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文档简介
专题1.2解一元二次方程(5个考点八大题型)【题型1解一元二次方程-直接开平方】【题型2解一元二次方程-配方法】【题型3解一元二次方程-公式法】【题型4解一元二次方程-因式分解法】【题型5解一元二次方程-指定方法】【题型6解一元二次方程-适当方法】【题型7解一元二次方程-换元法】【题型8配方法的应用】【题型1解一元二次方程-直接开平方】1.(2023•西青区二模)方程(x+6)2﹣9=0的两个根是()A.x1=3,x2=9 B.x1=﹣3,x2=9 C.x1=3,x2=﹣9 D.x1=﹣3,x2=﹣9【答案】D【解答】解:∵(x+6)2﹣9=0,∴(x+6)2=9,则x+6=±3,∴x1=﹣3,x2=﹣9,故选:D.2.(2022秋•黔东南州期末)方程x2=8的解是()A.x=4 B.x= C. D.【答案】D【解答】解:∵x2=8,∴x=±2,故选:D.3.(2023春•抚顺月考)解方程:(1)x2﹣81=0;(2)4(x﹣1)2=9.【答案】(1)x1=9,x2=﹣9;(2)x1=,x2=﹣.【解答】解:(1)x2﹣81=0,x2=81,∴x=±9,∴x1=9,x2=﹣9;(2)4(x﹣1)2=9,(x﹣1)2=,∴x﹣1=±,∴x1=,x2=﹣.4.(2023春•东莞市月考)解方程(x﹣1)2=64.【答案】x1=9,x2=﹣7.【解答】解:x﹣1=±8,x﹣1=8或x﹣1=﹣8,解得:x1=9或x2=﹣7.5.(2023春•潮安区校级月考)解方程:(2x﹣1)2﹣25=0.【答案】x1=3,x2=﹣2.【解答】解:(2x﹣1)2﹣25=0移项,得(2x﹣1)2=25,∴2x﹣1=±5,解得x1=3,x2=﹣2.6.(2023•龙川县校级开学)(x+1)2=25.【答案】x1=﹣11,x2=9.【解答】解:,∴(x+1)2=100,x+1=±10,∴x1=﹣11,x2=9.7.(2022秋•安化县期末)解方程:(1)x2﹣6x+9=(5﹣2x)2;(2)2(x﹣3)=x2﹣9.【答案】(1)x1=,x2=2;(2)x1=﹣1,x2=3.【解答】解:(1)将x2﹣6x+9=(5﹣2x)2整理,得(x﹣3)2=(5﹣2x)2,方程两边开平方,得x﹣3=5﹣2x或x﹣3=2x﹣5,∴x1=,x2=2.(2)2(x﹣3)=x2﹣9,2(x﹣3)=(x+3)(x﹣3),(x+3)(x﹣3)﹣2(x﹣3)=0,(x+1)(x﹣3)=0,∴x1=﹣1,x2=3.8.(2022秋•广宗县期末)解方程:(y+2)2=(3y﹣1)2.【答案】见试题解答内容【解答】解:直接开平方,得y+2=±(3y﹣1)即y+2=3y﹣1或y+2=﹣(3y﹣1),解得:y1=,y2=﹣.9.(2021秋•石泉县期末)解方程:3(2x﹣1)2﹣27=0.【答案】x1=2,x2=﹣1.【解答】解:原方程化为:3(2x﹣1)2=27,即(2x﹣1)2=9,则2x﹣1=3或2x﹣1=﹣3,解得:x1=2,x2=﹣1.【题型2解一元二次方程-配方法】10.(2022秋•金平区期末)用配方法解方程:x2+6x﹣6=0.【答案】.【解答】解:x2+6x﹣6=0,∴x2+6x=6.∴x2+6x+9=6+9.∴(x+3)2=15.∴.解得:.11.(2022秋•杨浦区期末)用配方法解方程:2x2+4x+1=0.【答案】.【解答】解:原方程化为,配方得,即,开方得,,∴.12.(2022秋•黄浦区校级期末)用配方法解方程:x2﹣4x﹣2=0.【答案】x1=2+,x2=2﹣.【解答】解:x2﹣4x﹣2=0,x2﹣4x=2,x2﹣4x+8=2+8,(x﹣2)2=10,x﹣2=±,解得x1=2+,x2=2﹣.13.(2023•小店区校级模拟)用配方法解下列关于x的方程:(1)x2+12x+25=0.(2)2x2+4x﹣1998=0.【答案】(1),;(2),.【解答】解:(1)x2+12x+25=0,x2+12x=﹣25,x2+12x+36=﹣25+36,(x+6)2=11,x+6=±,x+6=或x+6=﹣,,;(2)2x2+4x﹣1998=0,x2+2x﹣999=0,x2+2x=999,x2+2x+1=999+1,(x+1)2=1000,x+1=±10,x+1=10或x+1=﹣10,,.14.(2022秋•澄海区期末)用配方法解方程:2x2﹣2x﹣1=0.【答案】x1=+,x2=﹣.【解答】解:2x2﹣2x﹣1=0,x2﹣x﹣=0,x2﹣x=,x2﹣x+()2=+()2,(x﹣)2=,x﹣=±,x﹣=或x﹣=﹣,x1=+,x2=﹣.15.(2022秋•颍州区期末)用配方法解方程:(1)x2+7x=﹣;(2)3x2+6x+2=11.【答案】(1),;(2)x1=1,x2=﹣3.【解答】解:(1)x2+7x=﹣,,,,,;(2)3x2+6x+2=11,3x2+6x﹣9=0,x2+2x﹣3=0,x2+2x+1=4,(x+1)2=4,x+1=±2,x1=1,x2=﹣3.16.(2022秋•颍州区校级期末)用配方法解下列方程(1)3x2﹣4x﹣2=0;(2)6x2﹣2x﹣1=0;(3)2x2+1=3x;(4)(x﹣3)(2x+1)=﹣5.【答案】(1)x1=+,x2=﹣;(2)x1=+,x2=﹣;(3)x1=1,x2=;(4)x1=2,x2=.【解答】解:(1)原方程可化为x2﹣x=,∴x2﹣x+=,即(x﹣)2=,∴x﹣=±,∴x1=+,x2=﹣;(2))原方程可化为x2﹣x=,∴x2﹣x+=,即(x﹣)2=,∴x﹣=±,∴x1=+,x2=﹣;(3)原方程可化为x2﹣x=﹣,∴x2﹣x+=,即(x﹣)2=,∴x﹣=±,∴x1=1,x2=;(4)原方程可化为x2﹣x=﹣1,∴x2﹣x+=,即(x﹣)2=,∴x﹣=±,∴x1=2,x2=.17.(2023春•下城区校级月考)以下是圆圆在用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的过程:解:移项得:x2﹣2x=4配方:x2﹣2x+1=4(x﹣1)2=4开平方得:x﹣1=±2移项:x=±2+1所以:x1=3,x2=3圆圆的解答过程是否有错误?如果有错误,请写出正确的解答过程.【答案】见解答.【解答】解:圆圆的解答过程有错误,正确的解答过程如下:移项得:x2﹣2x=4,配方:x2﹣2x+1=4+1,(x﹣1)2=5,开平方得:x﹣1=±,移项:x=±+1,所以:x1=+1,x2=﹣+1.【题型3解一元二次方程-公式法】18.(2023•西和县一模)用公式法解方程x2﹣4x﹣11=0时,Δ=()A.﹣43 B.﹣28 C.45 D.60【答案】D【解答】解:x2﹣4x﹣11=0,∵a=1,b=﹣4,c=﹣11,∴Δ=(﹣4)2﹣4×1×(﹣11)=60.故选:D.19.(2021秋•梁山县期末)用公式法解一元二次方程3x2﹣4x=8时,化方程为一般式,当中的a,b,c依次为()A.3,﹣4,8 B.3,4,8 C.3,4,﹣8 D.3,﹣4,﹣8【答案】D【解答】解:∵3x2﹣4x=8,∴3x2﹣4x﹣8=0,则a=3,b=﹣4,c=﹣8.故选:D.20.(2022秋•新民市期中)用公式法解一元二次方程3x2+x=7时,首先要确定a,b,c的值,下列叙述中,正确的是()A.a=3,b=﹣1,c=7 B.a=3,b=1,c=﹣7 C.a=3,b=﹣1,c=﹣7 D.a=3,b=1,c=7【答案】B【解答】解:3x2+x=7,移项,得3x2+x﹣7=0,这里a=3,b=1,c=﹣7,故选:B.21.(2022秋•宁强县期末)用公式法解方程:4x2+x﹣3=0.【答案】x1=,x2=﹣1.【解答】解:a=4,b=1,c=﹣3,∴Δ=b2﹣4ac=12﹣4×4×4×(﹣3)=49>0,∴x==,即x1=,x2=﹣1.22.(2022秋•秦都区期末)用公式法解方程:2x2﹣x﹣5=0.【答案】x1=,x2=【解答】解:2x2﹣x﹣5=0,这里a=2,b=﹣1,c=﹣5,∵Δ=b2﹣4ac=(﹣1)2﹣4×2×(﹣5)=41>0,∴x==,∴x1=,x2=.23.(2022秋•丰满区校级期末)用公式法解方程:x2+2x﹣6=0.【答案】x1=﹣1+,x2=﹣1﹣.【解答】解:这里a=1,b=2,c=﹣6,∵Δ=22﹣4×1×(﹣6)=28>0,∴x==﹣1±,解得:x1=﹣1+,x2=﹣1﹣.24.(2022秋•普宁市校级期中)用公式法解方程:2x(x﹣3)=(x﹣1)(x+1).【答案】,.【解答】解:2x(x﹣3)=(x﹣1)(x+1),化简为x2﹣6x+1=0,∵a=1,b=﹣6,c=1,∴Δ=b2﹣4ac=36﹣4=32>0,∴,∴,.25.(2022秋•成县期中)公式法解方程:2x2﹣x﹣3=0.【答案】x1=,x2=﹣.【解答】解:∵Δ=(﹣)2+24=3+24=27>0,∴x=,∴x1=,x2==﹣.26.(2022秋•城西区校级期中)x2﹣7x﹣18=0(公式法).【答案】x1=9,x2=﹣2.【解答】解:x2﹣7x﹣18=0,∵a=1,b=﹣7,c=﹣18,Δ=b2﹣4ac=(﹣7)2﹣4×1×(﹣18)=121>0,∴x=,=,∴x1=9,x2=﹣2.27.(2022秋•前郭县期中)用公式法解方程:x2﹣x﹣7=0.【答案】x1=,x2=.【解答】解:这里a=1,b=﹣1,c=﹣7,∵Δ=(﹣1)2﹣4×1×(﹣7)=1+28=29>0,∴x=,解得:x1=,x2=.28.(2022秋•潮安区期中)解方程:2x2﹣7x+3=0(公式法).【答案】x1=3,x2=.【解答】解:2x2﹣7x+3=0,这里a=2,b=﹣7,c=3,∵Δ=(﹣7)2﹣4×2×3=25>0,∴x==,∴x1=3,x2=.29.(2022秋•吉林月考)用公式法解方程:x2﹣6x+2=0.【答案】x1=3+,x2=3﹣.【解答】解:x2﹣6x+2=0,∵a=1,b=﹣6,c=2,∴Δ=(﹣6)2﹣4×1×2=28>0,∴x==3±,∴x1=3+,x2=3﹣.30.(2022秋•渭滨区校级月考)用公式法解方程:x2﹣2x﹣5=0.【答案】x1=1+,x2=1﹣.【解答】解:x2﹣2x﹣5=0,∵Δ=(﹣2)2﹣4×1×(﹣5)=4+20=24>0,∴x===1±,∴x1=1+,x2=1﹣.31.(2022秋•沈阳月考)用公式法解方程:(x﹣1)(1+2x)=2.【答案】x1=,x2=﹣1.【解答】解:(x﹣1)(1+2x)=2,2x2﹣x﹣1=2,2x2﹣x﹣3=0,∵a=2,b=﹣1,c=﹣3,∴Δ=b2﹣4ac=1﹣4×2×(﹣3)=25>0,∴x==,∴x1=,x2=﹣1.32.(2021秋•七里河区校级期末)用公式法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0.【答案】x1=,x2=.【解答】解:2x2﹣3x﹣1=0,a=2,b=﹣3,c=﹣1,∵Δ=(﹣3)2﹣4×2×(﹣1)=17>0,∴x==,所以x1=,x2=.33.(2022秋•新城区校级月考)用公式法解方程:m2﹣3m﹣1=0.【答案】m1=,m2=.【解答】解:m2﹣3m﹣1=0,∵a=1,b=﹣3,c=﹣1,∴Δ=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×1×(﹣1)=13>0,∴m=,∴m1=,m2=.【题型4解一元二次方程-因式分解法】34.(2022秋•晋中月考)解下列一元二次方程时,最适合用因式分解法的是()A.x2﹣x﹣1=0 B.x2﹣7x=﹣1 C.(x﹣1)2﹣4x=2 D.(x﹣3)2﹣16=0【答案】D【解答】解:A、x2﹣x﹣1=0适合于公式法解方程,故本选项不符合题意;B、x2﹣7x=﹣1适合于公式法解方程,故本选项不符合题意;C、由原方程得到x2﹣6x﹣1=0,适合于配方法解方程,故本选项符合题意;D、(x﹣3)2﹣16=0适合于因式分解法解方程,故本选项符合题意;故选:D.35.(2022秋•南皮县校级月考)用因式分解法解下列方程,变形正确的是()A.(x+3)(x﹣1)=1,可得x+3=1或x﹣1=1 B.(x﹣3)(x﹣4)=0,可得x﹣3=0或x﹣4=0 C.(x﹣2)(x﹣3)=6,可得x﹣2=2或x﹣3=3 D.x(x+2)=0,可得x+2=0【答案】B【解答】解:A、(x+3)(x﹣1)=1,整理得:x2+2x﹣4=0,x2+2x+1﹣5=0,(x+1)2﹣5=0,(x+1+)(x+1﹣)=0,∴x+1+=0或x+1﹣=0,故A不符合题意;B、(x﹣3)(x﹣4)=0,可得x﹣3=0或x﹣4=0,故B符合题意;C、(x﹣2)(x﹣3)=6,整理得:x2﹣5x=0,x(x﹣5)=0,x=0或x﹣5=0,故C不符合题意;D、x(x+2)=0,可得x=0或x+2=0,故D不符合题意;故选:B.36.(2022春•泰山区期末)下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是()A.(x﹣2)(x+5)=1 B.3(x﹣2)2=x2﹣4 C.x2﹣3x+1=0 D.9(x﹣1)2=5【答案】B【解答】解:A、(x﹣2)(x+5)=1适合于公式法解方程,故本选项不符合题意;B、由原方程得到x2﹣6x+8=0,适合于因式分解法解方程,故本选项符合题意;C、x2﹣3x+1=0适合于公式法解方程,故本选项不符合题意;D、由原方程得到(x﹣1)2=,最适合于直接开平方法解方程,故本选项不符合题意;故选:B.37.(2022秋•青县校级期末)用因式分解法解下列方程.(1)(2x﹣3)2﹣(x﹣2)2=0;(2)2(t﹣1)2+t=1.【答案】(1)x1=,x2=1;(2)t1=1,t2=.【解答】解:(1)(2x﹣3)2﹣(x﹣2)2=0,∴[(2x﹣3)+(x﹣2)][(2x﹣3)﹣(x﹣2)]=0,∴(3x﹣5)(x﹣1)=0,∴3x﹣5=0或x﹣1=0,∴x1=,x2=1;(2)2(t﹣1)2+t=1,∴2(t﹣1)2+t﹣1=0,∴(t﹣1)(2t﹣1)=0,∴t1=1,t2=.38.(2022秋•成县期中)因式分解法解方程:x2﹣2x﹣15=0.【答案】x1=5,x2=﹣3.【解答】解:方程x2﹣2x﹣15=0,变形得:x2﹣2x=15,配方得:x2﹣2x+1=16,即(x﹣1)2=16,开方得:x﹣1=4或x﹣1=﹣4,解得:x1=5,x2=﹣3.39.(2021秋•昭通期末)用因式分解法解一元二次方程:(1)(4x+1)(5x﹣7)=0;(2)(2x+3)2=4(2x+3).【答案】(1),;(2)∴,.【解答】解:(1)(4x+1)(5x﹣7)=0,∴4x+1=0或5x﹣7=0,∴,;(2)(2x+3)2=4(2x+3),(2x+3)2﹣4(2x+3)=0,(2x+3)(2x+3﹣4)=0,∴2x+3=0或2x﹣1=0,∴,.40.(2022秋•城西区校级期中)(2x+3)2=4(2x+3)(因式分解法).【答案】x=﹣或x=.【解答】解:(2x+3)2﹣4(2x+3)=0,(2x+3)(2x+3﹣4)=0,2x+3=0或2x+3﹣4=0,x=﹣或x=.41.(2022秋•碑林区校级期中)利用因式分解法解方程:2x(x+2)=3(2+x).【答案】x1=﹣2,x2=1.5.【解答】解:∵2x(x+2)=3(2+x),∴2x(x+2)﹣3(2+x)=0,则(x+2)(2x﹣3)=0,∴x+2=0或2x﹣3=0,解得x1=﹣2,x2=1.5.42.(2022秋•浦东新区期中)用因式分解法解方程:3x2﹣5x﹣2=0.【答案】,x2=2.【解答】解:3x2﹣5x﹣2=0,(3x+1)(x﹣2)=0,3x+1=0或x﹣2=0,解得,x2=2.43.(2022秋•渭滨区校级月考)用因式分解法解方程:(x+1)2﹣3(x+1)=0.【答案】x1=﹣1,x2=2.【解答】解:(x+1)2﹣3(x+1)=0,(x+1)(x+1﹣3)=0,x+1=0或x+1﹣3=0,所以x1=﹣1,x2=2.【题型5解一元二次方程-指定方法】44.(2022秋•重庆月考)请用指定方法解下列方程:(1)公式法:x2+x﹣12=0;(2)因式分解法:4x2﹣144=0.【答案】(1)x1=3,x2=﹣4.(2)x1=﹣6,x2=6.【解答】解:(1)x2+x﹣12=0,a=1,b=1,c=﹣12,Δ=1﹣4×1×(﹣12)=49,x==,x1=3,x2=﹣4.(2)4x2﹣144=0,(2x+12)(2x﹣12)=0,2x+12=0或2x﹣12=0,x1=﹣6,x2=6.45.(2022秋•商州区校级月考)按要求解一元二次方程:(1)x2﹣10x+9=0(配方法);(2)x(x﹣2)+x﹣2=0(因式分解法);(3)2x2﹣3x+1=0(公式法).【答案】(1)x1=9,x2=1;(2)x1=2,x2=﹣1;(3)x1=1,x2=.【解答】解:(1)x2﹣10x=﹣9,x2﹣10x+25=16,(x﹣5)2=16,x﹣5=±4,所以x1=9,x2=1;(2)x(x﹣2)+x﹣2=0,(x﹣2)(x+1)=0,x﹣2=0或x+1=0,所以x1=2,x2=﹣1;(3)2x2﹣3x+1=0,a=2,b=﹣3,c=1,Δ=(﹣3)2﹣4×2×1=1>0,x==,所以x1=1,x2=.46.(2022春•福山区期中)解方程.(1)x2+2x﹣3=0(配方法或因式分解法);(2)2x2+6x﹣1=0(用公式法).【答案】(1)x1=﹣3,x2=1;(2)x1=,x2=.【解答】解;(1)x2+2x﹣3=0,(x+3)(x﹣1)=0,x+3=0或x﹣1=0,所以x1=﹣3,x2=1;(2)2x2+6x﹣1=0,a=2,b=6,c=﹣1,Δ=62﹣4×2×(﹣1)=44>0,x===,所以x1=,x2=.47.(2022秋•碑林区校级月考)按要求解下列方程:(1)x2﹣5x+6=0(因式分解法).(2)2x2﹣4x﹣7=0(求根公式法).【答案】(1)x1=2,x2=3;(2)x1=,x2=.【解答】解:(1)∵x2﹣5x+6=0,∴(x﹣2)(x﹣3)=0,则x﹣2=0或x﹣3=0,解得x1=2,x2=3;(2)∵a=2,b=﹣4,c=﹣7,∴Δ=(﹣4)2﹣4×2×(﹣7)=72>0,则x==,即x1=,x2=.48.(2022秋•鄄城县校级月考)解下列方程:(1)用配方法解一元二次方程:x2﹣2x﹣2=0;(2)用因式分解法解方程(x+4)2=5(x+4);(3)用公式法解方程3x2+6x﹣5=0;(4)用合适的方法解方程4x2+2x=1.【答案】(1)x1=1+,x2=1﹣;(2)x1=﹣4,x2=1;(3)x1=,x2=;(4)x1=,x2=.【解答】解:(1)∵x2﹣2x﹣2=0,∴x2﹣2x=2,∴x2﹣2x+1=2+1,即(x﹣1)2=3,∴x﹣1=±,∴x1=1+,x2=1﹣;(2)∵(x+4)2=5(x+4),∴(x+4)2﹣5(x+4)=0,则(x+4)(x﹣1)=0,∴x+4=0或x﹣1=0,解得x1=﹣4,x2=1;(3)∵a=3,b=6,c=﹣5,∴Δ=62﹣4×3×(﹣5)=96>0,则x==,∴x1=,x2=;(4)∵4x2+2x=1,∴4x2+2x﹣1=0,∴a=4,b=2,c=﹣1,∴Δ=22﹣4×4×(﹣1)=20>0,则x==,即x1=,x2=.49.(2022秋•福田区校级月考)按要求解下列方程:(1)x2﹣4x﹣2=0;(配方法)(2)(x+4)2﹣5(x+4)=0;(因式分解法)(3)x2﹣6x=8;(公式法)(4)x2﹣2x﹣15=0.(因式分解法)【答案】(1)x1=+2,x2=﹣+2;(2)x1=﹣4,x2=1;(3)x1=3﹣,x2=3+;(4)x1=5,x2=﹣3.【解答】解:(1)x2﹣4x﹣2=0,x2﹣4x+4=6,(x﹣2)2=6,x﹣2=±,所以x1=+2,x2=﹣+2;(2)(x+4)2﹣5(x+4)=0,(x+4)(x+4﹣5)=0,x+4=0或x+4﹣5=0,所以x1=﹣4,x2=1;(3)x2﹣6x=8,x2﹣6x﹣8=0,a=1,b=﹣6,c=﹣8,Δ=(﹣6)2﹣4×1×(﹣8)=68,x==3,所以x1=3﹣,x2=3+;(4)x2﹣2x﹣15=0,(x﹣5)(x+3)=0,x﹣5=0或x+3=0,所以x1=5,x2=﹣3.【题型6解一元二次方程-适当方法】50.(2023春•鄞州区期中)用适当的方法解下列方程:(1)(x+4)2=3(x+4);(2)x2﹣4x﹣1=0.【答案】(1)x1=﹣4,x2=﹣1;(2)x1=2+,x2=2﹣.【解答】解:(1)(x+4)2=3(x+4),移项得:(1)(x+4)2﹣3(x+4)=0,分解因式得:(x+4)[(x+4)﹣3]=0,可得x+4=0或x+1=0,解得:x1=﹣4,x2=﹣1;(2)x2﹣4x+1=0,移项得:x2﹣4x=﹣1,配方得:x2﹣4x+4=3,即(x﹣2)2=3,开方得:x﹣2=±,则x1=2+,x2=2﹣.51.(2023春•余姚市期中)选择适当的方法解下列方程:(1)(x﹣3)2=4;(2)x2﹣2x﹣8=0.【答案】(1)x1=5,x2=1;(2)x1=4,x2=﹣2.【解答】解:(1)开方,得x﹣3=2或﹣2,解得:x1=5,x2=1;(2)∵a=1,b=﹣2,c=﹣8,b2﹣4ac=4+32=36>0,∴x=,则x1=4,x2=﹣2.52.(2023春•义乌市校级期中)用适当方法解下列方程:(1)x2﹣7x+2=0;(2)2x(x﹣3)+x=3.【答案】(1)x1=,x2=;(2)x1=3,x2=﹣.【解答】解:(1)x2﹣7x+2=0这里a=1,b=﹣7,c=2,∵Δ=49﹣8=41>0,∴x=,∴x1=,x2=;(2)方程整理得:2x(x﹣3)+(x﹣3)=0,分解因式得:(x﹣3)(2x+1)=0,解得:x1=3,x2=﹣.53.(2022秋•梅里斯区期末)用适当的方法解下列方程.(1)x(x﹣2)=3(2﹣x);(2)2x2﹣4x+1=0.【答案】(1)x1=2,x2=﹣3;(2).【解答】解:(1)移项得:x(x﹣2)﹣3(2﹣x)=0,提取公因式得:(x﹣2)(x+3)=0,∴x﹣2=0或x+3=0,解得:x1=2,x2=﹣3;(2)∵a=2,b=﹣4,c=1,∴Δ=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4×2×1=16﹣8=8>0,∴,∴.54.(2022秋•澄迈县期末)用适当的方法解下列方程.(1)(x+2)2﹣25=0;(2)x2+4x﹣5=0;(3)2x2﹣3x+1=0.【答案】(1)x1=3,x2=﹣7;(2)x1=1,x2=﹣5;(3)x1=,x2=1.【解答】解:(1)(x+2)2﹣25=0,(x+2﹣5)(x+2+5)=0,∴x﹣3=0或x+7=0,解得x1=3,x2=﹣7;(2)x2+4x﹣5=0,(x﹣1)(x+5)=0,∴x﹣1=0或x+5=0,解得x1=1,x2=﹣5;(3)2x2﹣3x+1=0,(2x﹣1)(x﹣1)=0,∴2x﹣1=0或x﹣1=0,解得x1=,x2=1.55.(2022秋•海安市期末)用适当的方法解下列方程:(1)4x2﹣4x+1=x2+2x+1;(2)x2﹣x﹣1=0.【答案】(1)x1=0,x2=2.(2)x1=,x2=.【解答】解:(1)4x2﹣4x+1=x2+2x+1,(2x﹣1)2=(x+1)2,(2x﹣1)2﹣(x+1)2=0,[(2x﹣1)+(x+1)][(2x﹣1)﹣(x+1)]=0,∴3x=0或x﹣2=0,∴x1=0,x2=2.(2)x2﹣x﹣1=0,∵a=1,b=﹣1,c=﹣1,∴b2﹣4ac=1﹣4×1×(﹣1)=5>0,∴x==,∴x1=,x2=.56.(2022秋•邗江区校级期末)用适当的方法解一元二次方程:(1)x2﹣2x﹣8=0;(2)3x(x﹣2)=2(2﹣x).【答案】(1)x1=4,x2=﹣2;(2)x1=2,x2=﹣.【解答】解:(1)x2﹣2x﹣8=0,(x﹣4)(x+2)=0,x﹣4=0或x+2=0,所以x1=4,x2=﹣2;(2)3x(x﹣2)=2(2﹣x),3x(x﹣2)+2(x﹣2)=0,(x﹣2)(3x+2)=0,x﹣2=0或3x+2=0,所以x1=2,x2=﹣.【题型7解一元二次方程-换元法】57.(2023春•龙凤区期中)【例】解方程(x﹣1)2﹣5(x﹣1)+4=0.解:设x﹣1=y,则原方程可化为y2﹣5y+4=0.解得y1=1,y2=4.当y=1时,即x﹣1=1,解得x=2;当y=4时,即x﹣1=4,解得x=5.所以原方程的解为x1=2,x2=5.上述解法称为“整体换元法”.请运用“整体换元法”解方程:(2x﹣5)2﹣(2x﹣5)﹣2=0.【答案】x1=3.5,x2=2.【解答】解:设y=2x﹣5,则原方程变形为y2﹣y﹣2=0,∴(y﹣2)(y+1)=0,∴y﹣2=0或y+1=0,解得y1=2,y2=﹣1,当y=2时,即2x﹣5=2,解得x=3.5;当y=﹣1时,2x﹣5=﹣1,解得x=2.∴原方程的解为x1=3.5,x2=2.58.(2022秋•新邵县期末)请你先认真阅读下列材料,再参照例子解答问题:已知(x+y﹣3)(x+y+4)=﹣10,求x+y的值;解:设x+y=t,则原方程可变形为(t﹣3)(t+4)=﹣10.即t2+t﹣2=0∴(t+2)(t﹣1)=0得t1=﹣2,t2=1,∴x+y=﹣2或x+y=1.已知(x2+y2﹣2)(x2+y2﹣3)=12,求x2+y2的值.【答案】6.【解答】解:设x2+y2=t,则原方程可变形为:(t﹣2)(t﹣3)=12,即t2﹣5t﹣6=0∴(t+1)(t﹣6)=0,解得:t1=﹣1,t2=6;又∵x2+y2≥0,∴x2+y2=6.59.(2022秋•信都区校级期末)阅读材料,解答问题:为解方程x4﹣3x2+2=0,我们将x2视为一个整体,解:设x2=y,则x4=y2,原方程可化为y2﹣3y+2=0,解得y1=2,y2=1,当x2=2时,,当x2=1时,x=±1,∴原方程的解为或x=±1.(1)上面的解题方法,利用换元法达到了降幂的目的.(2)依据此方法解方程:(x2﹣1)2﹣5(x2﹣1)+6=0.【答案】(1)换元;(2)或x=±2.【解答】解:(1)上面的解题方法,利用换元达到了降幂的目的,故答案为:换元;(2)解:(x2﹣1)2﹣5(x2﹣1)+6=0,设x2﹣1=y,原方程可化为y2﹣5y+6=0,解得y1=2,y2=3,当x2﹣1=2时,,当x2﹣1=3时,x=±2,∴原方程的解为或x=±2.60.(2022秋•渝中区期末)阅读材料,解答问题.解方程:(4x﹣1)2﹣10(4x﹣1)+24=0.解:把4x﹣1视为一个整体,设4x﹣1=y,则原方程可化为y2﹣10y+24=0.解得y1=6,y2=4.∴4x﹣1=6或4x﹣1=4.∴.以上方法就叫换元法,达到简化或降次的目的,体现了转化的思想.请仿照材料解下列方程:(1)(3x﹣5)2+4(3x﹣5)+3=0;(2)x4﹣x2﹣6=0.【答案】(1)x1=,x2=;(2)x1=,x2=﹣.【解答】解:(1)设3x﹣5=y,则原方程可化为y2+4y+3=0,整理,得(y+3)(y+1)=0,解得y1=﹣3,y2=﹣1.当y=﹣3时,即3x﹣5=﹣3,解得x1=,当y=﹣1时,即3x﹣5=﹣1,解得x2=.综上所述,原方程的解为x1=,x2=;(2)设x2=y,则原方程可化为y2﹣y﹣6=0,整理,得(y﹣3)(y+2)=0,解得y1=3,y2=﹣2.当y=3时,即x2=3,∴x=±,当y=﹣2时,x2=﹣2无解.∴原方程的解为x1=,x2=﹣.61.(2022秋•宛城区校级月考)阅读材料,解答问题.解方程:(4x﹣1)2﹣10(4x﹣1)+24=0.解:把4x﹣1视为一个整体,设4x﹣1=y,则原方程可化为y2﹣10y+24=0.解得y1=6,y2=4.∴4x﹣1=6或4x﹣1=4.∴,.以上方法就叫换元法,达到简化或降次的目的,体现了转化的思想.请仿照材料解下列方程:(1)x4﹣x2﹣6=0;(2)(x2﹣2x)2﹣5x2+10x﹣6=0.【答案】(1),;(2),,x3=x4=1.【解答】解:(1)设x2=y,则原方程可化为y2﹣y﹣6=0,整理,得(y﹣3)(y+2)=0,解得y1=3,y2=﹣2.当y=3时,即x2=3,∴;当y=﹣2时,x2=﹣2无解.∴原方程的解为,.(2)设x2﹣2x=y,则原方程可化为y2﹣5y﹣6=0,整理,得(y﹣6)(y+1)=0,解得y1=6,y2=﹣1.当y=6时,即x2﹣2x=6,解得,;当y=﹣1时,即x2﹣2x=﹣1,解得x3=x4=1.综上所述,原方程的解为,,x3=x4=1.62.(2022秋•隆安县期中)阅读材料:为解方程(x2﹣1)2﹣3(x2﹣1)=0,我们可以将x2﹣1视为一个整体,然后设x2﹣1=y,原方程化为y2﹣3y=0.①解得y1=0,y2=3.当y=0时,x2﹣1=0,x2=1,∴x=±1.当y=3时,x2﹣1=3,x2=4,∴x=±2.∴原方程的解为x1=1,x2=﹣1,x3=2,x4=﹣2.解答问题:(1)在由原方程得到方程①的过程中,利用换元法达到了降次的目的,体现了转化的数学思想;(2)利用上述材料中的方法解方程:(x2+3)2﹣4(x2+3)=0.【答案】(1)换元,转化;(2)x1=1,x2=﹣1.【解答】解:(1)由题意得,在原方程得到方程y2﹣3y=0的过程中,利用了换元法达到了降次的目的,体现了转化的数学思想;故答案为:换元,转化;(2)设x2+3=m,由题意,得m2﹣4m=0,解得:m1=0,m2=4,当m=0时,x2+3=0,方程无解;当m=4时,x2+3=4,解得x1=1,x2=﹣1.∴原方程的解为:x1=1,x2=﹣1.63.(2021秋•东莞市校级期中)阅读下列材料,并用相关的思想方法解决问题.材料:为解方程x4﹣x2﹣6=0可将方程变形为(x2)2﹣x2﹣6=0然后设x2=y,则(x2)2=y2,原方程化为y2﹣y﹣6=0…①解得y1=﹣2,y2=3,当y1=﹣2时,x2=﹣2无意义,舍去;当y2=3时,x2=﹣3,解得x=±;所以原方程的解为x1=,x2=﹣;问题:(1)在原方程得到方程①的过程中,利用换元法达到了降次的目的,体现了化归的数学思想;(2)利用以上学习到的方法解下列方程(x2+5x+1)(x2+5x+7)=7.【答案】见试题解答内容【解答】解:(1)在原方程得
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