第02讲 有理数的乘法和除法（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）

第02讲有理数的乘法和除法1.理解有理数乘法、除法法则；理解倒数概念2.能利用乘法则进行简单的有理数的乘运算；3.能掌握乘法的运算定律和运算技巧，熟练计算；4.通过将除法转化成乘法，初步培养学生数学的归一思想知识点1：乘法法则（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。（2）任何数同0相乘，都得0。（3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。（4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。知识点2：除法法则（1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。知识点3：倒数（1）定义：的两个数互为倒数。（2）性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数。注意：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数为.知识点4：乘法运算定律（1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。【题型1有理数的乘除法的概念辨析】【典例1】（2022秋•碑林区校级期末）下列说法中，正确的是（）A．有理数可分为：正整数、负整数、正分数以及负分数 B．绝对值最小的数与任何有理数相加答案都不变 C．两个有理数相加，和一定大于或等于这两个加数 D．两个有理数相乘的积为正数，说明这两个数同号【答案】D【解答】解：有理数可分为：正整数、负整数、0、正分数以及负分数，A选项说法错误，不符合题意；绝对值最小的数是0，0与任何有理数相加都得这个数，B选项说法错误，不符合题意；两个有理数相加，和不一定大于或等于这两个加数，C选项说法错误，不符合题意；两个有理数相乘的积为正数，说明这两个数同号，D选项说法正确，符合题意．故选：D．【变式1-1】（2022秋•抚远市期末）若a+b＞0，且ab＜0，则以下正确的选项为（）A．a，b都是正数 B．a，b异号，正数的绝对值大 C．a，b都是负数 D．a，b异号，负数的绝对值大【答案】B【解答】解：∵ab＜0，∴a，b异号，∵a+b＞0，∴正数的绝对值大，故选：B．【变式1-2】（2022秋•碑林区校级期末）下列叙述正确的是（）A．互为相反数的两数的乘积为1 B．所有的有理数都能用数轴上的点表示 C．绝对值等于本身的数是0 D．n个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负【答案】B【解答】解：A、互为相反数的两个数和为0，故A错误．B、实数和数轴一一对应，故所有的有理数都能用数轴上的点表示．故B正确．C、绝对值等于本身的是0和正数，故C错误．D、n个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负，但0除外，故D错误、故选：B．【变式1-3】（2021秋•崇川区校级月考）现有以下五个结论：①有理数包括所有正数、负数和0；②若两个数互为相反数，则它们相除的商等于1；③被减数一定大于减数；④绝对值等于其本身的有理数是零；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数．其中正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【解答】解：①有理数包括所有正有理数、负有理数和0，不是正数、负数和0，故①错误；②若两个非0数互为相反数，则它们相除的商等于1，故②错误；③被减数不一定大于减数，如3﹣5＝﹣2，故③错误；④绝对值等于其本身的有理数有正数和零，故④错误；⑤几个非0有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，故⑤错误，故选：A．【题型2倒数的概念及运用】【典例2-1】（2023•新华区校级二模）有理数的倒数是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：，的倒数是．故选：D．【典例2-2】（2021秋•库尔勒市校级期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，求m2﹣cd+的值．【答案】3．【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，∴a+b＝0，cd＝1，m＝±2，当m＝2时，原式＝22﹣1+＝4﹣1+0＝3；当m＝﹣2时，原式＝（﹣2）2﹣1+＝4﹣1+0＝3，∴m2﹣cd+的值为3．【变式2-1】（2023•武侯区模拟）下列各数中，倒数是它本身的数是（）A．1 B．0 C．2 D．﹣2【答案】A【解答】解：倒数是它本身的数是±1，故选：A．【变式2-2】（2022秋•青浦区校级期中）已知a、b互为倒数，则＝．【答案】．【解答】解：∵a、b互为倒数，∴ab＝1，∴＝﹣×1＝﹣＝，故答案为：．【变式2-3】（秋•宁远县校级月考）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，2（a+b）+cd的值．【答案】1．【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，∴a+b＝0，cd＝1，∴2（a+b）+cd＝0+1＝1，答：2（a+b）+cd的值为1．【题型3有理数的乘除法的简单运算】【典例3】（2021秋•洪泽区校级月考）计算：（1）﹣3÷（﹣）÷（﹣）；（2）（﹣12）÷（﹣4）÷（﹣1）；（3）（﹣）×（﹣）÷0.25；（4）（﹣2）÷（﹣5）×（﹣3）．【答案】（1）﹣；（2）﹣；（3）；（4）﹣．【解答】解：（1）原式＝﹣3×（﹣）×（﹣）＝﹣；（2）原式＝（﹣12）×（﹣）×（﹣）＝﹣；（3）原式＝（﹣）×（﹣）×4＝；（4）原式＝（﹣）×（﹣）×（﹣）＝﹣．【变式3-1】（2022秋•榆树市期中）计算：（﹣54）÷×÷（﹣32）．【答案】3．【解答】解：原式＝54×××＝3．【变式3-2】（2021秋•永吉县期中）计算：（﹣3）÷（﹣1）×（﹣）．【答案】﹣1．【解答】解：原式＝﹣×（﹣）×（﹣）＝﹣1．【变式3-3】（2021春•闵行区期中）计算：（﹣2）÷（﹣1.2）×（﹣1）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（﹣2）÷（﹣1.2）×（﹣1）＝﹣××＝﹣．【变式3-4】（2020秋•盐都区校级期中）计算：（1）﹣4×（﹣7）；（2）（﹣2）×（﹣7）×（+5）×（﹣）；（3）（﹣24）÷（﹣2）÷（﹣1）；（4）﹣27×÷（﹣24）．【答案】（1）28；（2）﹣10；（3）﹣10；（4）．【解答】解：（1）﹣4×（﹣7）＝28；（2）（﹣2）×（﹣7）×（+5）×（﹣）＝﹣（2×5×7×）＝﹣10；（3）（﹣24）÷（﹣2）÷（﹣1）＝12÷（﹣1）＝﹣10；（4）﹣27×÷（﹣24）＝27÷×÷24＝27×××＝．【变式3-5】（秋•惠东县校级月考）【答案】见试题解答内容【解答】解：＝＝．【题型4有理数的乘法运算定律的运用】【典例4】（2022秋•隆昌市校级月考）用简便方法计算：①；②．【答案】①﹣2；②﹣2398．【解答】解：①原式＝（﹣）×（﹣36）﹣×（﹣36）+×（﹣36）＝3+1﹣6＝﹣2．②原式＝（﹣100+）×24＝﹣100×24+×24＝﹣2400+2＝﹣2398．【变式4-1】（2022秋•济南期中）（﹣+）×（﹣24）．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝×（﹣24）﹣×（﹣24）+×（﹣24）＝﹣12+4﹣8＝﹣16．【变式4-2】（秋•富顺县月考）﹣；【答案】3599．【解答】解：原式＝＝＝＝3600﹣1＝3599．【变式4-3】用简便方法计算（1）（2）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）[45﹣（﹣+）×36]÷5，＝[45﹣×36﹣（﹣）×36﹣×36]÷5，＝（45﹣28+33﹣30）÷5，＝（78﹣58）÷5，＝20÷5，＝4；（2）﹣×（﹣92）+（﹣）×34+×23，＝×92﹣×34+×23，＝×（92﹣34+23），＝×（92﹣11），＝×81，＝18．【题型5有理数的乘除法与绝对值的综合】【典例5】（2022秋•福清市校级月考）已知|a|＝3，|b|＝5，且ab＜0，求b﹣2a的值．【答案】±11．【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝5，∴a＝±3，b＝±5，∵ab＜0，∴a、b异号，∴当a＝3时，b＝﹣5，此时b﹣2a＝﹣5﹣2×3＝﹣11，当a＝﹣3时，b＝5，此时b﹣2a＝5﹣2×（﹣3）＝11，∴b﹣2a的值为±11．【变式5-1】（2022秋•贵池区期末）已知|m|＝6，|n|＝2，且＞0，则m+n的值等于．【答案】±8．【解答】解：∵|m|＝6，|n|＝2，∴m＝±6，n＝±2，∵，∴m＝6，n＝2或m＝﹣6，n＝﹣2，当m＝6，n＝2时，m+n＝6+2＝8；当m＝﹣6，n＝﹣2时，m+n＝﹣6﹣2＝﹣8；综上所述，m+n的值等于±8．故答案为：±8．【变式5-2】（2022秋•福清市校级月考）已知|a|＝3，|b|＝5，且ab＜0，求b﹣2a的值．【答案】±11．【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝5，∴a＝±3，b＝±5，∵ab＜0，∴a、b异号，∴当a＝3时，b＝﹣5，此时b﹣2a＝﹣5﹣2×3＝﹣11，当a＝﹣3时，b＝5，此时b﹣2a＝5﹣2×（﹣3）＝11，∴b﹣2a的值为±11．【变式5-3】（2022秋•金牛区校级期中）设a，b，c都是非零有理数，试求+++的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：由已知可得：a，b，c为两正一负或两负一正．①当a，b，c为两正一负时：+++＝0；②当a，b，c为两负一正时：+++＝0；③当a，b，c都为正数时：+++＝4；④当a，b，c都为负数时：+++＝﹣4；综上所述+++值为0或4或﹣4．【题型6有理数的乘除法中的规律计算】【典例6】（2022秋•越城区期中）阅读下题解答：计算：．分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．解：×（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19．所以原式＝﹣．根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意得：[﹣++（﹣）2×（﹣6）]÷（﹣）＝[﹣++×（﹣6）]×（﹣42）＝﹣21+14﹣30+112＝75，则原式＝．【变式6】（2022秋•宁远县期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题：小明的解法：原式＝＝＝＝小红的解法：原式的倒数为＝﹣20+3﹣5+12＝﹣10故原式＝（1）你觉得小红的解法更好．（2）请你用自己喜欢的方法解答下面的问题：计算：【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）你觉得小红的解法更好．（2分）（2）原式的倒数为＝＝﹣7+9﹣28+12＝﹣14，故原式＝．1．（2022•张家界）﹣2022的倒数是（）A．2022 B．﹣ C．﹣2022 D．【答案】B【解答】解：﹣2022的倒数是：﹣．故选：B．2．（2022•包头）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a+3b﹣4c的值为（）A．﹣8 B．﹣5 C．﹣1 D．16【答案】C【解答】解：∵a，b互为相反数，c的倒数是4，∴a+b＝0，c＝，∴3a+3b﹣4c＝3（a+b）﹣4c＝0﹣4×＝﹣1．故选：C．3．（2022•台州）计算﹣2×（﹣3）的结果是（）A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣5【答案】A【解答】解：﹣2×（﹣3）＝+（2×3）＝6．故选：A．4．（2020•台湾）已知a＝（﹣12）×（﹣23）×（﹣34）×（﹣45），b＝（﹣123）×（﹣234）×（﹣345），判断下列叙述何者正确？（）A．a，b皆为正数 B．a，b皆为负数 C．a为正数，b为负数 D．a为负数，b为正数【答案】见试题解答内容【解答】解：∵a＝（﹣12）×（﹣23）×（﹣34）×（﹣45）中共有4个负数相乘，∴a为正数，∵b＝（﹣123）×（﹣234）×（﹣345）中共有3个负数相乘，∴b为负数，∴a为正数，b为负数，故选：C．5．（2020•山西）计算（﹣6）÷（﹣）的结果是（）A．﹣18 B．2 C．18 D．﹣2【答案】C【解答】解：（﹣6）÷（﹣）＝（﹣6）×（﹣3）＝18．故选：C．1．（2023•天津）计算的结果等于（）A． B．﹣1 C． D．1【答案】D【解答】解：原式＝+（×2）＝1，故选：D．2．（2023•株洲）计算：＝（）A．﹣6 B．6 C．﹣8 D．8【答案】A【解答】解：＝（﹣2）×3＝﹣6，故选：A．3．（2023•山西）计算（﹣1）×（﹣3）的结果为（）A．3 B． C．﹣3 D．﹣4【答案】A【解答】解：（﹣1）×（﹣3）＝1×3＝3，故选：A．4．（2023•东丽区二模）计算﹣2×|﹣3|的值是（）A．6 B．1 C．﹣5 D．﹣6【答案】D【解答】解：原式＝﹣2×3＝﹣6．故选：D．5．（2022秋•高碑店市期末）若数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论正确的是（）A．a﹣b＞0 B．ab＞0 C．a＜﹣b D．|a|＜|b|【答案】D【解答】解：根据数轴可知：a＜0、b＞0，|a|＜|b|，A、a﹣b＜0，故该选项不符合题意；B、ab＜0，故该选项不符合题意；C、∵a+b＞0，∴a＞﹣b，故该选项不符合题意；D、|a|＜|b|，故该选项符合题意；故选：D．6．（2023•鹤峰县一模）若|a|＝1，|b|＝4，且ab＜0，则a+b的值为（）A．±3 B．﹣3 C．3 D．±5【答案】A【解答】解：∵|a|＝1，|b|＝4，∴a＝±1，b＝±4，∵ab＜0，∴a+b＝1﹣4＝﹣3或a+b＝﹣1+4＝3，故选：A．7．（2023•大渡口区模拟）正方形的边长为2cm，则它的面积为（）A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2【答案】B【解答】解：∵正方形的边长为2cm，∴它的面积为22＝4（cm2），故选：B．8．（2022秋•射洪市期末）如果三个非零有理数的积为正数，则下列结论：①这三个数同号；②若其中一个数是正数，则另外两个数同号；③若其中一个数是负数，则另外两个数同号；④若其中一个数是负数，则另外两个数异号．其中必定成立的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：∵若这三个数同为负数，符号相同，但它们的积为负数，∴①的结论不正确；∵若其中一个数是正数，另外两个数同号，则它们的积为正数，∴②的结论正确；∵若三个数中，其中一个数是负数，另外两个数异号，则它们的积为正数，∴③的结论不正确；∵若其中一个数是负数，另外两个数异号，则它们的积为正数，∴④的结论正确；∴②④，故选：B．9．（2022秋•荔湾区期末）有理数a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A．a﹣b＞0 B．ab＞0 C．|a|＜|b| D．a+b＜0【答案】C【解答】解：由图可知：a＜0＜b，|a|＜|b|，∴a﹣b＜0，故A选项错误；∴ab＜0，故B选项错误；∴|a|＜|b|，故C选项正确；∴a+b＜0，故D选项错误．故选：C．10．（2022秋•金平区期末）下列算式中，积为负数的是（）A．0×（﹣3） B．2×（﹣3）×4×（﹣5） C．（﹣3）×（﹣5） D．（﹣2）×（﹣3）×4×（﹣5）【答案】D【解答】解：A、0×（﹣3）＝0，结果为0，不符合题意；B、2×（﹣3）×4×（﹣5）＝120，结果为正，不符合题意；C、（﹣3）×（﹣5）＝15，结果为正，不符合题意；D、（﹣2）×（﹣3）×4×（﹣5）＝﹣120，结果为负，符合题意．故选：D．11．（2022秋•武冈市期末）对于有理数x，y，若xy＜0，则的值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【答案】B【解答】解：∵xy＜0，∴x，y异号，当x＞0，y＜0时，则，当x＜0，y＞0时，则，综上，的值是﹣1．故选：B．12．（2022秋•新丰县期末）已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中正确的是（）A．|a|＞|b| B．ab＞0 C．a﹣b＜0 D．a+b＜0【答案】C【解答】解：根据数轴上点的位置得：a＜0＜b，且|b|＝|a|，∴ab＜0，a﹣b＜0，a+b＞0，∴正确的是a﹣b＜0．故选：C．13．（2022秋•潢川县校级期末）已知|a|＝3，|b|＝4，且ab＜0，则a+b的值为（）A．7 B．1或﹣1 C．1 D．﹣1【答案】B【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝4，∴a＝±3，b＝±4，∵ab＜0，∴a，b异号，当a＝3，b＝﹣4时，a+b＝﹣1；当a＝﹣3，b＝4时，a+b＝1；故选：B．15．（2023•郴州）﹣2的倒数是（）A．2 B． C．﹣2 D．【答案】B【解答】解：﹣2的倒数是﹣．故选：B．16．（2023•龙川县校级开学）计算：．【答案】﹣．【解答】解：