工业混合区：50～60dB，安静住宅区、疗养院：30～40dB．已知在某城市道路交通主干道、工商业混合区、安静住宅区测得声音的实际强度分别为，，，则（）A．B．C．若声音强度由降到，需降为原来的D．若要使分贝数由40提高到60，则声音强度需变为原来的100倍11．已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意x，都满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（）A． B．为奇函数C．关于点对称 D．12．已知正四棱锥的侧棱长是x，正四棱锥的各个顶点均在同一球面上，若该球的体积为，当时，正四棱锥的体积可以是（）A． B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2024年第6届U23亚洲杯将在卡塔尔举行．现将甲、乙，丙、丁四名志愿者分配到6个项目中参加志愿活动，且每名志愿者只能参加1个项目的志愿活动，则有且只有3人分到同一项目中的情况有种．（用数字作答）14．若将上底面半径为2，下底面半径为4的圆台型木块，削成体积最大的球，则该球的表面积为．15．设函数（）在区间内恰有两个零点，则的取值范围是．16．函数的所有零点之和为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．（1）求内角B的大小；（2）若△ABC的面积为，，，求线段BM的长．18．（12分）某班级为了提高学习数学、物理的兴趣，组织了一次答题比赛活动，规定每位学生共需回答3道题目．现有两种方案供学生任意选择，甲方案：只选数学问题；乙方案：第一次选数学问题，以后按如下规则选题，若本次回答正确，则下一次选数学问题，若回答错误，则下一次选物理问题．数学问题中的每个问题回答正确得50分，否则得0分；物理问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．已知A同学能正确回答数学问题的概率为，能正确回答物理问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答顺序无关．（1）求A同学采用甲方案答题，得分不低于100分的概率；（2）A同学选择哪种方案参加比赛更加合理，并说明理由．19．（12分）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，设，．（1）证明：BF⊥DE；（2）当m为何值时，平面与平面DEF的夹角的余弦值最大．20．（12分）已知正项数列的前n项和为，；数列是递增的等比数列，公比为q，且，的等差中项为10，，的等比中项为8．（1）求，的通项公式；（2）设，为的前n项和，若能成立，求实数的最大值．21．（12分）某学校新校区在校园里边种植了一种漂亮的植物，会开出粉红色或黄色的花．．这种植物第1代开粉红色花和黄色花的概率都是，从第2代开始，若上一代开粉红色的花，则这一代开粉红色的花的概率是，开黄色花的概率是；若上一代开黄色的花，则这一代开粉红色的花的概率为，开黄色花的概率为．设第n代开粉红色花的概率为．（1）求第2代开黄色花的概率；（2）证明：．22．（12分）设（其中）．（1）讨论的单调性；（2）设，若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．山东新高考联合质量测评12月联考高三数学参考答案及评分标准2023.12一、单选题1．C2．A3．C解析：∵，∴，∴，∴，∴．又∵，∴．4．B解析：扇形的弧长，则圆锥底面半径，母线，圆锥的高，所以体积，故选B．5．B解析：当时，在区间单调递减，则，解得．当时，需要在区间单调递增，显然不满足要求，故选B．6．D解析：∵的最大值为2，∴．∴，，∴，∴即，的最小值为．7．A解析：若，则（），∴，，．∵，1，∴，∴数列是以为公比的等比数列．若数列为等比数列，且，则．又，∴，∴，此时，1，，所以甲是乙的充要条件．故选A．8．C解析：由题意得，，．∵，且，∴，，∴．由得，即，，．又，∴．二、多选题9．ABD解析：设，，…，的平均数为，可知，故A正确．新数据的中位数为，故B正确．原数据的标准差为，且，新数据的标准差为，故C错．因为最大值和最小值不变，故极差不变，故D正确．故答案为：ABD．10．AD解析：由题意可知，，即，得，同理可得，，由此可知A正确，B错误；，C错误；当声音强度的等级为60dB时，有，即，得，此时对应的强度．当声音强度的等级为40dB时，有，即，得，此时对应的强度，∴60dB的声音与40dB的声音强度之比，D正确．故选：AD．11．ACD解析：令，则，A正确；由为偶函数知关于直线对称，令得，即，故关于点对称，C正确，B错误；由已知可得的周期为4，令，则，∴，，故，D正确．故选ACD．12．BD解析：因为球的体积为，所以球的半径为．设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则，即，，∴，∴，令，得．当时，；当时，；当时，；∴正四棱锥体积．因为，，所以正四棱锥的体积可以是，，故选B、D．三、填空题13．120解析：可分三步完成，第一步，可从四名志愿者中选取三名志愿者，有种选法；第二步，从6个项目中选取2个项目有种不同的选法；第三步，把志愿者分配到两个项目中有种分配方法；故共有（种）不同的分配方法．14．解析：球的外切圆台的轴截面就是圆内切于等腰梯形．设球的半径是x，等腰梯形的高为2x，等腰梯形的腰为6，则，所以，所以球的表面积．15．解析：由题知，又因为，所以．要满足函数在区间内恰两个零点，则，解得．16．15解析：由，显然与的图象都关于直线对称．在同一坐标系作出，的图象，观察图象可知，函数，的图象由6个公共点，其横坐标依次为，，，，，，这6个点两两关于直线对称，有，则，所以函数的所有零点之和为15．四、解答题17．解：（1）因为，所以由正弦定理边化角得，所以，因为，所以．因为，所以．（2）因为△ABC的面积为，，所以，所以．因为，所以，，所以，所以，即△ABC为直角三角形，因为，所以，所以．18．解：（1）张同学采用甲方案答题，得分不低于100分的情况为至少答对两道试题，所以其概率为．（2）张同学选择乙方案参加比赛更加合理．理由如下：若采用甲方案，则其得分X的可能取值为0，50，100，150，，，，．所以X的概率分布列为X050100150P所以X的数学期望为．若采用乙方案，则其得分Y的可能取值为0，30，50，80，100，150，所以，，，，，．所以Y的概率分布列为Y0305080100150P所以Y的数学期望为．因为，所以张同学选择乙方案参加比赛更加合理19．（1）证明：因为直三棱柱，底面ABC，∴，又，所以AB⊥BF，所以AB⊥平面，所以AB，BC，两两垂直．如图，建立以点B为原点，BA，BC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系B-xyz，则，，，，，，，．由题设知，∴，．因为，所以，即．（2）解：易知平面的一个法向量为．设平面DEF的法向量，，，，，令，则，，∴．设平面与平面DEF所成二面角的平面角为，则，当时，取最小值为，此时取最大值为，此时．20．解：（1）由可得，当时，，两式相减得，∴，即．∵，∴（），∴是等差数列．由，得，∴，∴．由题意，得，即，得或．∵是递增的等比数列，∴，所以，得，∴．∴，．（2）由（1）得．能成立，等价于能成立，化简得能成立，即．设，则，∴是递减数列，故的最大值为．∴，∴的最大值为．21．解：（1）设事件表示第i代开粉红色花，事件表示第i代开黄色花，由题意可得，所以第2代开黄色花的概率为．（2）由题可知，，即．设（），则，，∴，∴，∴是以为首项，为公比的等比数列．∴，即．∴，∴．22．解：（1）函数的定义