2021届普通高等学校招生全国统一考试数学文模拟试题四答案

2021届普通高等学校招生全国统一考试数学文模拟试题四答案

一、选择题・・・NDAiG为异面直线AG与BC所成的角

1.C【解析】由题意可知，2,3,4,5,6,7,8,9),AiG=DC,=A1D・・•・ZXAiGD是正三角形.・•・A】G

所以AfiB={1,2,3},所以含有23=8个子集.故与BC所成的角是60°.故选C.

选C.

8.A【解析】lg>a.=4>0・

2.A【解析】sin(—260°)cos350—sin10°sin145°=%a„

sin1000cos350+cos1000sin35°=sin(100°+35°)=

故必要性成立；又<7>0=>«.+11=>

an

sin1350=冬.故选A.

lg9>0.故充分性成立.则2>0”是••对任意的正

a„

,,r由？v2+ai_(2+ai)(l-i)

3.D【解析】z=干=+—=整数".1g生口>0”的充要条件.故选A.

a”

之普二也=室+”匕所以广+“>°，解

9.C【解析】由图象相邻两支截直线y=l所得线段K

L-2V0,

为会可得/⑺的最小正周期为学■•即s=2,当

得一2V.V2.故选D.

【解析】因为当时，/("=/+工.所以人力

4.CV>0(一于吟)时〃=2］+专£(一专号).・・・y=ian/

在(0・+8)上为增函数，又/(/)是R上的奇函数.所

以/(工)在RI二为增函数•故/(lnH)V/(-l)Qlnz在(一专•冷)上单调递增，故A.B正确；当/=于

V-lQOVrV--.故选C.

时・/=21+击=警・・•・/(/)的图象不关于点

00

5.A【解析】由题知・c=2・CP为△MBB的中位线.

(干・0)对称♦故C错误；当I="•时・f=27+*=

故|MRI=4•所以2a=|MR|+|乂尸21=6・々=3,所'4'66

以离心率故选A.告•函数没有意义•故函数/(力的图象与直线

a3LO

6.C【解析】记三名男生分别为A,B,C两名女生分别为不相交•故D正确.故选C.

。・〃•则从中任选三人的基本事件为(A・B・C)・(A・3.a)・10.C【解析】作出该几何体的直观图如图•可知该儿

(AJ3.b).(A.C.a).(A.C.b).(A,u.6).(B,C.a).(B.C.何体为两个直四棱柱的组合体，

力,(B,a,/>),((：“.〃)，共10种•其中既有女生又有男生

的有9种•故所求概率为卷故选C.

7.C【解析】补齐正方体如图所示•连接AD.DG•则

AD〃BC

所以V=U+；)X2x］+(2+；)X2.3=24.故

选C.

11.D【解析】由题知•问题等价于函数〃/在［2,4］上

的最大值小于等于函数月(外在［-2・1］上的最大值.

一

(x—2)2+4,24x^3・+la所以"%一"=3>?+"=3"+1=]-------6_

当时2由22S,3/+7"3”+73„+7

xH--・3V.z'44・

当”=1时.1一指；的最小值为告,所以笠:工的

二次函数及对勾函数的图象及性质•得f(工)€

2

[3,段].又心>0・g(1)£[一2.+1,0+口,则有5《最小值为号.

7

。+1•解得"》千・所以正实数a的取值范围为16.y【解析】设球心为。.下底面的中心为a、边长

为四棱锥的高为〃.则。瓜=等“，可得

[-^•,+8).故选D.OOJ+

0瓜2=(乂2.即(考“了+|八一3|2=3*.可得『=

12/1-2人3(0<*<6),则该四棱锥的体积为V=y

19

Xa2〃=g(i2/L2/产)限令/(A)=4A2-yA3.

r(/o=8/1一2",当人£(0,4)时，/(/[)单调递增/

6(4.6)时・/(/.)单调递减,所以A=4时•该四棱锥

的体积最大•最大值为4X42X4」号.

。是以线段用B为直径的圆上的一点•所以BP_L

三、解答题

P6.设|BP|=/，则由|F|A|：|A3|：|BP|=

17.解：(1)/(x)=cos2.r+y/3sinj-cosiH—^~=

3：2：1・得|储人|=3丁・|八3|=21・所以|尸记|=6/,

|63|=5z.I=51一2a.|AF?|=2a+3/・所以sin(2h+*)+1,(2分)

在"HB中・|尸6|2=166|2一|。6|2=4/—

(642=4/一36/①，在△BPFz中，IPF2|2=令一年+2“<2M+备4焉+2Mk€Z).

L0L

|3Fz产一13Pl2=(5x-2a)2-/=24/-20ai+

解得一年+尽1<]<要+标《£/)・

4/②•在△APF?中，|PF/z=|AF/2一|PA|2=30

(2a+31)2—(3/)2=4a2+12aj•③，由②③,可得x所以函数/(工)的单调递增区间为

=夺・|/%|2=20/•代人①可得21/=/•所以[一年+ATC,*（EGZ）.（4分）

双曲线C的离心率，=工=y/21.故选D.（2）f（A）=sin（2A+,）+1=2.

a

二、填空题所以sin（2A+y）=l.（5分）

13.48【解析】根据分层抽样的规则.600个样本中.

因为OVAVn.所以会〈2人+*〈孕.

99

AB血型所占比例为云,故有600X套=48人.

所以2A+^=B，解得A=*.（6分）

14.-41【解析】〃在a方向上的投影为力=OLO

]O\

所以S&w=十从sinA=:〃<•=；•

-^==-713.

5/44-9

所以〃c=2.（7分）

解析】因为卬.生一必成等比数列.所以(火

15.-j-11由余弦定理可得。2="+/一2衣以）5A・

—1)2=n・a6,即(ai+2d—l)2="i•(ai+5d).ai即2=〃+/-2加X§・（9分）

=5.解得4=3或一彳(舍).则“，=3"+2.S.=¥

所以〃+/=2+2展.

即3+C）2=6+2Q,估计中位数落在区间［350,400）内，设为/,

则由0.45+（J-350）X0.006=0.5,

所以Z»+c=，6+24,（11分）

解得I*358.3.（3分）

所以zlABC的周长为a+，6+2".（12分）

其平均数为225X0.05+275X0.16+325X0.24+

.解：（）过点作CG//AD交AB于点G・

181C375X0.3-F425X0.2+475X0.05=354.5.（5分）

因为〃所以四边形是平行四边形.

CDA3.ADCG（2）方案A：

又,所以平行四边形ADCG是菱形，

AD=CD估计100000个草莓西红柿总质量为354.5X100000

所以CG=AG=GB=BC.

=35450000克=35450千克•按20元/千克收购.

所以△是等边三角形.

BCG则收益约为35450X20=709000元.（7分）

所以NCBACGB

=Z=2/CAG=60°,方案B：

所以NCAG=30°,

因为草毒西红柿质量低于350克的个数为（0.05+

所以NACB=1800-NCAB-NC3A=90°・0.16+0.24）X100000=45000个・

BPAC±BC.（3分）

草莓西红柿质量不低于350克的个数为55000个，

因为平面平面ABCD.CF±CD.平面

CDEF所以收益为45000X4+55000X8=620000元，

CDEFCI平面ABCD=CD・CFU平面CDEF.

（11分）

所以平面

CF_LABCD,所以方案A的收益比方案3的收益高，应该选择方

又平面

ACUABCD.案A.（12分）

所以ACJ_CF.（5分）

20.解：（1）直线/3：J-=-1为抛物线的准线.

又所以平面BCF.

BC?nCF=C,ACJ_由抛物线定义可知•点P到A的距离等于到抛物线

又平面ACE,

ACU焦点F（l,0）的距离,（2分）

所以平面平面ACE.（分）

BCF_L6过点F作直线Z,：4«r-3y+6=0的垂线.

则垂线段的长度即为动点P到直线乙和直线It的

距离之和的最小值•此时。/=比筌虹=2.（4分）

（2）由孑■=1=>。=2•得抛物线C：v2=4J.

①当直线AB的斜率不存在时•点A,B的坐标分别

（2）设CD=z.则CF=BC=hA3=2z.AC=

为（2,2>/F）・（2・一2yf）・

ABsinZABC=2/sin600=近八（7分）

所以△A3F的面积为S=^X|EF|X|^—“1=

由（1）知・CF_L平面ABCD.

所以Vi支=匕：…=yXyACXBCXCF=y/3一北1二十乂|2々一（一2⑶|=2怎（6分）

XG/X/XL蜉，（10分）②当直线人B的斜率存在时,设斜率为人显然A#

0,直线AB的方程为丁=屋1-23

解得£=2,

代人尸=47,得y2—乎一8=0.△>（）.

所以线段A3的K为4.（12分）

19.解：（1）由图可知质量在［200,250）内的频率为0.001所以V+力=!,y12=—8,（8分）

K

X50=0.05,

所以△ABF的面枳为S=4X|EF|X|仙一州|=

在［250,300）内的频率为0.0032X50=0.16.

在［300・350）内的频率为0.0048X50=0.24,■yl.vi-yiI=_1_J^+32>'v^=2也.（11分）

所以在［200,350）内的频率为0.05+0.16+0.24=

0.45,（2分）综上所述,△ABF面积的最小值为2品..（12分）

2L解：（1）若/（I）在区间口，+8）上单调递增，C的普通方程为（7—3）2+丁=9,即/一6/+/=

则/（力》0在区间口・+8）上恒成立，0,化为极坐标方程为一一6^8。=0,

得p=6cos。.（5分）

即/（x）=y-p->0恒成立.（2分）

（2）由（1）知曲线C为圆.设圆心A（3,0）.半径为3,

所以在]£口.+8）上恒成立.即“<1.

§X3-2声q

所以实数〃的取值范围为（一8・11.（4分）

A（3.0）到/的距离4=:1」=[■・

⑵由⑴知•当。=1时=InN-1+1•在口,

+8）上为增函数.

|MN|=2^32-（^-）2=373.（10分）

则/（x）=lnj~l+y>/（l）=O.

23.解：⑴・・・加=一1.

即In----（6分）