《圆锥曲线的方程》教材分析与教学建议新教材人教A版

人教A版选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》教材分析与教学建议2021年9月24日一、本章教材在整册教材及高中数学教学中的地位与作用《圆锥曲线的方程》是在学习《直线和圆的方程》的基础上，进一步运用坐标法研究几何问题，通过行星运行轨道，抛物运动轨迹等，让学生了解圆锥曲线的背景与应用，在平面直角坐标系中，建立它们的标准方程认识椭圆、双曲线、抛物线的几何特征，运用平面解析几何的方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想，培养学生直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养。二、本章教材与原教材相应内容的主要区别和联系1.新教材《曲线与方程》不再作为独立单元呈现在旧教材的课本中：2-1课本35页例题2求解线段垂直平分线后，给出了求解原曲线方程的步骤：（第36页）新教材选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》对应旧教材中《圆锥曲线与方程》，旧教材选修2-1中把《曲线与方程》作为一个独立的单元来处理，选修教材1-1和新教材都是是将这部分内容渗透到圆锥曲线的学习过程中，并在章末小结中（课本143页）给出了曲线的方程与方程的曲线的定义；通过例题和习题把求曲线方程的常用方法一一作了介绍,除了建立三种圆锥曲线的标准方程；由定义或待定系数法确定圆锥曲线的方程外，在例题、习题中都设置了21个求轨迹方程的问题：椭圆有8个：课本108页例2,例3；109页练习4；113页例6；115页习题3。1中6，8,9,10。双曲线中共设置了7个求轨迹方程的题：121页的探究；5页例5；126页的练习1；127页习题3。2中5,10,11,14。抛物线中共设置了4个：137页例6；138页练习第5题；习题3.3中的第9、11题。再加上145页的复习参考题中的第9,11题。2.课本例题、习题有所调整椭圆的例题(7个)，练习题(共11个)（原来分两个练习，现在是三个练习），习题(14个)，总体个数没变，具体题目内容和顺数有所调整；新教材中的例7是与旧教材中的例7相关的一个变式，而旧教材中的例7放到了新教材课后习题13题的位置上；课后习题第2题删除了一个与例1同类型的一个小题，保留了原来的两个小题，删除了旧教材的习题第3题（给出方程画椭圆）；新教材习题14题是原来的A组中的第8题。双曲线：例题6个没变，课本121页练习新增第4题；课本124页和127页练习由原来的5个增加到7个，删除了一个，新增了3个：习题3.2的习题数量由原来的10个增加到14个：新增第7，11,12,14题。抛物线：6个例题，其中例2改了一个数据（深度由原来的2m改为1m），例6由原来的直线与抛物线的位置关系换成了求轨迹方程（课本137页）：练习由原来的7个增加到11个；136页练习1中4个小题的体干表述有所改变，课本138页5个练习均为新增。注意用好教科书中的例题、习题从当前教学实际看，各种教辅资料中充斥着大量解析几何题，诸如单动点轨迹问题、双动点轨迹问题、多动点轨迹问题，圆锥曲线中参数的取值范围问题、最值问题、定值问题、对称问题、存在性问题……·些题目的解答往往需要一些特定技巧，需要学生投入大量时间和精力，但对理解圆锥曲线的定义与性质却起不了多大作用。这种现状需要改变。教科书中的例题与习题，其选编的原则是帮助学生深入理解圆锥曲线的几何特征，熟练运用坐标法研究圆锥曲线的性质以及它们的位置关系，并能解决有一定综合性的问题，通过解题感悟解析几何中蕴含的数学思想。具体的题目主要是研究圆锥曲线的性质。教学中应注意这些题目的教学功能，使学生认识到认真解答这些题目的重要性，必要时可以对有关题目进行适当的变式拓展。3.圆锥曲线定义的引入方面椭圆定义的引入没改变，通过探究实验画椭圆，让学生观察椭圆的几何特征，抽象概括出椭圆的定义；双曲线的定义的引入不再利用拉链画图探究，而是借助信息技术软件《GeoGebra》进行探究，（见课本118页）：抛物线定义的引入不是从二次函数的图像引入而是利用椭圆、双曲线的统一定义，借助信息技术展示作图过程让学生抽象概括出定义，见课本130页引言：折纸实验在圆Ｏ内任取一点Ｆ（与点Ｏ不重合）．在圆周上任取一点Ｎ，将其与圆心Ｏ相连，得半径ＯＮ．折叠圆形纸片，使点Ｎ与点Ｆ重合，将折痕与半径ＯＮ的交点记作Ｍ．重复以上过程，得到下图：折纸实验让学生活动起来了，不仅由此能抽象出椭圆的定义，还能发现折痕是椭圆的切线，进一步还可以研究椭圆的光学性质．后续还可以折纸生成双曲线、抛物线．但是学生可能会质疑怎么想到要这样折纸的，同时折纸实验得到椭圆定义的过程对学生转化和抽象的能力要求较高，学生在发现轨迹上点的共同特征时会遇到较大困难．本章教材的编写特点圆锥曲线是传统内容，对它的改革思路，总体上看是"削支强干"，以"精简"为基调，并注重用向量方法进行拓展。因此人教A版在编写本单元教材时，注意吸收以往教科书的优点。强调在继承的基础上进行创新。具体的，在内容的选择上，围绕圆锥曲线的核心概念、以椭圆、双曲线、抛物线的主要性质及其应用为重点，做到削支强干;在结构体系上，强调知识发生发展的逻辑合理性，加强背景和应用，从而使学生在三种曲线的学习中经历完整的研究过程;注重按照学生学习心理组织教科书内容，加强数学思想的引导和解题方法的分析，循序渐进地逐步提高论理要求;注重坐标法思想内涵的理解和应用，减少机械套用、死记硬背;注重与平面几何、函数等相关主线的联系与综合。强调代数运算与逻辑推理的融合，体现解析几何的学科特征;注重利用数学史料，渗透数学文化等。本章教材的教学建议课时分配：教参给出本章教学约需13课时，建议增加3课时椭圆5课时双曲线3课时抛物线3课时直线与圆锥曲线（重点是直线与椭圆）2课时文献阅读与数学写作，解析几何的形成与发展1课时复习与小结2课时如前所述，解析几何的发明既是为了解决人类实践活动中提出的问题，又是为了探寻科学研究的普适性方法，教材以历史资料为素材，以用坐标法研究几何图形的过程与方法为导向，从宏观上提出系列问题，引导学生感受学标法。这样的处理对学生把握解析几何的基本思想和学习方向很有好处，这是教师在分析和理解教材编写意图时需要关注的一个问题。五、贯彻实施“单元整体教学”单元的学习任务一般都有一个明确的主线，这个主线可以是外显的知识技能，也可以是内蕴于知识学习过程中的思想方法或学科素养。因此，一般又可根据学习主线的类型将学习单元分为两类∶以知识技能为主题的学习单元和以思想方法或学科素养为主题的学习单元。《普通高中数学课程标准（2017年）》指出∶通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称"四基"）。知识技能不等于数学素养，但却是发展数学素养的有效载体，现阶段教科书基本是以外显的知识为明线组织的，因此，教科书中自然的章节就是天然的单元。圆锥曲线部分包含椭圆、双曲线、抛物线，从知识技能角度看，三者的知识结构相近，知识间存在内在的必然联系，具有统一性。现行人教版教科书采用了"总——分——总"的方式，把三者整合在一起。教材先通过阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》总体建构椭圆、双曲线、抛物线的概念，引出大单元的学习内容。然后分三个小单元进行学习，每个单元的研究结构是一致的，均从标准方程和几何性质两个方面展开研究，最后在知识学习的基础上;进行单元总结回顾，形成圆锥曲线学习与研究的大框架。教科书中对本章的整体设计如下∶显然，教师只要按照教科书设计的上述过程进行教学设计并展开教学，就可以引导学生展开结构化的系统学习，建立清晰、稳定和可利用的"椭圆与方程"的认知结构双曲线、抛物线两节内容与椭圆同构，所以设计思路完全一致。如果椭圆的基础扎实，那么就可以让学生通过类比椭圆的研究过程展开双曲线和抛物线的自主学习，只要在双曲线的渐近线，抛物线的背景与定义等几个点上适当启发即可。从单元到课时，既需要站在高观点、思想性、结构化的视角对教学内容进行整体设计，又需要用思想方法来引领课时实施，只有这样，我们的课堂才能"既见森林又见树木"，才能让核心素养落地生根。本章夯实“四基”，提升“四能”，培养“六大核心素养”的措施、办法等。在每一种圆锥曲线的研究中，教材从节引言开始，通过"观察""恩考""探究"等栏目，根据知识的发生发展需要提出层层递进的问题，从而形成环环相扣的系列化数学活动。这些问题是学生在学习具体内容时普遍都会遇到的，教材通过它们来引导学生的思考方向，为学生独立思考、自主探究构建平台。例如，在"椭圆"一节中，教材按知识的发展过程顺次提出了如下问题∶教材以上述系列化情境与问题为载体，构建了分析背景----探索几何特征----选择坐标系、建立标准方程----探索不同形式的标准方程---通过方程研究几可性质"的系列化数学活动。具体地，在"椭圆"一节中，如前所述，教科书用前后连贯、循序渐进的十多个问题组成"问题串"，将内容连成一体，引导学生有逻辑地展开学习与探究。这些问题既有针对整体思路的，也有针对具体内容的;既有针对思想方法、研究策略的，也有操作性的、针对特例或细节的。它们是以椭圆知识的内在逻辑为依据而设置的自然而然的学习主线，解决了这些问题就可以形成思想内涵丰富的"椭圆与方程"知识体系。在"问题串"的引导下，学生可以完整地经历如下过程∶通过具体情境（如行星运行轨道），了解椭圆的背景与应用;结合情境、通过动手操作清晰地描述图形的几何特征与问题，即椭圆是到两个定点的距离之和为定长的动点的轨迹;结合几何特征合理地建立坐标系，用代数语言描述这些特征与问题;借助几何图形的特点，形成研究椭圆性质的思路，利用方程，并通过直观想象和代数运算得到结果；给出代数结果的几何解释，解决问题。在椭圆的给出方面我们也可以采用：由圆到椭圆我们在实施教学时，先将直立的圆柱形玻璃水杯倾斜，让学生观察水面的边界的变化;接着，借用"椭"字的释义（"长圆形"），触发学生思考。我们研究椭圆的定义（未知）不太容易，能否"以退为进"，由圆的发生定义（已知）怎样改变条件得到椭圆?进一步，教师提问∶用一条绳子（无弹性）能画出圆吗?怎么画?为什么?接着，让学生2人—组尝试画出其他的图形。开放的情境，引发了学生思维的发散，预设的结果已基本实现。有的学生发现，将绳子两端不重合时，固定两端，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形呈现了我们印象中的"椭圆"的形状;还有的学生发现虽然绳长一样，但画出的椭圆有的圆一些，有的扁一些。有的学生还发现有时画不出轨迹来;有时轨迹会是一条线段。设计从学生已有的经验出发，通过画图活动，"逼"学生改变条件画出更多的图形，从而发现椭圆的生成。然后学生回顾画图活动，让原来有思路的学生更有逻辑，原来无意画出椭圆或没想法也没画出椭圆的学生有了思考问题的入口点，最后，学生用语言描述画出的椭圆，逐步过渡到椭圆定义，整个活动的设计，关注到学生的数学抽象和逻辑推理素养。对于椭圆标准方程的推导，人教Ａ版、北师大版和湖南教育版教材都采用了“移项平方”的方法，在等式两边构造出大量相同项，消去后起到化简的效果;人教B版教材通过构造共轭无理数对去根号，这个方法很多学生不容易想到，但这样做只需经历一次平方，所以在验证曲线方程定义时要容易一些，其中，北师大版教材给出了对"以方程的解为坐标的点都在曲线上"的严格证明过程供学生参考，人教A版只说明了"以方程的解为坐标的点都在曲线上"是成立的，但未证明。在椭圆标准方程推导的实际教学中，由于推导过程较长、运算量较大，很多教师常常采用直接讲授，或者告知结论，将推导过程留为作业的方式。这样设计看似节省了课上时间，可以完成更多的练习，却失去了提升学生思维水平和运算能力的契机。处理方法：直接平方，移项平方，构造共轭无理数与联系等差数列等方式处理。另外：在本节课中，我们鼓励学生在认真分析方程特点的基础上，自己推导椭圆的标准方程，因为有了前面猜想椭圆方程的铺垫，学生已经能把握化简整理的方向∶需要通过平方去掉方程中的根号。那么怎样减少运算量?引导学生"三思而后行"，多想常常就能少算，但少算不代表不算。最后要让学生自己完成方程的推导。解析几何的教学一定要注重综合性，以单元整体教学帮助学生认识数学的整体性，这是由解析几何的内容特征所决定的。以上的教学思路，先是把握圆锥曲线的基本要素、不变量，再从"相互关系""相互转化"等角度发现和提出问题、获得性质，然后通过逻辑推理证明其正确性。在发现曲线性质的过程中，运算、距离、角度、斜率、不变量等核心概念提供了基本思路和方法。这样的教学比较准确地体现了圆锥曲线的整体性，以数形结合思想和坐标法为核心，围绕"以圆锥曲