2023学年福建省福州市闽侯高考数学必刷试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

COSX

1.函数〃%）=-的部分图像大致为（

2”+2」X

2.若复数二满足|z|=l,则|z-（其中i为虚数单位）的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

3.已知“为一条直线，。，仅为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若加〃/a〃力，则加〃力B.若机_La,贝！

C.若m〃a、a1(3,贝！|相_1_4D.箱m工a,a〃B，则〃i-L，

4.已知复数z满足z（l+i）=l—i（i为虚数单位），则z的虚部为（）

A.-iC.1

5.“X）是定义在（0,+8）上的增函数，且满足：/（X）的导函数存在，且音力＜X,则下列不等式成立的是（）

J'J

A./(2)<2./(l)B.3/（3）＜4/（4）

C.2/(3)<3/(4)D.3/(2)<2/(3)

6.AABC中，角A,8,C的对边分别为”,反c,若。=1,3=30°,cosC=幺匚则AABC的面积为（）

7

AGD,也

A.--B.百C.不

22

7.正A48C的边长为2,将它沿8c边上的高翻折，使点8与点C间的距离为百，此时四面体的外

接球表面积为（）

10%13〃

A.——B.44D.74

3亍

8.如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm）,则该几何体的表面积为（）

ME

2

15兀cnrB.217rcm

2

C.24兀cv%?D.33〃cm

9.设复数二满足（l+i）z=l-万，贝!Iz在复平面内的对应点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

10.已知集合A={y|y=bd-1,x£R},B={x|x>2},则下列结论正确的是（）

A.-3£AB.3eBC.AnB=BD.AUB=B

22

11.设£分别是椭圆£5+4=1（。>人>0）的左、右焦点，过E的直线交椭圆于A,B两点，且衣「丽=0,

a

近=2可，则椭圆E的离心率为（）

A23A/5a

A.B・C・-----D*-----

3434

12.设集合A={H%2-5X-6<0},3={乂1一2<0},则4口3=（）

A.{R-3<X<2}B.{X|-2<X<2}

C.{x|-6<x<2}D.{x|-l<x<2}

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在回归分析的问题中，我们可以通过对数变换把非线性回归方程y=c,"，（q>0）转化为线性回归方程，即

两边取对数，令z=lny,得到2=,2彳+1!1。.受其启发，可求得函数y=（x>0）的值域是

14.已知函数/（力是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=l对称，当xe（O,l］时，〃力=一*（其中《是自

然对数的底数，若/（2020—ln2）=8,则实数。的值为.

1

15.已知数列｛为｝的前〃项和为S”，向量1=（4,-〃），B=（S,,,〃+3）.若己_15，则数列｛——｝前2020项和为

na„

16.在AABC中，B、C的坐标分别为（一20,0）,（272,0）,且满足sinB-sinCu^sinA,。为坐标原点，

若点P的坐标为（4,0）,则正•丽的取值范围为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在创建“全国文明卫生城”过程中，运城市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创

城知识问卷调查（一位市民只能参加一次），通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：.

组别[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

频数212202524134

（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z-NQ/,198）,M似为这10（）人得分的平均值（同一组中的数

据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求尸（38.2<ZW80.2）；

（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:

①得分不低于〃的可以获赠2次随机话费，得分低于〃的可以获赠1次随机话费;

②每次获赠的随机话费和对应的概率为：

赠送话费的金额（单位：元）2050

3

概率

44

现有市民甲参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列与数学期望.

附：参考数据与公式：V198®14,若X-N（〃,CT2）,则。（"―b<x«4+b）=0.6826,

P（〃-2b<XW〃+2b）=0.9544,-3cr<XW〃+3b）=0.9974

18.（12分）如图，点C是以A3为直径的圆。上异于A、3的一点，直角梯形BCDE所在平面与圆。所在平面垂

直，且DE"BC,DC上BC,DE=-BC=2,AC=CD=3.

2

D

(1)证明：£O//平面AC。；

(2)求点E到平面4犯的距离.

19.(12分)已知数列｛4｝的前〃项和S“和通项为满足2s”+a.=l(〃eN*).

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)已知数列也｝中，4=3%,%=d+1(〃eN*),求数列｛4+2｝的前〃项和7“.

20.(12分)已知函数/(x)=|x+l|-2|x-a|,a>().

(1)当”=1时，求不等式/@)>1的解集；

(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.

x=tfX=cos0

21.(12分)已知直线/：〈厂厂(/为参数)，曲线.八(。为参数).

、y=—j3+j3f[y=sm。

(D设/与G相交于A,8两点，求|AB|；

iA

(2)若把曲线G上各点的横坐标压缩为原来的5倍，纵坐标压缩为原来的冷倍，得到曲线。2,设点P是曲线G上

的一个动点，求它到直线/距离的最小值.

22.(10分)已知/(x)=d+办2-/%+2.

(1)若求函数/(x)的单调区间；

(2)若不等式2月旧4/'(力+。2+1恒成立，求实数a的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

根据函数解析式，可知/(力的定义域为xeR,通过定义法判断函数的奇偶性，得出/(-x)=/(x),则为偶

函数，可排除C,。选项，观察45选项的图象，可知代入犬=0,解得/(0)>0,排除3选项，即可得出答案.

【详解】

解：因为=

所以/(X)的定义域为xeR,

)2f+2*2X+2~x')

.•./(x)为偶函数，图象关于>轴对称，排除C,。选项，

且当x=0时，/(0)=g>0,排除8选项，所以A正确.

故选：A.

【点睛】

本题考查由函数解析式识别函数图象，利用函数的奇偶性和特殊值法进行排除.

2.B

【解析】

根据复数的几何意义可知复数z对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定|z-z|,

即可得|z—i|的最大值.

【详解】

由|z|=l知，复数Z对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，

|z-表示复数二对应的点与点(0,1)间的距离，

又复数二对应的点所在圆的圆心到(0』)的距离为1,

所以|z—L=1+1=2.

故选：B

【点睛】

本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题.

3.D

【解析】

A.若。,则加//£或mu£,故A错误；

B.若aJ■反机则〃?//，或加u£故B错误；

C.若根//a,。，/?,则根//力或加（=2，或机与£相交；

D.若〃7_1_。,。//尸，则"2_!_/?,正确.

故选D.

4.D

【解析】

根据复数z满足z（l+i）=l-"利用复数的除法求得工，再根据复数的概念求解.

【详解】

因为复数z满足z（l+i）=l—i,

所以z二"二（：：）=_/•,

1+z+-i）

所以z的虚部为-1.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

5.D

【解析】

根据〃久）是定义在（o,+纥）上的增函数及"』有意义可得/'（6>0,构建新函数g（x）=40,利用导数可得

J㈤x

8（同为（0,+。）上的增函数，从而可得正确的选项.

【详解】

因为/(x)是定义在(o,+8)上的增函数，故/'(x)zo.

f(\

又分'x有意义，故/'(力工()，故r(x)>o,所以/(力<才(力.

令g(x)=#,则g，d(”〃x)>0,

故g(x)在(。,+8)上为增函数‘所以g⑶〉g(2)即

整理得至!|243)>3〃2).

故选：D.

【点睛】

本题考查导数在函数单调性中的应用，一般地，数的大小比较，可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系

构建新函数，本题属于中档题.

6.A

【解析】

先求出sinA,由正弦定理求得。，然后由面积公式计算.

【详解】

由题意sinC=Jl—(—乎>=与，

.,.“i°r1,2万_GV21币

sinA=sin(c+C)=sinecosC+cos£>sinC=—x(----)H----x....----.

272714

,asinBlxsin30°匚

ab»=———=——广—=J7

由——7=——~得sinAV?>

sinAsinB——

14

。'卜•「I、H而6

S==-absmC=—xlx，7x---=—•

2272

故选：A.

【点睛】

本题考查求三角形面积，考查正弦定理，同角间的三角函数关系，两角和的正弦公式与诱导公式，解题时要根据已知

求值要求确定解题思路，确定选用公式顺序，以便正确快速求解.

7.D

【解析】

如图所示，设的中点为。2，A5CD的外接圆的圆心为。-四面体A-BCD的外接球的球心为。，连接

OO{,OO2,OD,利用正弦定理可得。a=1,利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形。。2。01为平行四边形，

最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.

【详解】

如图所示，设AO的中点为。2，ABCQ外接圆的圆心为。I，四面体A-3CO的外接球的球心为。，连接

则平面

OOVOO2,OD,OQ_LBCD,002IAD.

2—31

因为CD=BD=1,BC=£,故cosNBDC=------=-一，

2x1x12

因为N3OC€（0,〃），故N8DC=子.

由正弦定理可得2°。=-^£=2,故。01=i,又因为4。=百，故=］叵.

sin——2

3

因为A£>_L£>8,A£>_LCO,DBcC£>=£>,故4），平面BCD,所以OOJ/A0,

因为4），平面BCD,OQu平面BCD,故A。，。。一故00JIDO、,

所以四边形。。2。。为平行四边形，所以001=。。2=三，

所以。。=<跖=也，故外接球的半径为且，外接球的表面积为4万xN=77.

V4224

故选：D.

【点睛】

本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变

量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一

定的难度.

8.C

【解析】

由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5C”,底面直径是6。加，据此可计算出答案.

【详解】

由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5。”，底面直径是6。加，

该几何体的表面积S=^x32+zrx3x5=247r.

故选:C

【点睛】

本题主要考查了三视图的知识，几何体的表面积的计算.由三视图正确恢复几何体是解题的关键.

9.C

【解析】

化简得到lz=-3-4i,得到答案.

【详解】

(l+i)z=l-7i,故z=尸=(1-7吸一?==—3—4i,对应点在第三象限.

'71+z(l+z)(l-«)2

故选：C.

【点睛】

本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力.

10.C

【解析】

试题分析：集合A={y|yN-l}.•.8=A.・.AcB=B

考点：集合间的关系

11.C

【解析】

根据和=2项表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出“，c关系，求出离心率.

【详解】

•.南=2哥

设BF2=x,则AF2=2x

由椭圆的定义，可以得到4月=2。-2工,84=2。一不

•.•亚•它=(),.•.

AFt±AF2

在放AA耳8中，有（2a—2x）2+（3x）2=（2a—x）2,解得％=£

…2aAe4。

AF2=~^，AF'=7

在R&/谯中，有（雪+（那=（2,）2

整理得二=*,.•*=£=@

a29a3

故选C项.

【点睛】

本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出。关系，得到离心率.属于

中档题.

12.D

【解析】

利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可.

【详解】

由题意知，集合A={乂-1<x<6},B=卜,<2},

由集合的交运算可得,Ac8={x|-l<x<2}.

故选:D

【点睛】

本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

「1）

13.大+8

_3）

【解析】

2

转化y=M啕①）（QO）为log3y=（log3x+l）-1，即得解.

【详解】

由题意:

log,<9v)2

y=x(x>0)=log3y=log3x-(log39x)=log3x-(2+log3x)=(log3x+1)-1>-1y>-.

故答案为：+

【点睛】

本题考查类比法求函数的值域，考查了学生逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

14.3

【解析】

先推导出函数y=/(x)的周期为4,可得出了(2020-ln2)=/(-ln2)=—/(ln2)=8,代值计算，即可求出实数。

的值.

【详解】

由于函数y=/(力是定义在R上的奇函数，则/(t)=一/(力，

又该函数的图象关于直线x=l对称，则/(l-x)=/(l+x),

所以，/(2+x)=/[l-(l+x)]=/(-%)=-/(■«).则"4+x)=_/(x+2)=/(x),

所以，函数y=/(x)是周期为4的周期函数，

所以/(2020—In2)=/(―In2)=-/(In2)=ealn2=(eln2)<，=2"=8,解得a=3.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查利用函数的对称性计算函数值，解题的关键就是结合函数的奇偶性与对称轴推导出函数的周期，考查推理能

力与计算能力，属于中等题.

4040

15•

2021

【解析】

由已知可得万=4S”-〃(n+3)=0,可得S“二?(〃二),〃=1时，m=Si=l.当时，a“=S"-1.可得：

4

1211

——=(-、=2(-----------；).利用裂项求和方法即可得出.

nan+n〃+1

【详解】

aA.b,:=4S“-"(n+3)=0,

n(n+3).

ASn=—-----,〃=1时，ai=Si=l.

4

当心时，a,尸S,,-S…=3型-8WL”1.

442

〃+1

〃=i,满足上式，.・•可=£-.

二七=2(一)

〃a“〃(〃+1)nn+\

1

...数歹U｛嬴｝前2。2°项和为

2（」+」+11、,1、4040

H------------)=2(1一----)=

223202020212021----2021

4040

故答案为:

2021

【点睛】

本题考查了向量垂直与数量积的关系、数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

16.(12,-KO)

【解析】

由正弦定理可得点A在曲线?—?=1,x<—2上，设A（x,y）,则才。丽=》2一©+丁，将丫2=/一4代入可得

AO-AP=2（X-1）2-6,利用二次函数的性质可得范围.

【详解】

解：由正弦定理得AC—AB=WBC=在X4夜=4<4起,

22

则点A在曲线三―二=l,x<—2上,

44

22

设A(x,y),则彳—=l,x<—2>

AO-AP=(-x,-y)(4-x-y)=x2-4x+y2,

Xy2=x2-4,

.\AOAP=X2-4X+X2-4=2(X-1)2-6,

因为x<—2,则A0A户>2x(—2—1)2—6=12,

即A。.A户的取值范围为(12,+20).

故答案为：(12,+8).

【点睛】

本题考查双曲线的定义，考查向量数量积的坐标运算，考查学生计算能力，有一定的综合性，但难度不大.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)0.8185(2)详见解析

【解析】

(1)由题意，根据平均数公式求得〃=66.2,再根据b=Jj丽。14,参照数据求解.

(2)由题意得P(Z<〃)=P(Z»〃)=；,获赠话费X的可能取值为20,40,50,70,100,求得相应的概率，列出分布

列求期望.

【详解】

/八人的上但35x2+45x12+55x20+65x25+75x24+85x13+95x14“

(1)由题意得------------------------------------------------------二66.2o

〃=66.2

a=J198«14

.•，(66.2-14<Z<66.2+14)=P(52.2<Z<80.2)=0.6826

P(66.2一2x14<Z<52.2)=；[P(38.2<Z<94.2)-P(52.2<Z<80.2)]=0.1359

综上，P(38.2<Z<80.2)=P(38.2<Z<52.2)+P(52.2<Z<80.2)=0.1359+0.6826=0.8185

(2)由题意得P(Z<〃)=P(Z之〃)=；,获赠话费X的可能取值为20,40,50,70,100

14a133Q

p(X=20)=—x—=—,p(X=40)=—x—x—二=

'7248'724432

PD(/XV=5c0n)\=—1x1—=—1,P(Xv=70)=—1x3—x—1I—1x1—3x—=—3

'7248'724424416

X的分布列为:

X20405070100

3931

p

83281632

.-.£X=20x-+40x—+50xl+70x—+100x—­—

832816324

【点睛】

本题主要考查正态分布和离散型随机变量的分布列及期望，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

18.(1)见解析；(2)巫

41

【解析】

(1)取8C的中点证明。河〃47,后知//。,则平面0M£〃平面48,则可证£。〃平面ACZ).

(2)利用“匕-EBO,AC是平面的高，容易求.52怵=；。七*。。=；*2乂3=3,再求5"物，则点E

到平面的距离可求.

【详解】

解：(1)如图:

取BC的中点M，连接QM、ME.

在△ABC中，。是AB的中点，"是8c的中点，

OM//AC,AC<z平面EMO,MOu平面EMO，故AC//平面EMO

在直角梯形BC0E中，DE//CB,且DE=CM,

二四边形MCDE是平行四边形，EM〃C£>,同理CD〃平面£MO

又CDcAC=C，故平面EMO//平面ACD，

又「EOu平面EM。,；.E。〃平面ACD.

(2)QAB是圆。的直径，点。是圆。上异于A、B的一点，

AC1BC

又•・•平面BCDE，平面ABC,平面BCDEc平面ABC=BC

•,.AC_L平面BOE,

可得AC是三棱锥A-BDE的高线.

在直角梯形BCDE中，SgDE=goExCO=；x2x3=3.

设E到平面的距离为h＞则^E-ABD=匕-EBD»即—S&ABD''=§'人。

由已知得AB=5,3。=5,4。=3夜，

由余弦定理易知：COSNA8D=£,则

25AABD22

解得/?=g画，即点后到平面河的距离为5至

4141

6向

故答案为:

41

【点睛】

考查线面平行的判定和利用等体积法求距离的方法，是中档题.

19.⑴4=(；(〃eN*)；⑵7；=；(“2+〃+])_；.(；("N*

【解析】

(1)当，*2时，利用4=5“一S,i可得上匚=：(〃22),故可利用等比数列的通项公式求出｛为｝的通项.

an-\$

(2)利用分组求和法可求数列｛q,+bn｝的前〃项和T„.

【详解】

(1)当〃=1时，2SI+q=l,所以%=；,

当2时，2s“+%=1,①

2s“_1+4i=l，②

所以2(S,一S,T)+%—a,i=。,

即3a“=a,i，又因为4=：/0,故a,产°,所以2-=；("、2),

a

3n-\$

所以｛a,,｝是首项4=g,公比为g的等比数列，

故％=.x-=-(neN).

⑵由bn+l=2+1得：数列｛hn｝为等差数列，公差d=T,

伪=3xg=l,2=1+(〃-1)x1=〃，

北=(4+4)+(%+©+■,,+(%+2)

=(4+4+…+4,)+(4+伪+…+包)

=S“+(1+2H-----\-n)

⑶〃(〃+1)

1

2-------2

1/1f1Y/2r

=-2+H+a1J--•-JJ.

【点睛】

本题考查数列的通项与求和，注意数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组

求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么

用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.

20.(I){%|—<x<2}(II)(2»+»)

【解析】

试题分析：

(I)由题意零点分段即可确定不等式的解集为］乂|<x<2)；

227/、

(II)由题意可得面积函数为为1(。+19)\求解不等式+1)'>6可得实数a的取值范围为(2,+8)

试题解析：

(/)当a=l时，/(x)>l化为卜+1|-2上一1|一1>0,

当xW—1时，不等式化为x—4>0,无解;

2

当—1<X<1时，不等式化为3x—2>(),解得一<x<l；

3

当时，不等式化为—x+2>(),解得l<x<2.

所以〃x)>l的解集为1x[g<x<21.

x—1—2a,x<-1,

(〃)由题设可得，〃x)=<3%+1—2。,一1<x<a,

-x+l+2〃,x>。，

所以函数“X)的图像与X轴围成的三角形的三个顶点分别为A[=B(2a+l,0),C(a,a+l),

2\2

AASC的面积为+1).

2o

由题