工程流体力学 第2版 课件 项目3、4 流体静力学、流体运动学

流体静力学：研究（平衡）静止或相对平衡流体的力学规律及其应用的科学。相对平衡：是指流体宏观质点之间没有相对运动，达到了相对的平衡。流体处于平衡状态包括了两种形式：流体对地球无相对运动，叫绝对静止，也称为重力场的流体平衡。如盛装在固定不动容器中的液体。流体整体对地球有相对运动，但流体对运动容器无相对运动，流体质点之间也无相对运动，这种静止叫相对静止或叫流体的相对平衡。例如盛装在作等加速直线运动和作等角速度旋转运动的容器内的液体。项目3流体静力学

【案例导入】青海省共和县沟后水库“8.27”特大垮坝事故青海省共和县沟后水库溃坝现场建筑被大水冲毁后的情景主要内容任务1作用在流体上的力任务2流体静压强特性任务3流体平衡微分方程任务4重力场中静力学基本方程主要内容任务5静压力的测量任务6液体的相对平衡任务7液体作用在平面上的总压力任务8液体作用在曲面上的总压力任务1作用在流体上的力一、表面力无论是静止或运动的流体都受到外力的作用。作用在流体上的力按其物理性质来看，有重力、弹性力、摩擦力、表面张力等。如按其作用的方式来分，这些力分为表面力和质量力两类。表面力是流体内部各部分之间或流体和其他物体之间通过毗邻流体接触表面作用在流体上的力，其大小和受作用的表面面积成正比。由于流体内部不能承受拉力，所以表面力又可分为垂直于作用面的压力和平行于作用面的切力。如图所示，作用于点的法向应力和切向应力，用数学表达式可写成二、质量力

质量力是流体质点受某种力场的作用力，它的大小与流体的质量成正比。对于均质流体，质量力也必然和受作用流体的体积成正比，所以质量力又称为体积力。运水汽车沿斜面行驶

【解】由题意，作用在水体上的单位质量力为

因此

任务2

流体静压强特性当流体处于绝对静止或相对静止状态时，作用在与之接触的表面上的压应力称为流体的静压强，表示一点上流体静压力的强度。其表达式为:

1、

静压强作用的垂向性流体静压强的方向与受压面垂直并指向受压面，即流体静压强的方向只能沿作用面的内法线方向，与作用面的内法线方向一致。一、流体静压强特性一、流体静压强特性2、静压强的各项等值性Y

是质量力在y

方向的分量dxdydzpxpnpzpyxyznoM

在静止流体中取出以M为顶点的四面体流体微元，它受到的质量力和表面力必是平衡的，以y方向为例，写出平衡方程此时，pn，px，py，pz已是同一点（M点）在不同方位作用面上的静压强，其中斜面的方位n又是任取的，这就证明了静压强的大小与作用面的方位无关，也就是同一点上各个方向的流体的静压强大小相等。

当四面体微元趋于M点时，注意到质量力比起面力为高阶无穷小，即得pn=py，同理有pn=px，pn=pzdxdydzpxpnpzpyxyznoM表面力在y

方向上的分量只有左右一对面元上的压力，合力为odxdzpxyzdy

在静止流体中取出六面体流体微元，分析其在

y

方向的受力。微元所受y

方向上的质量力为

任务3

流体平衡微分方程流体平衡微分方程的建立odxdzpxyzdy平衡方程为或同理有和其中X,Y,Z

是质量力f的三个分量。

称为静压强场的梯度。它

是数量场p(x,y,z)对应的一

个矢量场。

称为哈米尔顿算子,它同时具有矢量和微分（对跟随其后的变量）运算的功能。用它来表达梯度，非常简洁，并便于记忆。平衡微分方程的矢量形式其中乘以dx乘以dy乘以dz三式相加，整理平衡微分万程的普遍积分式所以

流体静压强是空间坐标的连续函数，它的全微分为压力差方程在静止流体中，空间点的坐标增量为dx、dy、dz时，相应的流体静压强增加dp，压强的增量取决于质量力。力势函数（标量）

Potentialfunction：物理含义为单位质量的重力势能

代入上式可得：

积分方程流体平衡条件：只有在有势的质量力作用下，不可压缩均质流体才能处于平衡状态，这就是流体平衡的条件。1、等压面方程等压面

2、等压面的性质（a）在平衡的流体中，通过任意一点的等压面，必与该点所受的质量力互相垂直。（b）当两种互不相混的液体处于平衡时，它们的分界面必为等压面。

同一液体的等压面不同液体的等压面任务4重力场中静力学基本方程

静力学基本方程

静力学基本方程的物理意义一.重力作用下的平衡方程

z

轴铅垂向上，流体不可压缩。积分

重力场中连通的同种静止液体中：①压强随位置高程线性变化；

②等压面是水平面，与质量力（重力）垂直；

③是常数。

或二.静力学基本方程的物理意义

在静水压强分布公式

中，各项都为长度量纲，称为水头（液柱高）。

——

位置水头，以任取水平面为基准面

z=0

，铅垂向

上为正。

——

压强水头，以大气压为基准，用相对压强代入计

算。

——

测压管水头。

要知道静止流体中具体的压强分布，关键是知道其中某一点的压强，从而确定积分常数C

若z=z1时,p=p1,则或ghAp0ApAzoh

如果静止液体有自由面，将自由面作为基准面

z=0，自由面上的压强为

p0

，则

若令h

=

z（向下为正），则ghAp0ApAzoh封闭容器图

圆柱形容器

活塞底面的压强可按静力平衡条件确定通过B点作一水平面1－1，根据等压面特性知：1－1为等压面B一.压力的表示方法A绝对压强基准A点绝对压强B点真空压强A点相对压强B点绝对压强相对压强基准O大气压强

paO压强

压强

p记值的零点不同，有不同的名称：

以完全真空为零点，记为

pabs绝对压强两者的关系为:

pr=

pabs-

pa

以当地大气压

pa

为零点，记为

pr

相对压强为负值时，其绝对值称为真空压强。相对压强真空压强任务5静压力的测量BA绝对压强基准A点绝对压强B点真空压强A点相对压强B点绝对压强相对压强基准O大气压强

paO压强

今后讨论压强一般指相对压强，省略下标，记为

p

，若指绝对压强则特别注明。常用的压力单位有以下三种二.压力的单位

用液柱高度表示。单位是毫米水柱或毫米汞柱，符号分别是mmH2O或mmHg。用大气压表示。表3.l压力单位换算表例3-4

将1atm换算为以mmHg及mH2O为单位的数据。

例3-5由某压力表测出的读数为5at，试换算成以MPa表示的绝对压强。

流体静压强的测量仪表主要有液柱式、金属式和电测式三大类。液柱式仪表测量精度高，但量程较小，一般用于低压实验场所。金属式仪表利用金属弹性元件的变形来测量压强，可测计示压强的叫压力表，可测真空度的叫真空表。电测式将弹性元件的机械变形转化成电阻、电容、电感等电量，便于远距离测量及动态测量。由于电测式压力计与流体力学基本理论联系不大，故在此只介绍液柱式和金属式测压仪表。三.静压强的测量为减少毛细管（capillarytube）作用而引起的误差，测压管内径应不小于

（1）测压管

测压管简单的测压管就是一根玻璃管，一端连在要测量压力处的容器壁上，另一端开口与大气相通。根据管内液面上升的高度，便可得出容器中液体某点的静压力数值

（2）U形管测压计为了克服测压管测量范围和工作液体的限制，常使用U形测压管和U形管真空计来测量3个大气压以内的压强。在管内装有测压用的工作液体，称为封液，是与被测流体不相混的。常用的封液有水、水银（mercury）、油及酒精（alcohol）等。杯式测压计是一种改良的U形测压管，如右图所示。它是由一个内盛水银的金属杯与装在刻度板上的开口玻璃管相连接而组成的测压计。

（3）杯式测压计和多支U形管测压计

多支U形管测压计是几个U形管的组合物，如右图所示。当容器A中气体的压强大于3大气压时，可采用这种形式的测压计。求出B点压强后，可以推算出容器A中任意一点的压强。

在工程实际中，测量两点压强差的仪器叫差压计。差压计用于测量两点间的压差。如右图所示的U形管差压计。（4）差压计

微压计一般用于测量气体压强，它在一个较大截面的容器上安装一个可调倾斜角的测压管，容器中装有封液，重度为，如右图所示。（5）微压计

常用的金属式测压计有弹簧管压力计，它的工作原理是利用弹簧元件在被测压强作用下产生弹簧变形带动指针指示压力。（6）金属压力表与真空表弹簧管压力计U形测压管

气水分离器等压面方程

边界条件压强分布方程1.平面上的等加速运动(非惯性/动坐标系)自由液面方程图2-12（a）

任务6液体的相对平衡一、等加速直线运动容器中液体的相对平衡2.容器沿斜面的等加速运动质量力分量

全微分方程压强分布方程等压面方程

思考题

等加速直线运动的容器求下面三种情况下，（1）压力分布；（2）等压面方程；（3）自由液面方程；（4）自由液面与水平面的夹角。

匀加速直线运动的油箱

分析：匀加速直线运动的油箱，自由液面斜率。

水箱沿水平方向运动

（2）二、等角速度旋转容器中液体的平衡代入静力学微分方程积分边界条件

静压强分布和自由液面方程自由液面条件

自由液面方程

压强分布方程

盛水的旋转圆筒

（2）（1）液体作用在平面上的总压力包括三个方面的问题：1.总压力的大小2.总压力的作用点3.总压力的方向任务7液体作用在平面上的总压力

完整的总压力求解包括其大小、方向、作用点。

静力奇象h

水深相同，桶底面积相同，桶底所受水压力相同，整桶所受水的作用力(桶内水的重量）不同。

一.总压力的大小

二.总压力的作用点

若作用在液体自由表面的压强为大气压强，而平面外侧也作用着大气压强，则仅由液体产生的总压力作用点的坐标

附B-1静矩与形心

一、截面静矩静矩的量纲为：L3xCyxyCCxydAO分别称为截面对坐标轴x与y的静矩或一次矩。静矩可能为正，可能为负，也可能为0。二、截面形心xCyxyCCxydAO或由静矩公式当坐标yc或xc为0，即当坐标轴x或y通过形心时，截面对该轴的静矩为0；反之，如果截面对某轴的静矩为0，则该轴必通过形心。三、常见几何图形的形心位置和面积1.矩形截面2.圆形截面3.三角形截面Cyxbh对称图形，形心一定在对称轴上。CxydbCh/3h四、组合截面的静矩和形心1.组合截面的静矩2.组合截面的形心xyOx2y2x1y1C1C2

使用上述公式时，对于挖掉部分的面积应取负值。附B-2惯性矩分别称

为截面对

x与

y轴的惯性矩。惯性矩恒为正，单位为：m4。一、截面惯性矩yxxydAO组合图形的惯性矩xA1A2二、简单截面的惯性矩1.矩形截面xbh/2h/2CydydA2.圆形截面xDCd

dAd

xCDdy3.环形截面其中，

=d/D附B-3惯性矩平行轴定理

截面对任一轴的惯性矩，等于对其形心轴x0的惯性矩加上截面面积与两轴间距离yC平方的乘积。yxdAO(A)yx0y0CyCy0当坐标轴通过形心时，截面对该轴的静矩为0。同理可得：

（a）（b）（c）半面浸在水中的平板

二维曲面上的液体总压力任务8静止液体作用在曲面上的总压力总压力的水平分力总压力的铅直分力一.总压力的大小和方向

曲面上静水总压力

二.总压力的作用点

总压力在曲面上的作用点EXIT实压力体虚压力体三.压力体

圆弧形闸门

综合实例

阿基米德

原理

静止液体作用在物体上的总压力—浮力的大小等于物体所排开液体的重量，方向铅垂向上，作用线通过物体被液体浸没部分体积的形心—浮心。Archimedeslaw扩展提高一.阿基米德原理阿基米德（Archimedes,287-212B.C.希腊）

公元前3世纪阿基米德浮力定律物体沉浮设物体的重量为G，浮力为F，显然可得如下结论：当G>F时，物体将下沉至液体的底部——沉体；当G<F时，物体将上浮而露出水面——浮体。这样，物体排开液体的体积变小（浮力变小），直至重力等于浮力；当G=F时，物体可以潜没于液体中，处于淹没平衡状态——潜体

。

在连续介质假设下，讨论描述流体运动的方法，根据运动要素的特性对流动进行分类。本章的讨论是纯运动学意义上的，不涉及流动的动力学因素。连续方程是质量守恒定律对流体运动的一个具体约束，也在本章的讨论范围之中。EXIT项目4流体运动学EXIT任务1流体运动的描述方法任务2流场的几个基本概念任务3连续性方程任务4流体微团运动的分解项目4流体运动学任务5势函数和流函数综合实例

描述流体运动的困难拉格朗日法欧拉法欧拉法的质点加速度两种方法的关系及比较

任务1流体运动的描述方法EXIT

离散

质点系刚体流体质点间的约束强无弱

一.描述流体运动的困难质点数N个无穷无穷EXIT

离散

质点系刚体流体EXIT六个自由

度运动

编号，逐点描述

3N个自由度困难：

无穷多质点有变形不易显示

离散

质点系刚体流体EXITt1t2t3t4t5

二.拉格朗日法EXITt6

以研究单个流体质点运动过程作为基础，综合所有质点的运动，构成整个流体的运动。

拉格朗日法是质点系法，它定义流体质点的位移矢量为：(a,b,c)

是拉格朗日变数，即

t=t0

时刻质点的空间位置，用来对连续介质中无穷多个质点进行编号，作为质点标签。

流体在运动过程中其它运动要素和物理量的时间历程也可用拉格朗日法描述，如速度、密度等：EXIT易知指定空间位置不同流体质点

三.欧拉法EXIT

以研究流场中各个空间点上运动要素的变化情况作为基础，综合所有的空间点的情况，构成整个流体的运动。

欧拉法是流场法，它定义流体质点的速度矢量场为：(x,y,z)

是空间点（场点）。流速u

是在t

时刻占据(x,y,z)

的那个流体质点的速度矢量。

流体的其它运动要素和物理特性也都可用相应的时间和空间域上的场的形式表达。如加速度场、压力场等：EXIT欧拉（L.Euler,

1707-1783，瑞士）拉格朗日（J-L.Lagrange，1736－1813，意大利)EXIT拉格朗日法

欧拉法

着眼于流体质点，跟踪质点描述其运动历程着眼于空间点，研究质点流经空间各固定点的运动特性布哨跟踪EXIT

欧拉法是描述流体运动常用的一种方法。EXIT

如果流场的空间分布不随时间变化，其欧拉表达式中将不显含时间t，这样的流场称为恒定流。否则称为非恒定流。

欧拉法把流场的运动要素和物理量都用场的形式表达，为在分析流体力学问题时直接运用场论的数学知识创造了便利条件。

四.欧拉法的质点加速度

速度是同一流体质点的位移对时间的变化率，加速度则是同一流体质点的速度对时间的变化率。

通过位移求速度或通过速度求加速度，必须跟定流体质点，应该在拉格朗日观点下进行。EXIT

若流动是用拉格朗日法描述的，求速度和加速度只须将位移矢量直接对时间求一、二阶导数即可。

求导时a,b,c作为参数不变，意即跟定流体质点。EXIT

跟定流体质点后，x,y,z均随t

变，而且

若流场是用欧拉法描述的，流体质点加速度的求法必须特别注意。

用欧拉法描述，处理拉格朗日观点的问题。EXIT=+质

点

加

速

度

位变

加速度由流速不均匀性引起时变加速度由流速

不恒定

性引起EXIT分量形式EXITB’AA’BuAdtuBdt举例EXIT

五.两种方法的关系及比较在拉格朗日法中，流体的运动和物理参数被表示成拉格朗日变量（a，b，c，t）的函数；在欧拉法中，流体的运动和物理参数则被表示成欧拉变量（x，y，z，t）的函数。因此，两种方法之间的关系就是拉格朗日变数和欧拉变数之间的数学变换。（1）拉格朗日法是研究流体质点本身运动规律的一种方法，这种方法看似简单，实际上却比较复杂，因为任意时刻流体质点的位置及其运动轨迹x=x（a，b，c，t），y=y（a，b，c，t），z=z（a，b，c，t）并不容易知道，因此，使用拉格朗日法有不少困难。只有在需要研究流体质点本身的运动时才采用拉格朗日法。（2）在流体力学研究中大多采用欧拉法主要原因有：（a）采用欧拉法研究流体运动得到的是流场，可以采用场论这一有力的数学工具；（b）采用欧拉法得到的运动微分方程是一阶偏微分方程组，如：与采用拉格朗日法得到的二阶运动偏微分方程组相比求解要与采用拉格朗日法得到的二阶运动偏微分方程组相比求解要容易；（c）工程中解决大量实际问题时，往往并不需要知道每一个流体质点的运动情况，而只需要知道每个空间点上的运动情况就可以了。

任务2有关流场的几个基本概念EXIT

定常流动与非定常流动迹线和流线

流管、流束及总流

过流断面和水力直径

流量及平均速度一维、二维和三维流动均匀流、非均匀流；渐变流、急变流系统和控制体

一.恒定流、非恒定流

若流场中各空间点上的任何运动要素均不随时间变化，称流动为恒定流。否则，为非恒定流。

恒定流中，所有物理量的欧拉表达式中将不显含时间，它们只是空间位置坐标的函数，时变导数为零。

例如，恒定流的流速场：

恒定流的时变加速度为零，但位变加速度可以不为零。EXIT如图a所示，定水头孔口出流是定常流动。同一空间点的速度不随时间变化（时变加速度为0），但流场速度随空间位置变化（从A到B位变加速度不为0）。变水头孔口出流是非定常流动，如图b所示。同一空间点的速度随时间变化（时变加速度不为0），流场速度随空间位置也变化（位变加速度也不为0）。流体流动的稳态或非稳态与所选定的参考系有关。如图所示的匀速飞行的飞行器周围空气的流动，相对于固定在地面的坐标系是非稳态的，相对于固定在飞行器上的运动坐标系是稳态的；匀速旋转的通风机叶轮流道中的气体流动，在固定在地面的坐标系中观察，流动是非定常的，在固定于叶轮上的运动参考系观察则是定常的。AAAAAA

某一流体质点在不同时刻占据的空间位置。t1时刻t2时刻

二.迹线和流线EXIT迹线

迹线是流体质点运动的轨迹，是与拉格朗日观点相对应的概念。

拉格朗日法中位移表达式即为迹线的参数方程。t是变数，a,b,c是参数。EXIT

这是由三个一阶常微分方程组成的方程组，未知变量为质点位置坐标（x,y,z），它是t

的函数。给定初始时刻质点的位置坐标，就可以积分得到迹线。

在欧拉观点下求迹线，因须跟定流体质点，此时欧拉变数x,y,z成为t

的函数，所以迹线的微分方程为EXITt时刻uAuBuCABCD

表示某时刻流动方向的曲线。uDEXIT流线

流线是流速场的矢量线，是某瞬时对应的流场中的一条曲线，该瞬时位于该曲线上的流体质点之速度矢量都和曲线相切。流线是与欧拉观点相对应的概念。有了流线，流场的空间分布情况就得到了形象化的描绘。EXIT

根据定义，流线的微分方程为

实际上这是两个微分方程，其中t是参数。可求解得到两族曲面，它们的交线就是流线族。其中EXIT

在非恒定流情况下，流线一般会随时间变化。在恒定流情况下，流线不随时间变，流体质点将沿着流线走，迹线与流线重合。

迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观点对应，而流线是同一时刻、不同流体质点速度矢量与之相切的曲线，与欧拉观点相对应。即使是在恒定流中，迹线与流线重合，两者仍是完全不同的概念。

根据流线的定义，可以推断：除非流速为零或无穷大处，流线不能相交，也不能转折。EXIT

已知直角坐标系中的速度场ux=x+t；

uy=-y+t；uz=0,试求t=0时过M(-1,-1)

点的流线。ux=x+t；uy=-y+t；uz=0(x+t)(-y+t)=Ct=0时过M(-1,-1)：C=-1

积分由流线的微分方程：t=0时过M(-1,-1)点的流线：EXIT例

-1解xy=1t=0时过M(-1,-1)：

C1=C2=0

已知直角坐标系中的速度场ux=x+t；

uy=-y+t；uz=0,试求t=0时过M(-1,-1)

点的迹线。ux=x+t；uy=-y+t；uz=0求解x+y=-2由迹线的微分方程：x=-t-1

y=t-1消去t，得迹线方程：EXIT例

-2解已知直角坐标系中的速度场ux=2x+t；

uy=-2y；uz=0,试求t=0时和1时，过(1,1)

点的流线方程。例

-3【解】因

流体只在平面内流动。将速度代入流线方程得即：积分（将

视为不变量）得：c是积分常数，由流线通过某点的坐标来确定。于是T=0时，通过（1，1）点（c=2）的流线方程为；T=1时，通过（1，1）点（c=3）的流线方程为：迹线流线xyot=0时过M(-1,-1)点的流线和迹线示意图EXITM(-1,-1)流动线条和流动显示流动线条(flowlines)包括四种：流线（streamline)、迹线(pathline)、烟线(streakline)、时线(timeline)烟线(streakline)定义：由先后连续地经过同一场点的流体质点所组成的曲线。时线(timeline)定义：由确定流体质点组成的流体线。流动往往靠流动线条来显示，而在实验中比较容易得到的流动线条是烟线和时线。EXIT通常用摄象机能拍到什么流动线条？应该怎么拍？思考?EXIT流线L流管

三.流管和流束及总流

在流场中，取一条不与流线重合的封闭曲线L，在同一时刻过

L上每一点作流线，由这些流线围成的管状曲面称为流管。

与流线一样，流管是瞬时概念。

根据流管的定义易知，在对应瞬时，流体不可能通过流管表面流出或流入。EXIT流管内所有流体质点所形成的流动称流束。根据流管的性质，流束中任何质点均不能离开流束。定常流中流束的形状与位置都不随时间而变。当流束的断面积很小时称为微元流束，可以近似认为微元流束同一断面上各点的流动参数相等。若流管的壁面就是流场区域的周界，流管内所有流体质点所形成的流动称总流，它代表全流场上所有质点的流动。总流所占据的空间称流道，它是总流经过的通道。总流按其边界性质的不同可以分为三类：（1）

：边界全部是固体时的流动称为有压流动，有压流动的特点是流体流动主要靠压强差驱动，如供水管路、通风巷道、液压管路中的流动等。（2：总流边界部分是固体、部分是气体时的流动称为无压流动，无压流动的特点是流体流动主要靠重力（倾角）驱动，如明渠流、河流等。（3）

：总流的边界不与固体接触时称为射流。射流是靠消耗自身的动能来实现流动的。有压流无压流射流EXIT

四.过流断面和水力直径过流断面与总流或流束中的流线处处垂直的断面称为过流断面。过流断面一般是曲面，当流线平行时过流断面是平面。过流断面的面积是对流束尺度大小的度量。微元流束的过流断面面积为无穷小。水力直径水力直径和水力半径的概念在非圆管道和明渠流计算中经常用到。总流的过流断面上，流体与固体接触的长度称为湿周，用表示。对于图a，湿周

；对于图b，湿周

；对于图c；湿周。总流过流断面的面积

与湿周

之比称为水力

半径,水力半径的4倍称为水力直径,即；对于圆形管道，水力直径：对于边长为a的正方形管道；对于长、宽分别为a、b的矩形管道：

如图所示为半圆拱形通风巷

，已知求水力直径

和水力半径。【解】

过流面积

湿周

水力半径

水力直径例

-4

称为质量流量，记为Qm，单位为kg/s.流量计算

公式中，曲面A的法线指向应予明确，指向相反，流量将反号。闭曲面的法向一般指所围区域的外法向。

通过流场中某曲面A的流速通量称为流量，记为Q

，它的物理意义是单位时间穿过该曲面的流体体积，所以也称为体积流量，单位为m3/s.dAuAnEXIT

五.流量及平均流速

总流过流断面上的流速与法向一致，所以穿过过流断面A的流量大小

为，其中u

为流速的大小。EXIT

定义体积流量与断面面积之比为断面平均流速，它是过流断面上不均匀流速u的一个平均值，假设过流断面上各点流速大小均等于v，方向与实际流动方向相同，则通过的流量与实际流量相等。平均流速

六.一维、二维和三维流动一维流动二维流动三维流动平面流动轴对称流动

任何实际流动从本质上讲都是在三维空间内发生的，二维和一维流动是在一些特定情况下对实际流动的简化和抽象，以便分析处理。EXIT

流场与某一空间坐标变量无关，且沿该坐标方向无速度分量的流动。xyoxyzou0u0二维流动EXIT直角系中的平面流动：大展弦比机翼绕流zro子午面EXIT柱坐标系中的轴对称流动：液体在圆截面管道中的流动

流动要素只取决于一个空间坐标变量的流动

在实际问题中，常把总流也简化为一维流动，此时取定空间曲线坐标s

的值相当于指定总流的过流断面，但由于过流断面上的流动要素一般是不均匀的，所以一维简化的关键是要在过流断面上给出运动要素的代表值，通常的办法是取平均值。s其流场为s—空间曲线坐标

元流是严格的一维流动，空间曲线坐标s

沿着流线。EXIT一维流动位变导数？均匀流非均匀流

七.均匀流、非均匀流；渐变流、急变流

均匀流的流线必为相互平行的直线，而非均匀流的流线要么是曲线，要么是不相平行的直线。EXIT为什么？判别uxazyxo

以下的流动是均匀流：

应注意将均匀流与完全不随空间位置而变的等速直线流动

相区别，前者是流动沿着流线方向不变，后者是流动沿着空间任何方向不变。后者是均匀流的一个特例。EXIT例如

在实际流动中，经常会见到均匀流，如等截面的长直管道内的流动、断面形状不变，且水深不变的长直渠道内的流动等。

恒定均匀流的时变加速度和位变加速度都为零，即流体质点的惯性力为零，将作匀速直线运动。若总流为均匀流，其过流断面是平面。这些均匀流的运动学特性，将给以后处理相关的动力学问题带来便利，因此在分析流动时，特别关注流动是否为均匀流的判别。EXIT是否接近均匀流？渐变流流线虽不平行，但夹角较小；

流线虽有弯曲，但曲率较小。急变流流线间夹角较大；

流线弯曲的曲率较大。

渐变流和急变流是工程意义上对流动是否符合均匀流条件的划分，两者之间没有明显的、确定的界限，需要根据实际情况来判定。是否EXIT均匀流，渐变流和急变流示意图EXIT

图中闸门出流时，流体的惯性作用使得闸门孔孔口出流后形成收缩。最小断面c-c称作收缩断面，该断面通常看作是渐变流。

八.系统和控制体

由确定的流体质点组成的集合称为系统。系统在运动过程中，其空间位置、体积、形状都会随时间变化，但与外界无质量交换。

有流体流过的固定不变的空间区域称为控制体，其边界叫控制面。不同的时间控制体将被不同的系统所占据。

站在系统的角度观察和描述流体的运动及物理量的变化是拉格朗日方法的特征，而站在控制体的角度观察和描述流体的运动及物理量的变化是欧拉方法的特征。EXIT占据有限体积

系统

流体团微分体积

系统

流体微团

最小的

系统

流体质点

有限体积

控制体

微元

控制体

场点大小EXIT任务3连续性方程EXIT

直角坐标系中的连续性方程

连续性方程的其他几种常见形式定常总流的连续性方程

连续性方程——质量守恒定律对流体运动的一个基本约束

用欧拉观点对质量守恒原理的描述：连续介质的运动必须维持质点的连续性，即质点间不能发生空隙。因此，净流入控制体的流体质量必等于控制体内因流体密度变化而增加的质量。EXIT

一.直角坐标系中的连续性方程xyzodxdydzuxabcda’b’c’d’净流入前后这一对表面的流体质量为

在时间段dt

里，从abcd

面流入微元体的流体质量为从a’b’c’d’面流出的流体质量为EXITxyzodxdydzuzabcda’b’c’d’

同理可知，在时间段dt

里，沿着y方向和z方向净流入左右和上下两对表面的流体质量分别为和uyEXIT三维流动的连续性微分方程

在时间段dt

里，微元内流体质量的增加

根据质量守恒原理简化或写成EXIT

恒定流动的连续方程EXIT

极坐标中平面流动的连续方程d

u

ourrd

dr

r

对于不可压缩流体的流动（不论是恒定或非恒定），连续方程为EXIT速度场的

散度为零

二.连续性方程的其他几种常见形式不可压缩流体速度场的散度流体微团在三个互相垂直方向上的线变形速率之和，也是流体微团的体积膨胀率。

连续方程表明不可压缩流体微团在三个互相垂直方向上的线变形速率的总和必为零，若在一个方向上有拉伸，则必有另一个方向上的压缩，在运动过程中其体积不会发生变化。EXIT对于不可压缩流体沿x方向的一维流动，

，其连续性方程为：对于可压缩流体在

xy平面内的二维定常流动，其连续性方程为：对于不可压缩流体在

xy平面内的二维流动，其连续性方程为：EXIT

恒定条件下：总流管的形状、位置不随时间变化。总流内的流体是不存在空隙的连续介质，其密度分布恒定，所以这段总流管内的流体质量也不随时间变化。没有流体穿过总流管侧壁流入或流出，流体只能通过两个过流断面进出控制体。

控制体：上游过流断面A1和下游过流断面A2之间的总流管A1A2QmQm

三.定常总流的连续性方程通过恒定总流两个过流断面的质量流量相等。

恒定总流

连续方程即或通过恒定总流两个过流断面的体积流量相等。

根据质量守恒定律即可得出结论：在单位时间内通过A1流入控制体的流体质量等于通过A2流出控制体的流体质量。

又若流体不可压，

=const

EXIT

对于不可压缩流体，根据连续方程，容易理解为什么流线的疏密能够反映流速的大小。

在有分流汇入及流出的情况下，连续方程只须作相应变化。质量的总流入=质量的总流出。EXIT任务4流体微团运动的分解EXIT平面流动的微团运动分析三维流动的微团运动分解有旋流动和无旋流动

考察和分析流体质点之间的相对位移和相对运动。

谈及相对运动就必须把讨论问题的尺度从流体质点扩大到流体微团。

给出在同一时刻流体微团中任意两点速度之间的关系。分析流体微团的运动形式。EXIT

一.平面流动的微团运动分析刚体运动:移动、转动流体运动:移动、转动、变形控制体的选取:边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。E形心处速度：vx,vy,vzE点处速度：流体微团上各点速度的表示各角点处x方向速度：E以平面运动为例流体微团运动的分解

各角点的速度分量中都包含vx,vyx方向移动速度：vxz方向移动速度：vzy方向移动速度：vy1.移动A和D、B和C间的x向速度分量差:x方向线应变速度：z方向线应变速度：y方向线应变速度：C和D、B和A间的y向速度分量差:2.线变形运动A和D、B和C间的y向速度分量差:C和D、B和A间的x向速度分量差:结果:(1)AD边和BC边逆时针旋转微元角度(2)AB边和DC边顺时针旋转微元角度3.角变形运动和旋转(1)角变形运动角变形角变形速度:每秒内一个直角的角度变化量3.角变形运动和旋转(续)(2)旋转运动旋转旋转速度:每秒内绕同一转轴的两条互相垂直的微元线段旋转角度的平均值3.角变形运动和旋转(续)第一项：平移运动第二项：线变形运动第三项：角变形运动第四项：旋转运动流体微团运动的分解(续)

考察在M点的一阶台劳展开，以x方向分量为例。

二.三维流动的微团运动分解EXITdr

同理EXIT合并成矢量形式流体微团中任意两点间速度关系的一般形式亥姆霍兹速度分解定理EXIT主对角线上三个元素是线变形速率其余的是角变形速率流体的变形速率张量，是二阶对称张量EXIT流体旋转角速度矢量，它恰是流速场的旋度矢量的一半。

旋度EXIT

亥姆霍兹速度分解定理各项的物理意义:

点的流速；

:点的流速；

:流体变形率张量[

]

对两点相对运动速度的贡献，包括线变形和角变形；

:流体平均旋转角速度引起的两点相对运动速度。平移变形转动基准点是展开点MEXIT变形速度转动速度适用范围流体刚体有因点而异流体微团无不随点变整个刚体

流体速度分解与刚体速度分解的异同EXIT

三.有旋流动和无旋流动根据矢量的旋度定义，有对于速度场

，令：称

为涡量或涡度。与速度场

对应，

也构成一个矢量场，称之为涡量场。

唯一的标准是看流速场是否满足，写成分量形式为：旋度无旋流动有旋流动这个分类是

很重要的EXIT

判别涡量注意：研究流体的旋转运动时，研究对象应取流体微团，而非流体质点。

一般来说，粘性流体的流动是有旋的，而理想流体的流动可能是无旋的，也可能是有旋的。流动究竟是有旋还是无旋，是根据流体微团本身是否旋转来确定的，如果在所讨论的流场中，每一个流体微团都不作旋转运动，则流动是无旋的，即

有旋流动和有势流动的判别仅在于流速场的旋度是否为零。不要根据流线是直线或曲线来直观判别，以免出错。流线是圆周，无旋流线是直线，有旋xyoxyoEXIT1.涡线仿照流线的定义，可定义涡线

来表示

的方向，即涡线是表示

方向的曲线，涡线处处与

相切。涡线的微分方程概念2.旋涡通常把断面上

较大的涡管称作旋涡或旋涡体。3.涡管通过任一封闭曲线C的所有涡线所构成的管状曲面称涡管。4.速度环量在三维流场中任选一有向封闭曲线C。流速沿着C的积分

称为曲线C的速度环量速度环量是标量，其正负号不仅与速度的方向有关，而且与线积分的绕行方向有关规定沿封闭周线绕行的正方向为逆时针方向。5.梯度补充：梯度、散度和旋度（以直角坐标系为例）1、梯度（gradient）：表示一个物理量（可以是标量也可以是矢量，如温度、压力、速度等）相对于另一给定可变量（尤指距离）的变化率（表征物理量沿某个方向变化的剧烈程度），是标量场不均匀性的量度。对任一标量对任一矢量6.散度2、散度（divergence）：用以判断矢量场是否有源。如果某一矢量的散度处处为0，则称该矢量场为无源场（也称为管式场），否则为有源场。

对任一矢量

7.旋度3、旋度（vorticity）：用以判断矢量场是否有旋。如果某一矢量的旋度处处为0，则称该矢量场为无旋场，否则为有旋场。无旋场和有势场是等价的。对任一矢量

(1).微元封闭周线的斯托克斯定理沿微元封闭周线的速度环量等于通过该周线所包围的面积的涡通量。8.斯托克斯定理(2).平面上有限单连通区的斯托克斯定理沿包围平面上有限单连通区域的封闭周线的速度环量等于通过该周线所包围的面积的涡通量。(3).空间表面上的斯托克斯定理沿空间任一封闭周线的速度环量等于通过该周线上的空间表面的涡通量。9.汤姆孙定理正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质点组成的封闭周线的速度环量不随时间而变化。10.亥姆霍兹旋涡定理

(1).亥姆霍兹第一定理

在同一瞬间涡管各截面上的涡通量都相同(2).亥姆霍兹第二定理

正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永远保持为由相同流体质点组成的涡管。(3).亥姆霍兹第三定理

在有势的质量力作用下，正压性的理想流体中任何涡管的强度不随时间而变化，永远保持定值。例1：有旋、无旋流动判断。某不可压缩流场，各方向的速度分别为

求t=0和t=0.5时，在（1，1）点处流体微团转动的角速度，并说明是有旋还是无旋流动。解：属于二维流动。

在（1，1）点，

例2例3例3例4例5任务5势函数和流函数速度势函数与流函数速度势函数与流函数的关系无旋流动有势流动等价

称为

速度势函数一.流速势函数与流函数EXIT

起点不同，速度势相差一个常数，不会影响对流场的描述。EXIT速度势函数的定义速度势函数的求法（一）直接根据定义求

与路径无关，可选一条简便的路径计算M0M1Oyxz

要按照定义求速度势，不要误认为做三个独立的不定积分。

给出流场，求解速度势，要先检查流场是否无旋。代入确定EXIT速度势函数的求法（二）寻找全微分已知速度场:

此流动是不可压缩流体的平面势流，并求速度势函数。求证由知EXIT例-1不可压缩无旋平面流动EXIT按三个不定积分求按定义求按三个不定积分求由知EXIT例-2已知速度场:

此流动是不可压缩流体的无旋流动，并求速度势函数。求证不可压缩无旋满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。EXIT不可压流体无旋流动的速度势函数满足拉普拉斯方程极坐标中速度势函数dlxyd

r

rd

dr有势流动&速度势函数小结

无旋流动也称有势流动或势流。速度场有势的充要条件：流动无旋。

有势流动无旋流场中，速度的旋度处处为0。根据场论：若任一矢量场的旋度为0，则该矢量一定是某个标量函数的梯度（梯度的旋度等于0）。因此——速度势函数，简称速度势。直角坐标系已知速度势函数，可求势流场的速度分布。

速度势函数potentialfunction流动无旋速度场有势等价

速度势函数的性质（1）速度沿三个坐标轴的分量等于速度势对于相应坐标的偏导数。（2）在不可压缩流体的有势流动中，速度势函数满足拉普拉斯方程。直角坐标系圆柱坐标系

势函数是无旋流动中的一个连续函数，它在任一方向上的导数等于该方向的速度。

调和函数Laplace方程的解（调和函数）具有线性可叠加性！！（3）有势流动中沿一曲线的速度环量等于曲线终点与起点的速度势之差。不可压缩流体平面流动的连续方程改写矢量场无旋，必有相应的势函数定义其势函数EXIT不可压缩流体平面流动流函数的定义原流速场的流函数Streamfunction

将平面上一段有向微元弧长顺时针转900，方向为dl之法向n

，大小为dl

，可记为ndl根据流函数定义dlndldx-dxdydyuEXIT不可压缩流体平面流动流函数的物理意义

流函数的微分为穿过微元弧长的流量，所以把

称为流函数。表示穿过M0

至M连线的流量，它与连线路径无关，在起点M0

确定的情况下，它是终点M的坐标的函数。

根据定义确定流函数时选取不同的起点M0

，流函数将相差一个常数，但同样不会影响对流场的描述。M0M

对于不可压流体的平面流动是容易理解的，而三维流动就得不到这样的结论。EXITEXITM0M1M2Q2Q1Q

两点流函数的差表示穿过两点间任意连线的流量。流函数与流线、流量的关系EXIT

同一条流线上任意两点的流函数值相等。M0M2Q2Q1M1M1、M2在同一条流线上，则

=const不可压流体平面流动的流线方程

=C

如图中所示,若表示有流量自M1M2连线左侧流进右侧，由此可在流线上画出流动方向。M1M2=C1=C2

利用流函数定义，可确定流动方向。EXIT儒科夫斯基法则(教材p99)沿着流速u的方向逆时针旋转90o

就是

增值的方向；或者说沿

增值方向顺时针旋转90o即为流速u的方向。Joukowskirule儒科夫斯基法则u

如果不可压缩流体平面流动是无旋的，那么说明流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。EXIT不可压缩流体平面流动流函数的求法不可压缩流体平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程

流函数的概念本与流动是否无旋无关，在这里引出，是为了下面建立不可压缩流体平面无旋流动复势的需要。

类似于速度势函数的求法，若已知不可压缩流体平面流动的速度场，则流函数也可用定义直接求或用寻找全微分的方法求。注二维流动和流函数小结

流函数存在的条件二维不可压缩流体流动的连续方程为如果有一个函数，其满足流函数存在的条件不论是理想流体还是粘性流体，是定常流动还是非定常流动，是有旋流动还是无旋流动，只要是平面或轴对称不可压缩流动，总存在流函数。但对于（二维）可压缩流体的流动，由于连续方程中多了项，故只有在定常流动时才存在流函数。则此函数一定满足二维不可压缩流动的连续性方程，就称为流函数。存在标量函数能自动满足平面或轴对称流动的连续性方程。streamfunction或流函数存在的2种情况1.对于二维不可压缩流动，若存在一个标量函数，且有：函数就称为二维不可压缩流动的流函数。则函数能自动满足的连续性方程：2.对于二维定常可压缩流动，如果存在一个标量函数，且有：函数就称为二维定常可压缩流动的流函数。则函数能自动满足的连续性方程：

流函数的性质（1）在同一条流线上流函数是常数，等流函数线即是流线。证明平面流动的流线方程

如果存在一个标量函数，且有：则积分可得结论流线上流函数是常数，等流函数线是流线。（2）在平面流动中，两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两条流线上