专题01 整数和整除 （考点串讲）（解析版）

专题01整数和整除【考点剖析】1.；2.整除：整数a除以整数b，若除得的商是整数且余数为零.即称：a能被b整除；或b能整除a.整除的条件：整除与除尽的关系3.因数与倍数：整数a能被整数b整除，a就叫b的倍数，b就叫a的因数（约数）.因数与倍数的特征：4.能被2整除的数，能5整除的数的特征：个位上数字是0，5；能同时被2、5整除的数：个位上数字是0.*能被3整除的数：一个整数的各个数位上数字之和能被3整除，这个整数就能被3整除.*能同时被2、3和5整除的数：个位数是0，且各个数位上数字之和能被3整除.【典例分析】【考点1：整数和整除的意义】例题1（浦东南片十六校2020期末1）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（）A.5和20；B.7和2；C.34和17；D.1.2和3.【答案】C；【解析】解：A、20能被5整除，故A不符合题意；B、没有整除关系，故B不符合题意；C、34能被17整除，故C符合题意；D、1.2不是整数，故D不符合题意；因此答案选C.例题2（2019上南中学10月考2）在数18，-24，0，2.5，，2005，3.14，-10中，整数有（）A.2个；B.3个；C.4个；D.5个.【答案】D；【解析】解：在上述数中，其中整数有18，-24，0，2005，-10共5个，故答案选D.【考点2：因数与倍数】例题3（2019晋元附校测试2）14的因数有__________.【答案】1、2、7、14；【解析】解：14的因数有1、2、7、14.例题4（2019浦东上南东10月考17）如果用表示的全部因数的和，如，那么________【答案】24；【解析】解：因为表示的全部因数的和，故[18]=1+2+3+6+9+18=39，[8]=1+2+4+8=15，所以[18]-[8]=39-15=24.【考点3：能被2，5整除的数】例题5（奉贤2019期中10）正整数中，能同时被2和5整除的最大两位数是.【答案】90；【解析】解：正整数中，能同时被2和5整除的最大两位数是90.例题6（青教院附中2019期中18）如图，用灰白色正方形瓷砖铺设地面，则第n个图案中白色瓷砖数为块.【答案】;【解析】解：第1个图案中白色瓷砖数为块，第2个图案中白色瓷砖数为块，第3个图案中白色瓷砖数为块，…，第n个图案中白色瓷砖数为块.【真题训练】一、选择题1.（嘉定2019期中15）下列各数中第一个数能被第二个数整除的是（）．（A）和；（B）和；（C）和；（D）和．【答案】C；【解析】解：整除是对整数定义的，故A、B均不符合题意，36能被18整除，18能整除36，故C符合题意，因此答案选C.2.（浦东南片十六校2020期末4）1是最小的（）A.自然数；B.整数；C.素数；D.正整数.【答案】D；【解析】解：最小的自然数为0，故A错误；整数没有最小值，故B错误；素数中最小的是2，故C错误；正整数中最小的是1，故D符合题意；因此答案选D.3.（浦东四署2019期中1）既是3的倍数，又是36的因数的数是（）A.2；B.4；C.15；D.18.【答案】D；【解析】解：36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36；其中又是3的倍数的是3、6、9、12、18、36；因此答案选D.4.（2019浦东上南东10月考1）下列算式中表示整除的算式是（）A.0.6÷0.3=2B.22÷7=3……1C.2÷1=2D.8÷16=0.5【答案】C【解析】解：根据整除的条件：被除数、除数、商均为整数且余数为零，可知A、B、D均不符合整除的定义，故答案选C.5.（2019浦东四署10月考2）下列说法中错误的是（）A.能被2整除的正整数都是偶数；B.一个正整数不是奇数就是偶数；C.两个素数的积一定是合数；D.一个素数的因数都是素数.【答案】D；【解析】解：A、能被2整除的正整数都是偶数，故A正确；B、一个正整数不是奇数就是偶数，故B正确；C、两个素数的积一定是合数，故C正确；D、一个素数的因数不都是素数，如5的因数是1和5，而1不是素数，故D错误；因此答案选D.6.（2019尚德实验10月考3）下列各组数中能同时被2和3整除的一组数是（）（A）10和35（B）42和24（C）15和16（D）22和20【答案】B；【解析】解：能同时被2和3整除的数一定是6的倍数，故A、C、D不符合条件，42与24均能被6整除，因此答案选B.7.（2019三林东10月考13）下列式中,被除数能被除数整除的是（）A.2÷4B.25÷3.5C.10÷3D.10÷2【答案】D；【解析】解：根据整除的定义，可知10能被2整除，商为5且余数为0，因此答案选D.8.（2019曹杨二附10月考12）M能整除19，那么M是（）A.19B.38C.19的倍数D.19的因数【答案】D；【解析】解：因为M能整除19，故M=1或19，1与19均是19的因数，故答案选D.9.（2019松江九亭10月考17）下列说法正确的是（）A.最小是素数是1；B.自然数和负整数统称为整数；C.因为2.6÷1.3=2，所以2.6能被1.3整除D.16的因数有2,4,8,16【答案】B;【解析】解：A、最小的素数为2，故A错误；B、自然数与负整数统称为整数，故B正确；C、因为2.6与1.3都不是整数，故C错误；D、16的因数有1、2、4、8、16，故D错误；因此答案选B.10.（2019闵行实验西校10月考3）对18、4和6，这三个数，下列说法正确的是（）A.18能被4整除；B.6能整除18；C.18是6的因数；D.6是4的倍数.【答案】B;【解析】解：A、18不能被4整除，故A错误；B、6能整除18，故B正确；C、18是6的倍数，故C错误；D、6不是4的倍数，故D错误；因此答案选B.二、填空题11.（嘉定2019期中1）最小的自然数是.【答案】0;【解析】解：最小的自然数是0.12.（浦东四署2019期中7）如果72÷8=9，我们就说8是72的.【答案】因数；【解析】解：如果72÷8=9，我们可以说：72是8的倍数，8是72的因数.13.（2019晋元附校测试1）在20、45、60三个数中，__________能被__________整除.【答案】60,20;【解析】解：在20、45、60三个数中，60能被20整除.14.（2019徐教院附中10月考11）写出2个既能被5整除，又能被2整除的数：______.【答案】10,20；【解析】解：既能被5整除且又能被2整除的数一定能被10整除，如：10、20、30等等.15.（嘉定2019期中2）将、、这三个数排成一个三位数，能被整除的最大数是. 【答案】540;【解析】解：将4、0、5这三个数排成一个三位数有：450、540、405、504，其中能被5整除的数为450、540两个，最大的数为540.16.（2019松江九亭10月考3）如果三位数5BB能同时被2、3整除，那么B是__________。【答案】522或588；【解析】解：能被2整除，则个位数为0或2或4或6或8，得这个三位数可能为500、522、544、566、588；同时又能被3整除，则各位上数字之和能被3整除，其中500、544、566、不能被3整除；而522、588能被3整除；因此B为522或588.17.(2019南模初中10月考3)写出一个能被7整除的最小偶数.【答案】14；【解析】解：因为7×1=7，7×2=14，故能被7整除的最小偶数为14.18.（2019浦东上南东10月考7）12的素因数有____________【答案】2、2、3；【解析】解：因为12=2×2×3，故12的素因数有2、2、3.19.(2019南模初中10月考2)12的所有因数是.【答案】1、2、3、4、6、12;【解析】解：12的所有因数是1、2、3、4、6、12.20.（华理附中2019期中6）一个数既是15的倍数，也是15的因数，则这个数是.【答案】15；【解析】解：一个数既是15的倍数，又是15的因数，则这个数是15.21.（2019徐教院附中10月考14）在15、36、45、60、135、96、120、180、570、588这十个数中，能同时被2、3、5整除的数有________________.【答案】60、120、180、570；【解析】解：能同时被2、3、5整除的数一定能被30整除，在上述10个数中，能被30整除的有60、120、180、570.22.（2019晋元附校测试9）一个自然数，它的个位数字是0，它共有4个因数，这个数是__________.【答案】10；【解析】解：根据已知个位数字是0，共有4个因数，那么这个自然数只能分解成两个素数的积，10=2×5，其它的个位数为0的自然数至少可以分解为有三个或者以上的素数之积，故这个数为10.23.（2019浦东四署10月考18）规定一种新运算：对于不小于3的自然数n，（n）表示不是n的因数的最小自然数，如：（5）=2，（8）