新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题13解析几何 13.1直线方程（解析版）

专题十三《解析几何》讲义13.1直线方程知识梳理.直线方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)定义式：直线l的倾斜角为αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))，则斜率k＝tanα.(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直线斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面内所有直线都适用4．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.(2)两条直线垂直①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.5．三种距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)点到直线的距离公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)两平行直线间的距离公式两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).题型一.倾斜角与斜率之间的关系1．直线sinθ•x﹣y+1＝0的倾斜角的取值范围是（）A．[0，π） B．[0，C．[0，π4【解答】解：直线sinθ•x﹣y+1＝0的斜率k＝sinθ∈[﹣1，1]，设直线的倾斜角为α，则﹣1≤tanα＜0或0≤tanα≤1，∴3π4≤α＜π或0∴直线sinθ•x﹣y+1＝0的倾斜角的取值范围是[0，π4]∪[3π4，故选：B．2．若0＜α＜π2，则经过两点P1（0，cosα），P2（sinA．α B．π2+α C．π﹣α D．【解答】解：经过两点P1（0，cosα），P2（sinα，0）的直线的斜率为：−cosαsinα=−cotα.0＜α∴直线的倾斜角为β．tanβ＝﹣cotα＝tan（π2+∴β=π2故选：B．3．已知直线l过点P（﹣1，2），且与以A（﹣2，﹣3）、B（3，0）为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围是（﹣∞，−12]∪[5，+∞【解答】解：∵点P（﹣1，2）、A（﹣2，﹣3），∴直线AP的斜率k1=−3−2−2+1=5．同理可得直线BP的斜率k设直线l与线段AB交于M点，当直线的倾斜角为锐角时，随着M从A向B移动的过程中，l的倾斜角变大，l的斜率也变大，直到PM平行y轴时l的斜率不存在，此时l的斜率k≥5；当直线的倾斜角为钝角时，随着l的倾斜角变大，l的斜率从负无穷增大到直线BP的斜率，此时l的斜率k≤−1综上所述，可得直线l的斜率取值范围为：（﹣∞，−12]∪[5，+故答案为：（﹣∞，−12]∪[5，+题型二.直线方程1．直线l过点A（1，1），且l在y轴上的截距的取值范围为（0，2），则直线l的斜率的取值范围为（﹣1，1）．【解答】解：设直线l的方程为：y﹣1＝k（x﹣1），化为：y＝kx+1﹣k，由题意可得：0＜1﹣k＜2，解得﹣1＜k＜1．∴直线l的斜率的取值范围为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．2．已知A（3，0），B（0，4），直线AB上一动点P（x，y），则xy的最大值是3．【解答】解：∵A（3，0），B（0，4），∴直线AB的方程是：x3+y4=1，即4设P（x，y），则x＝3−34∴xy＝3y−34y2=−34（y﹣2）当且仅当y＝2，x=3∴xy的最大值是3．故答案为：3．3．已知△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，求点P到AC、BC的距离乘积的最大值．【解答】解：∵∠ABC＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，依题意，作图如下：BC在x轴上，B点与原点O重合，点A（0，b）在y轴正半轴上，依题意知，b=4设点P（0，m）（0＜m＜7∵直线AC的方程为x3+y7=1，即7x+3∴点P（0，m）到直线7x+3y﹣37=0的距离（即点P（0，m）到AC的距离）d=|3m−37|(7)2+3又点P（0，m）到BC的距离为m，∴点P到AC、BC的距离乘积f（m）＝m•34（7−m）≤34•(m+(7−m)2)2∴点P到AC、BC的距离乘积的最大值为2116题型三.直线的平行与垂直关系1．k＝5是直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1＝0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0平行的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】①当k＝5时，直线l1：2x﹣y+1＝0与l2：4x﹣2y+3＝0平行；②若直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1＝0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0平行，则（k﹣3）（﹣2）﹣（4﹣k）2（k﹣3）＝0，解得，k＝3或k＝5．故k＝5是直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1＝0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0平行的充分不必要条件．故选：A．2．已知直线l1：ax+4y﹣2＝0与直线l2：2x﹣5y+b＝0互相垂直，垂足为（1，c），则a+b+c的值为﹣4．【解答】解：∵直线l1与直线l2互相垂直，∴2a+4×（﹣5）＝0，解得a＝10，∴l1：10x+4y﹣2＝0，∵垂足（1，c）在l1上，∴10+4c﹣2＝0，解得c＝﹣2，再由垂足（1，﹣2）在l2上可得2+10+b＝0，解得b＝﹣12，∴a+b+c＝10﹣12﹣2＝﹣4故答案为：﹣43．已知△ABC的两条高所在直线的方程分别为x+y＝0，2x﹣3y+1＝0，且点A的坐标为（1，2），（1）求△ABC的垂心坐标；（注：三角形三条高所在直线交于一点，交点叫做垂心）（2）求BC边上的高所在直线的方程．【解答】解：（1）∵三角形三条高所在直线交于一点，交点叫做垂心，已知△ABC的两条高所在直线的方程分别为x+y＝0，2x﹣3y+1＝0，解方程组：x+y=02x−3y+1=0得：x=∴△ABC的垂心坐标（−15，（2）∵点A的坐标为（1，2），根据直线方程的两点式得：y−21即：3x﹣2y+1＝0．∴BC边上的高所在直线的方程3x﹣2y+1＝0．题型四.距离问题1．已知点A（﹣1，2），B（1，4），若直线l过原点，且A，B两点到直线l的距离相等，则直线l的方程为（）A．y＝x或x＝0 B．y＝x或y＝0 C．y＝x或y＝﹣4x D．y＝x或y=【解答】解：①当直线l与直线AB平行时，直线AB的斜率为4−21−(−1)此时直线l的方程为y＝x；②当直线l过线段AB的中点时，AB中点的坐标为（0，3），此时直线l的方程为x＝0．故选：A．2．P、Q分别为3x+4y﹣10＝0与6x+8y+5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为是52【解答】解：∵3x+4y﹣10＝0与6x+8y+5＝0是平行线，即3x+4y﹣10＝0与3x+4y+5∴|PQ|的最小值d=|故答案为：523．直线l过点P（1，4）分别交x轴的正方向和y轴正方向于A、B两点．①当|OA|+|OB|最小时，求l的方程．②当|PA|•|PB|最小时，求l的方程．【解答】解：①∵直线l过点P（1，4）分别交x轴的正方向和y轴正方向于A、B两点，∴直线l的斜率k＜0，设直线l的方程为y﹣4＝k（x﹣1），则A（−4k+1，0），B（0，∴|OA|+|OB|=−＝（−4k−k）+5≥当且仅当k＝﹣2时取等号，∴l的方程为y﹣4＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣6＝0．②由①知|PA|•|PB|=(−4=16(k2+1)2k当且仅当k＝﹣1时取等号，∴l的方程为y﹣4＝﹣（x﹣1），即x+y﹣5＝0．题型五.对称问题1．在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于直线l：x+y＝0对称的点的坐标为（）A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）【解答】解：设点A（1，2）关于直线x+y＝0对称点为B（m，n），则n−2m−1=1且解得m＝﹣2，n＝﹣1，则点A（1，2）关于直线l：x+y＝0的对称点B为（﹣2，﹣1），故选：D．2．直线x+3y﹣1＝0关于直线x﹣y+1＝0对称的直线方程是3x+y+1＝0．【解答】解：联立x+3y−1=0x−y+1=0，解得x=−12y=在直线x+3y﹣1＝0上取一点P（1，0），设点P关于直线x﹣y+1＝0的对称点为Q（m，n），则m+12−n2+1=0nm−1∴直线MQ的方程为y−2=12−2−1故答案为3x+y+1＝0．3．若直线l1：y＝k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（0，2）．【解答】解：∵直线l1：y＝k（x﹣4）经过定点M（4，0），而点M关于点（2，1）对称点为N（0，2），又直线l1：y＝k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点N（0，2），故答案为（0，2）．4．过点P（3，0）作一直线，使它夹在两直线l1：2x﹣y﹣2＝0与l2：x+y+3＝0之间的线段AB恰被点P平分，则此直线的方程为8x﹣y﹣24＝0．【解答】解：设点A（x，y）在l1上，由题意知：线段AB的中点为P（3，0），∴点B（6﹣x，﹣y），解方程组2x−y−2=0(6−x)−y+3=0解得x=11∴k=16∴所求的直线方程为y＝8（x﹣3），即8x﹣y﹣24＝0．故答案是：8x﹣y﹣24＝0．5．如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．210 B．6 C．33 D．25【解答】解：点P关于y轴的对称点P′坐标是（﹣2，0），设点P关于直线AB：x+y﹣4＝0的对称点P″（a，b）∴b−0a−2×(−1)=−1a+2∴光线所经过的路程|P′P″|＝210，故选：A．课后作业.直线方程1．若直线l：y=kx−3与直线x+y﹣3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．（00，600） B．（300，600） C．（300，900） D．（600，900）【解答】解：联立两直线方程y=kx−3解得：x=3+31+k，∴两直线的交点坐标为（3+31+k，∵两直线的交点在第一象限，∴3+3解得：k＞3设直线l的倾斜角为θ，则tanθ＞3∴θ∈（30°，90°）．故选：C．2．过点P（1，2）的直线l与两点A（2，3），B（4，﹣5）的距离相等，则直线l的方程为4x+y﹣6＝0或3x+2y﹣7＝0．【解答】解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，不成立；当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+2＝0，∵直线l与两点A（2，3），B（4，﹣5）的距离相等，∴|2k−3−k+2|k解得k＝﹣4或k=−3∴直线l的方程为﹣4x﹣y+4+2＝0或−32x﹣y整理，得：4x+y﹣6＝0或3x+2y﹣7＝0．故答案为：4x+y﹣6＝0或3x+2y﹣7＝0．3．若直线l被4x+y+6＝0和3x﹣5y﹣6＝0两条直线截得的线段的中点恰好是坐标原点，求直线l的方程．【解答】解：设所求直线l与已知两直线的交点分别是A、B，设A（x0，y0），∵A、B关于原点对称，∴B（﹣x0，﹣y0）．又∵A、B分别在两直线上，∴4x0+y0+6=0−3x0+5y0−6=0，解得x0+6∴直线l的方程是x+6y＝0．4．已知m，n，a，b∈R，且满足3m+4n＝6，3a+4b＝1，则(m−a)2A．3 B．2 C．1 D．1【解答】解：此题可理解为点A（m，n）与点B（a，b）分别在直线l1：3x+4y＝6与直线l2：3x+4y＝1上，求A、B两点间的距离的最小值，∵l1∥l2，∴|AB|故选：C．5．已知b＞0，直线x﹣b2y﹣1＝0与直线（b2+1）x+ay+2＝0互相垂直，则ab的最小值等于（）A．1 B．2 C