专题1.2 解一元二次方程（5个考点八大题型）（解析版）

专题1.2解一元二次方程（5个考点八大题型）【题型1解一元二次方程-直接开平方】【题型2解一元二次方程-配方法】【题型3解一元二次方程-公式法】【题型4解一元二次方程-因式分解法】【题型5解一元二次方程-指定方法】【题型6解一元二次方程-适当方法】【题型7解一元二次方程-换元法】【题型8配方法的应用】【题型1解一元二次方程-直接开平方】1．（2023•西青区二模）方程（x+6）2﹣9＝0的两个根是（）A．x1＝3，x2＝9 B．x1＝﹣3，x2＝9 C．x1＝3，x2＝﹣9 D．x1＝﹣3，x2＝﹣9【答案】D【解答】解：∵（x+6）2﹣9＝0，∴（x+6）2＝9，则x+6＝±3，∴x1＝﹣3，x2＝﹣9，故选：D．2．（2022秋•黔东南州期末）方程x2＝8的解是（）A．x＝4 B．x＝ C． D．【答案】D【解答】解：∵x2＝8，∴x＝±2，故选：D．3．（2023春•抚顺月考）解方程：（1）x2﹣81＝0；（2）4（x﹣1）2＝9．【答案】（1）x1＝9，x2＝﹣9；（2）x1＝，x2＝﹣．【解答】解：（1）x2﹣81＝0，x2＝81，∴x＝±9，∴x1＝9，x2＝﹣9；（2）4（x﹣1）2＝9，（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±，∴x1＝，x2＝﹣．4．（2023春•东莞市月考）解方程（x﹣1）2＝64．【答案】x1＝9，x2＝﹣7．【解答】解：x﹣1＝±8，x﹣1＝8或x﹣1＝﹣8，解得：x1＝9或x2＝﹣7．5．（2023春•潮安区校级月考）解方程：（2x﹣1）2﹣25＝0．【答案】x1＝3，x2＝﹣2．【解答】解：（2x﹣1）2﹣25＝0移项，得（2x﹣1）2＝25，∴2x﹣1＝±5，解得x1＝3，x2＝﹣2．6．（2023•龙川县校级开学）（x+1）2＝25．【答案】x1＝﹣11，x2＝9．【解答】解：，∴（x+1）2＝100，x+1＝±10，∴x1＝﹣11，x2＝9．7．（2022秋•安化县期末）解方程：（1）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2；（2）2（x﹣3）＝x2﹣9．【答案】（1）x1＝，x2＝2；（2）x1＝﹣1，x2＝3．【解答】解：（1）将x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2整理，得（x﹣3）2＝（5﹣2x）2，方程两边开平方，得x﹣3＝5﹣2x或x﹣3＝2x﹣5，∴x1＝，x2＝2．（2）2（x﹣3）＝x2﹣9，2（x﹣3）＝（x+3）（x﹣3），（x+3）（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0，（x+1）（x﹣3）＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3．8．（2022秋•广宗县期末）解方程：（y+2）2＝（3y﹣1）2．【答案】见试题解答内容【解答】解：直接开平方，得y+2＝±（3y﹣1）即y+2＝3y﹣1或y+2＝﹣（3y﹣1），解得：y1＝，y2＝﹣．9．（2021秋•石泉县期末）解方程：3（2x﹣1）2﹣27＝0．【答案】x1＝2，x2＝﹣1．【解答】解：原方程化为：3（2x﹣1）2＝27，即（2x﹣1）2＝9，则2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3，解得：x1＝2，x2＝﹣1．【题型2解一元二次方程-配方法】10．（2022秋•金平区期末）用配方法解方程：x2+6x﹣6＝0．【答案】．【解答】解：x2+6x﹣6＝0，∴x2+6x＝6．∴x2+6x+9＝6+9．∴（x+3）2＝15．∴．解得：．11．（2022秋•杨浦区期末）用配方法解方程：2x2+4x+1＝0．【答案】．【解答】解：原方程化为，配方得，即，开方得，，∴．12．（2022秋•黄浦区校级期末）用配方法解方程：x2﹣4x﹣2＝0．【答案】x1＝2+，x2＝2﹣．【解答】解：x2﹣4x﹣2＝0，x2﹣4x＝2，x2﹣4x+8＝2+8，（x﹣2）2＝10，x﹣2＝±，解得x1＝2+，x2＝2﹣．13．（2023•小店区校级模拟）用配方法解下列关于x的方程：（1）x2+12x+25＝0．（2）2x2+4x﹣1998＝0．【答案】（1），；（2），．【解答】解：（1）x2+12x+25＝0，x2+12x＝﹣25，x2+12x+36＝﹣25+36，（x+6）2＝11，x+6＝±，x+6＝或x+6＝﹣，，；（2）2x2+4x﹣1998＝0，x2+2x﹣999＝0，x2+2x＝999，x2+2x+1＝999+1，（x+1）2＝1000，x+1＝±10，x+1＝10或x+1＝﹣10，，．14．（2022秋•澄海区期末）用配方法解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．【答案】x1＝+，x2＝﹣．【解答】解：2x2﹣2x﹣1＝0，x2﹣x﹣＝0，x2﹣x＝，x2﹣x+（）2＝+（）2，（x﹣）2＝，x﹣＝±，x﹣＝或x﹣＝﹣，x1＝+，x2＝﹣．15．（2022秋•颍州区期末）用配方法解方程：（1）x2+7x＝﹣；（2）3x2+6x+2＝11．【答案】（1），；（2）x1＝1，x2＝﹣3．【解答】解：（1）x2+7x＝﹣，，，，，；（2）3x2+6x+2＝11，3x2+6x﹣9＝0，x2+2x﹣3＝0，x2+2x+1＝4，（x+1）2＝4，x+1＝±2，x1＝1，x2＝﹣3．16．（2022秋•颍州区校级期末）用配方法解下列方程（1）3x2﹣4x﹣2＝0；（2）6x2﹣2x﹣1＝0；（3）2x2+1＝3x；（4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5．【答案】（1）x1＝+，x2＝﹣；（2）x1＝+，x2＝﹣；（3）x1＝1，x2＝；（4）x1＝2，x2＝．【解答】解：（1）原方程可化为x2﹣x＝，∴x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝，∴x﹣＝±，∴x1＝+，x2＝﹣；（2））原方程可化为x2﹣x＝，∴x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝，∴x﹣＝±，∴x1＝+，x2＝﹣；（3）原方程可化为x2﹣x＝﹣，∴x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝，∴x﹣＝±，∴x1＝1，x2＝；（4）原方程可化为x2﹣x＝﹣1，∴x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝，∴x﹣＝±，∴x1＝2，x2＝．17．（2023春•下城区校级月考）以下是圆圆在用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的过程：解：移项得：x2﹣2x＝4配方：x2﹣2x+1＝4（x﹣1）2＝4开平方得：x﹣1＝±2移项：x＝±2+1所以：x1＝3，x2＝3圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．【答案】见解答．【解答】解：圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下：移项得：x2﹣2x＝4，配方：x2﹣2x+1＝4+1，（x﹣1）2＝5，开平方得：x﹣1＝±，移项：x＝±+1，所以：x1＝+1，x2＝﹣+1．【题型3解一元二次方程-公式法】18．（2023•西和县一模）用公式法解方程x2﹣4x﹣11＝0时，Δ＝（）A．﹣43 B．﹣28 C．45 D．60【答案】D【解答】解：x2﹣4x﹣11＝0，∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣11，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣11）＝60．故选：D．19．（2021秋•梁山县期末）用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（）A．3，﹣4，8 B．3，4，8 C．3，4，﹣8 D．3，﹣4，﹣8【答案】D【解答】解：∵3x2﹣4x＝8，∴3x2﹣4x﹣8＝0，则a＝3，b＝﹣4，c＝﹣8．故选：D．20．（2022秋•新民市期中）用公式法解一元二次方程3x2+x＝7时，首先要确定a，b，c的值，下列叙述中，正确的是（）A．a＝3，b＝﹣1，c＝7 B．a＝3，b＝1，c＝﹣7 C．a＝3，b＝﹣1，c＝﹣7 D．a＝3，b＝1，c＝7【答案】B【解答】解：3x2+x＝7，移项，得3x2+x﹣7＝0，这里a＝3，b＝1，c＝﹣7，故选：B．21．（2022秋•宁强县期末）用公式法解方程：4x2+x﹣3＝0．【答案】x1＝，x2＝﹣1．【解答】解：a＝4，b＝1，c＝﹣3，∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×4×4×（﹣3）＝49＞0，∴x＝＝，即x1＝，x2＝﹣1．22．（2022秋•秦都区期末）用公式法解方程：2x2﹣x﹣5＝0．【答案】x1＝，x2＝【解答】解：2x2﹣x﹣5＝0，这里a＝2，b＝﹣1，c＝﹣5，∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣5）＝41＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．23．（2022秋•丰满区校级期末）用公式法解方程：x2+2x﹣6＝0．【答案】x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．【解答】解：这里a＝1，b＝2，c＝﹣6，∵Δ＝22﹣4×1×（﹣6）＝28＞0，∴x＝＝﹣1±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．24．（2022秋•普宁市校级期中）用公式法解方程：2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1）．【答案】，．【解答】解：2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1），化简为x2﹣6x+1＝0，∵a＝1，b＝﹣6，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4＝32＞0，∴，∴，．25．（2022秋•成县期中）公式法解方程：2x2﹣x﹣3＝0．【答案】x1＝，x2＝﹣．【解答】解：∵Δ＝（﹣）2+24＝3+24＝27＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝＝﹣．26．（2022秋•城西区校级期中）x2﹣7x﹣18＝0（公式法）．【答案】x1＝9，x2＝﹣2．【解答】解：x2﹣7x﹣18＝0，∵a＝1，b＝﹣7，c＝﹣18，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×1×（﹣18）＝121＞0，∴x＝，＝，∴x1＝9，x2＝﹣2．27．（2022秋•前郭县期中）用公式法解方程：x2﹣x﹣7＝0．【答案】x1＝，x2＝．【解答】解：这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣7，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣7）＝1+28＝29＞0，∴x＝，解得：x1＝，x2＝．28．（2022秋•潮安区期中）解方程：2x2﹣7x+3＝0（公式法）．【答案】x1＝3，x2＝．【解答】解：2x2﹣7x+3＝0，这里a＝2，b＝﹣7，c＝3，∵Δ＝（﹣7）2﹣4×2×3＝25＞0，∴x＝＝，∴x1＝3，x2＝．29．（2022秋•吉林月考）用公式法解方程：x2﹣6x+2＝0．【答案】x1＝3+，x2＝3﹣．【解答】解：x2﹣6x+2＝0，∵a＝1，b＝﹣6，c＝2，∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×2＝28＞0，∴x＝＝3±，∴x1＝3+，x2＝3﹣．30．（2022秋•渭滨区校级月考）用公式法解方程：x2﹣2x﹣5＝0．【答案】x1＝1+，x2＝1﹣．【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣5）＝4+20＝24＞0，∴x＝＝＝1±，∴x1＝1+，x2＝1﹣．31．（2022秋•沈阳月考）用公式法解方程：（x﹣1）（1+2x）＝2．【答案】x1＝，x2＝﹣1．【解答】解：（x﹣1）（1+2x）＝2，2x2﹣x﹣1＝2，2x2﹣x﹣3＝0，∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣3，∴Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×2×（﹣3）＝25＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝﹣1．32．（2021秋•七里河区校级期末）用公式法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0．【答案】x1＝，x2＝．【解答】解：2x2﹣3x﹣1＝0，a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，∴x＝＝，所以x1＝，x2＝．33．（2022秋•新城区校级月考）用公式法解方程：m2﹣3m﹣1＝0．【答案】m1＝，m2＝．【解答】解：m2﹣3m﹣1＝0，∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，∴m＝，∴m1＝，m2＝．【题型4解一元二次方程-因式分解法】34．（2022秋•晋中月考）解下列一元二次方程时，最适合用因式分解法的是（）A．x2﹣x﹣1＝0 B．x2﹣7x＝﹣1 C．（x﹣1）2﹣4x＝2 D．（x﹣3）2﹣16＝0【答案】D【解答】解：A、x2﹣x﹣1＝0适合于公式法解方程，故本选项不符合题意；B、x2﹣7x＝﹣1适合于公式法解方程，故本选项不符合题意；C、由原方程得到x2﹣6x﹣1＝0，适合于配方法解方程，故本选项符合题意；D、（x﹣3）2﹣16＝0适合于因式分解法解方程，故本选项符合题意；故选：D．35．（2022秋•南皮县校级月考）用因式分解法解下列方程，变形正确的是（）A．（x+3）（x﹣1）＝1，可得x+3＝1或x﹣1＝1 B．（x﹣3）（x﹣4）＝0，可得x﹣3＝0或x﹣4＝0 C．（x﹣2）（x﹣3）＝6，可得x﹣2＝2或x﹣3＝3 D．x（x+2）＝0，可得x+2＝0【答案】B【解答】解：A、（x+3）（x﹣1）＝1，整理得：x2+2x﹣4＝0，x2+2x+1﹣5＝0，（x+1）2﹣5＝0，（x+1+）（x+1﹣）＝0，∴x+1+＝0或x+1﹣＝0，故A不符合题意；B、（x﹣3）（x﹣4）＝0，可得x﹣3＝0或x﹣4＝0，故B符合题意；C、（x﹣2）（x﹣3）＝6，整理得：x2﹣5x＝0，x（x﹣5）＝0，x＝0或x﹣5＝0，故C不符合题意；D、x（x+2）＝0，可得x＝0或x+2＝0，故D不符合题意；故选：B．36．（2022春•泰山区期末）下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（）A．（x﹣2）（x+5）＝1 B．3（x﹣2）2＝x2﹣4 C．x2﹣3x+1＝0 D．9（x﹣1）2＝5【答案】B【解答】解：A、（x﹣2）（x+5）＝1适合于公式法解方程，故本选项不符合题意；B、由原方程得到x2﹣6x+8＝0，适合于因式分解法解方程，故本选项符合题意；C、x2﹣3x+1＝0适合于公式法解方程，故本选项不符合题意；D、由原方程得到（x﹣1）2＝，最适合于直接开平方法解方程，故本选项不符合题意；故选：B．37．（2022秋•青县校级期末）用因式分解法解下列方程．（1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0；（2）2（t﹣1）2+t＝1．【答案】（1）x1＝，x2＝1；（2）t1＝1，t2＝．【解答】解：（1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0，∴[（2x﹣3）+（x﹣2）][（2x﹣3）﹣（x﹣2）]＝0，∴（3x﹣5）（x﹣1）＝0，∴3x﹣5＝0或x﹣1＝0，∴x1＝，x2＝1；（2）2（t﹣1）2+t＝1，∴2（t﹣1）2+t﹣1＝0，∴（t﹣1）（2t﹣1）＝0，∴t1＝1，t2＝．38．（2022秋•成县期中）因式分解法解方程：x2﹣2x﹣15＝0．【答案】x1＝5，x2＝﹣3．【解答】解：方程x2﹣2x﹣15＝0，变形得：x2﹣2x＝15，配方得：x2﹣2x+1＝16，即（x﹣1）2＝16，开方得：x﹣1＝4或x﹣1＝﹣4，解得：x1＝5，x2＝﹣3．39．（2021秋•昭通期末）用因式分解法解一元二次方程：（1）（4x+1）（5x﹣7）＝0；（2）（2x+3）2＝4（2x+3）．【答案】（1），；（2）∴，．【解答】解：（1）（4x+1）（5x﹣7）＝0，∴4x+1＝0或5x﹣7＝0，∴，；（2）（2x+3）2＝4（2x+3），（2x+3）2﹣4（2x+3）＝0，（2x+3）（2x+3﹣4）＝0，∴2x+3＝0或2x﹣1＝0，∴，．40．（2022秋•城西区校级期中）（2x+3）2＝4（2x+3）（因式分解法）．【答案】x＝﹣或x＝．【解答】解：（2x+3）2﹣4（2x+3）＝0，（2x+3）（2x+3﹣4）＝0，2x+3＝0或2x+3﹣4＝0，x＝﹣或x＝．41．（2022秋•碑林区校级期中）利用因式分解法解方程：2x（x+2）＝3（2+x）．【答案】x1＝﹣2，x2＝1.5．【解答】解：∵2x（x+2）＝3（2+x），∴2x（x+2）﹣3（2+x）＝0，则（x+2）（2x﹣3）＝0，∴x+2＝0或2x﹣3＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1.5．42．（2022秋•浦东新区期中）用因式分解法解方程：3x2﹣5x﹣2＝0．【答案】，x2＝2．【解答】解：3x2﹣5x﹣2＝0，（3x+1）（x﹣2）＝0，3x+1＝0或x﹣2＝0，解得，x2＝2．43．（2022秋•渭滨区校级月考）用因式分解法解方程：（x+1）2﹣3（x+1）＝0．【答案】x1＝﹣1，x2＝2．【解答】解：（x+1）2﹣3（x+1）＝0，（x+1）（x+1﹣3）＝0，x+1＝0或x+1﹣3＝0，所以x1＝﹣1，x2＝2．【题型5解一元二次方程-指定方法】44．（2022秋•重庆月考）请用指定方法解下列方程：（1）公式法：x2+x﹣12＝0；（2）因式分解法：4x2﹣144＝0．【答案】（1）x1＝3，x2＝﹣4．（2）x1＝﹣6，x2＝6．【解答】解：（1）x2+x﹣12＝0，a＝1，b＝1，c＝﹣12，Δ＝1﹣4×1×（﹣12）＝49，x＝＝，x1＝3，x2＝﹣4．（2）4x2﹣144＝0，（2x+12）（2x﹣12）＝0，2x+12＝0或2x﹣12＝0，x1＝﹣6，x2＝6．45．（2022秋•商州区校级月考）按要求解一元二次方程：（1）x2﹣10x+9＝0（配方法）；（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0（因式分解法）；（3）2x2﹣3x+1＝0（公式法）．【答案】（1）x1＝9，x2＝1；（2）x1＝2，x2＝﹣1；（3）x1＝1，x2＝．【解答】解：（1）x2﹣10x＝﹣9，x2﹣10x+25＝16，（x﹣5）2＝16，x﹣5＝±4，所以x1＝9，x2＝1；（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0，（x﹣2）（x+1）＝0，x﹣2＝0或x+1＝0，所以x1＝2，x2＝﹣1；（3）2x2﹣3x+1＝0，a＝2，b＝﹣3，c＝1，Δ＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0，x＝＝，所以x1＝1，x2＝．46．（2022春•福山区期中）解方程．（1）x2+2x﹣3＝0（配方法或因式分解法）；（2）2x2+6x﹣1＝0（用公式法）．【答案】（1）x1＝﹣3，x2＝1；（2）x1＝，x2＝．【解答】解；（1）x2+2x﹣3＝0，（x+3）（x﹣1）＝0，x+3＝0或x﹣1＝0，所以x1＝﹣3，x2＝1；（2）2x2+6x﹣1＝0，a＝2，b＝6，c＝﹣1，Δ＝62﹣4×2×（﹣1）＝44＞0，x＝＝＝，所以x1＝，x2＝．47．（2022秋•碑林区校级月考）按要求解下列方程：（1）x2﹣5x+6＝0（因式分解法）．（2）2x2﹣4x﹣7＝0（求根公式法）．【答案】（1）x1＝2，x2＝3；（2）x1＝，x2＝．【解答】解：（1）∵x2﹣5x+6＝0，∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，则x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝3；（2）∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣7，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣7）＝72＞0，则x＝＝，即x1＝，x2＝．48．（2022秋•鄄城县校级月考）解下列方程：（1）用配方法解一元二次方程：x2﹣2x﹣2＝0；（2）用因式分解法解方程（x+4）2＝5（x+4）；（3）用公式法解方程3x2+6x﹣5＝0；（4）用合适的方法解方程4x2+2x＝1．【答案】（1）x1＝1+，x2＝1﹣；（2）x1＝﹣4，x2＝1；（3）x1＝，x2＝；（4）x1＝，x2＝．【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣2＝0，∴x2﹣2x＝2，∴x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3，∴x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣；（2）∵（x+4）2＝5（x+4），∴（x+4）2﹣5（x+4）＝0，则（x+4）（x﹣1）＝0，∴x+4＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣4，x2＝1；（3）∵a＝3，b＝6，c＝﹣5，∴Δ＝62﹣4×3×（﹣5）＝96＞0，则x＝＝，∴x1＝，x2＝；（4）∵4x2+2x＝1，∴4x2+2x﹣1＝0，∴a＝4，b＝2，c＝﹣1，∴Δ＝22﹣4×4×（﹣1）＝20＞0，则x＝＝，即x1＝，x2＝．49．（2022秋•福田区校级月考）按要求解下列方程：（1）x2﹣4x﹣2＝0；（配方法）（2）（x+4）2﹣5（x+4）＝0；（因式分解法）（3）x2﹣6x＝8；（公式法）（4）x2﹣2x﹣15＝0．（因式分解法）【答案】（1）x1＝+2，x2＝﹣+2；（2）x1＝﹣4，x2＝1；（3）x1＝3﹣，x2＝3+；（4）x1＝5，x2＝﹣3．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣2＝0，x2﹣4x+4＝6，（x﹣2）2＝6，x﹣2＝±，所以x1＝+2，x2＝﹣+2；（2）（x+4）2﹣5（x+4）＝0，（x+4）（x+4﹣5）＝0，x+4＝0或x+4﹣5＝0，所以x1＝﹣4，x2＝1；（3）x2﹣6x＝8，x2﹣6x﹣8＝0，a＝1，b＝﹣6，c＝﹣8，Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣8）＝68，x＝＝3，所以x1＝3﹣，x2＝3+；（4）x2﹣2x﹣15＝0，（x﹣5）（x+3）＝0，x﹣5＝0或x+3＝0，所以x1＝5，x2＝﹣3．【题型6解一元二次方程-适当方法】50．（2023春•鄞州区期中）用适当的方法解下列方程：（1）（x+4）2＝3（x+4）；（2）x2﹣4x﹣1＝0．【答案】（1）x1＝﹣4，x2＝﹣1；（2）x1＝2+，x2＝2﹣．【解答】解：（1）（x+4）2＝3（x+4），移项得：（1）（x+4）2﹣3（x+4）＝0，分解因式得：（x+4）[（x+4）﹣3]＝0，可得x+4＝0或x+1＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝﹣1；（2）x2﹣4x+1＝0，移项得：x2﹣4x＝﹣1，配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，开方得：x﹣2＝±，则x1＝2+，x2＝2﹣．51．（2023春•余姚市期中）选择适当的方法解下列方程：（1）（x﹣3）2＝4；（2）x2﹣2x﹣8＝0．【答案】（1）x1＝5，x2＝1；（2）x1＝4，x2＝﹣2．【解答】解：（1）开方，得x﹣3＝2或﹣2，解得：x1＝5，x2＝1；（2）∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣8，b2﹣4ac＝4+32＝36＞0，∴x＝，则x1＝4，x2＝﹣2．52．（2023春•义乌市校级期中）用适当方法解下列方程：（1）x2﹣7x+2＝0；（2）2x（x﹣3）+x＝3．【答案】（1）x1＝，x2＝；（2）x1＝3，x2＝﹣．【解答】解：（1）x2﹣7x+2＝0这里a＝1，b＝﹣7，c＝2，∵Δ＝49﹣8＝41＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝；（2）方程整理得：2x（x﹣3）+（x﹣3）＝0，分解因式得：（x﹣3）（2x+1）＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣．53．（2022秋•梅里斯区期末）用适当的方法解下列方程．（1）x（x﹣2）＝3（2﹣x）；（2）2x2﹣4x+1＝0．【答案】（1）x1＝2，x2＝﹣3；（2）．【解答】解：（1）移项得：x（x﹣2）﹣3（2﹣x）＝0，提取公因式得：（x﹣2）（x+3）＝0，∴x﹣2＝0或x+3＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣3；（2）∵a＝2，b＝﹣4，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×1＝16﹣8＝8＞0，∴，∴．54．（2022秋•澄迈县期末）用适当的方法解下列方程．（1）（x+2）2﹣25＝0；（2）x2+4x﹣5＝0；（3）2x2﹣3x+1＝0．【答案】（1）x1＝3，x2＝﹣7；（2）x1＝1，x2＝﹣5；（3）x1＝，x2＝1．【解答】解：（1）（x+2）2﹣25＝0，（x+2﹣5）（x+2+5）＝0，∴x﹣3＝0或x+7＝0，解得x1＝3，x2＝﹣7；（2）x2+4x﹣5＝0，（x﹣1）（x+5）＝0，∴x﹣1＝0或x+5＝0，解得x1＝1，x2＝﹣5；（3）2x2﹣3x+1＝0，（2x﹣1）（x﹣1）＝0，∴2x﹣1＝0或x﹣1＝0，解得x1＝，x2＝1．55．（2022秋•海安市期末）用适当的方法解下列方程：（1）4x2﹣4x+1＝x2+2x+1；（2）x2﹣x﹣1＝0．【答案】（1）x1＝0，x2＝2．（2）x1＝，x2＝．【解答】解：（1）4x2﹣4x+1＝x2+2x+1，（2x﹣1）2＝（x+1）2，（2x﹣1）2﹣（x+1）2＝0，[（2x﹣1）+（x+1）][（2x﹣1）﹣（x+1）]＝0，∴3x＝0或x﹣2＝0，∴x1＝0，x2＝2．（2）x2﹣x﹣1＝0，∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．56．（2022秋•邗江区校级期末）用适当的方法解一元二次方程：（1）x2﹣2x﹣8＝0；（2）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）．【答案】（1）x1＝4，x2＝﹣2；（2）x1＝2，x2＝﹣．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣8＝0，（x﹣4）（x+2）＝0，x﹣4＝0或x+2＝0，所以x1＝4，x2＝﹣2；（2）3x（x﹣2）＝2（2﹣x），3x（x﹣2）+2（x﹣2）＝0，（x﹣2）（3x+2）＝0，x﹣2＝0或3x+2＝0，所以x1＝2，x2＝﹣．【题型7解一元二次方程-换元法】57．（2023春•龙凤区期中）【例】解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0．解：设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0．解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5．所以原方程的解为x1＝2，x2＝5．上述解法称为“整体换元法”．请运用“整体换元法”解方程：（2x﹣5）2﹣（2x﹣5）﹣2＝0．【答案】x1＝3.5，x2＝2．【解答】解：设y＝2x﹣5，则原方程变形为y2﹣y﹣2＝0，∴（y﹣2）（y+1）＝0，∴y﹣2＝0或y+1＝0，解得y1＝2，y2＝﹣1，当y＝2时，即2x﹣5＝2，解得x＝3.5；当y＝﹣1时，2x﹣5＝﹣1，解得x＝2．∴原方程的解为x1＝3.5，x2＝2．58．（2022秋•新邵县期末）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：已知（x+y﹣3）（x+y+4）＝﹣10，求x+y的值；解：设x+y＝t，则原方程可变形为（t﹣3）（t+4）＝﹣10．即t2+t﹣2＝0∴（t+2）（t﹣1）＝0得t1＝﹣2，t2＝1，∴x+y＝﹣2或x+y＝1．已知（x2+y2﹣2）（x2+y2﹣3）＝12，求x2+y2的值．【答案】6．【解答】解：设x2+y2＝t，则原方程可变形为：（t﹣2）（t﹣3）＝12，即t2﹣5t﹣6＝0∴（t+1）（t﹣6）＝0，解得：t1＝﹣1，t2＝6；又∵x2+y2≥0，∴x2+y2＝6．59．（2022秋•信都区校级期末）阅读材料，解答问题：为解方程x4﹣3x2+2＝0，我们将x2视为一个整体，解：设x2＝y，则x4＝y2，原方程可化为y2﹣3y+2＝0，解得y1＝2，y2＝1，当x2＝2时，，当x2＝1时，x＝±1，∴原方程的解为或x＝±1．（1）上面的解题方法，利用换元法达到了降幂的目的．（2）依据此方法解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0．【答案】（1）换元；（2）或x＝±2．【解答】解：（1）上面的解题方法，利用换元达到了降幂的目的，故答案为：换元；（2）解：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0，设x2﹣1＝y，原方程可化为y2﹣5y+6＝0，解得y1＝2，y2＝3，当x2﹣1＝2时，，当x2﹣1＝3时，x＝±2，∴原方程的解为或x＝±2．60．（2022秋•渝中区期末）阅读材料，解答问题．解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0．解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣10y+24＝0．解得y1＝6，y2＝4．∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4．∴．以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照材料解下列方程：（1）（3x﹣5）2+4（3x﹣5）+3＝0；（2）x4﹣x2﹣6＝0．【答案】（1）x1＝，x2＝；（2）x1＝，x2＝﹣．【解答】解：（1）设3x﹣5＝y，则原方程可化为y2+4y+3＝0，整理，得（y+3）（y+1）＝0，解得y1＝﹣3，y2＝﹣1．当y＝﹣3时，即3x﹣5＝﹣3，解得x1＝，当y＝﹣1时，即3x﹣5＝﹣1，解得x2＝．综上所述，原方程的解为x1＝，x2＝；（2）设x2＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0，整理，得（y﹣3）（y+2）＝0，解得y1＝3，y2＝﹣2．当y＝3时，即x2＝3，∴x＝±，当y＝﹣2时，x2＝﹣2无解．∴原方程的解为x1＝，x2＝﹣．61．（2022秋•宛城区校级月考）阅读材料，解答问题．解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0．解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣10y+24＝0．解得y1＝6，y2＝4．∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4．∴，．以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照材料解下列方程：（1）x4﹣x2﹣6＝0；（2）（x2﹣2x）2﹣5x2+10x﹣6＝0．【答案】（1），；（2），，x3＝x4＝1．【解答】解：（1）设x2＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0，整理，得（y﹣3）（y+2）＝0，解得y1＝3，y2＝﹣2．当y＝3时，即x2＝3，∴；当y＝﹣2时，x2＝﹣2无解．∴原方程的解为，．（2）设x2﹣2x＝y，则原方程可化为y2﹣5y﹣6＝0，整理，得（y﹣6）（y+1）＝0，解得y1＝6，y2＝﹣1．当y＝6时，即x2﹣2x＝6，解得，；当y＝﹣1时，即x2﹣2x＝﹣1，解得x3＝x4＝1．综上所述，原方程的解为，，x3＝x4＝1．62．（2022秋•隆安县期中）阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，原方程化为y2﹣3y＝0．①解得y1＝0，y2＝3．当y＝0时，x2﹣1＝0，x2＝1，∴x＝±1．当y＝3时，x2﹣1＝3，x2＝4，∴x＝±2．∴原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．解答问题：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想；（2）利用上述材料中的方法解方程：（x2+3）2﹣4（x2+3）＝0．【答案】（1）换元，转化；（2）x1＝1，x2＝﹣1．【解答】解：（1）由题意得，在原方程得到方程y2﹣3y＝0的过程中，利用了换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想；故答案为：换元，转化；（2）设x2+3＝m，由题意，得m2﹣4m＝0，解得：m1＝0，m2＝4，当m＝0时，x2+3＝0，方程无解；当m＝4时，x2+3＝4，解得x1＝1，x2＝﹣1．∴原方程的解为：x1＝1，x2＝﹣1．63．（2021秋•东莞市校级期中）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．材料：为解方程x4﹣x2﹣6＝0可将方程变形为（x2）2﹣x2﹣6＝0然后设x2＝y，则（x2）2＝y2，原方程化为y2﹣y﹣6＝0…①解得y1＝﹣2，y2＝3，当y1＝﹣2时，x2＝﹣2无意义，舍去；当y2＝3时，x2＝﹣3，解得x＝±；所以原方程的解为x1＝，x2＝﹣；问题：（1）在原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了化归的数学思想；（2）利用以上学习到的方法解下列方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）＝7．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）在原方程得