2023年云南省曲靖市陆良县高考数学五模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合9=卜|上一次一3<0},集合8={x|x—120},则0(AcB)=().

A.(-co,l)Uf3,+oo)B.(—,l]U[3,+8)

C.S』)U(3,”)D.(1,3)

2.设且，1一sin2x=sinx-coss，贝!I()

八九,,7乃乃4兀，，3冗

A.04xWB.—---C.—WxW—D.—WxW—

444422

3.若复数z满足z=(2+i)(j)(i是虚数单位)，则|z|=()

A.叵B.Vi(jC.此D.75

22

4.已知集合A={x||x—l|W3,xeZ},8={xeZ|2'eA},则集合8=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2}

v-224

5.已知双曲线C：—-v2_=i（a>0,30）的右焦点为尸，过原点O作斜率为一的直线交C的右支于点A,若|04|=|0尸

a-b-3

则双曲线的离心率为（）

A.耶>B.75C.2D.百+1

1-i

6.设2=市+公，则⑶=

D.6

7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（）

倚视图

A.3A/2B.275C.276D.277

8.若不等式/+依+120对于一切工€（0,3恒成立，则“的最小值是（）

A.0B.-2C.--D.-3

2

TT

9.已知函数/（x）=cos（2x+§）,则下列结论错误的是（）

A.函数/（力的最小正周期为7T

B.函数“X）的图象关于点［go］对称

（-TT24\

C.函数/（X）在［寸彳）上单调递增

D.函数“X）的图象可由y=sin2x的图象向左平移看个单位长度得到

2X—YY0

10.已知函数/（x）=2'"则/（/（T））=（）

x+l,x<0,

A.2B.3C.4D.5

11.已知定点AB都在平面a内，定点尸右。,尸8，。,。是&内异于4,8的动点，且PC_LAC,那么动点C在平

面a内的轨迹是（）

A.圆，但要去掉两个点B.椭圆，但要去掉两个点

C.双曲线，但要去掉两个点D.抛物线，但要去掉两个点

12.抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次,至少连续出现3次正面朝上的概率是（）

1153

A.—B.—C.—D.—

433216

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀

率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论：

①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；

②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率；

③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是

14.(1-3x)(1+X)、展开式中项的系数是

15.已知等边三角形ABC的边长为1.丽7=2砺，点N、T分别为线段8C、C4上的动点，则

丽•而+比・俞+D5•丽取值的集合为

16.设片，居分别是椭圆C：三+当=1(a>/,>())的左、右焦点，直线/过耳交椭圆C于A,B两点，交/轴

CTb

于E点，若满足电=2福，且NE6鸟=60,则椭圆C的离心率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17.(12分)如图,设点鸟(1,0)为椭圆£[+l=13>。>0)的右焦点，圆C:(x-a)2+〉2=a2,过入且斜率为

a~b~

-々>0)的直线/交圆。于AB两点，交椭圆E于点P,。两点，已知当％=6时，AB=2R.

(1)求椭圆E的方程.

(2)当「6:号时，求APQC的面积.

18.(12分)设函数/(x)J+1(x+l)(x〉0).

k

(1)若/•(犬方仁恒成立，求整数上的最大值；

X+1

(2)求证：(1+1X2>(1+2X3)…[l+“x(”+l)]>e2"-3.

x=n

x=1-m

19.(12分)在直角坐标系xOv中，直线4的参数方程为为参数),直线/，的参数方程c〃(为参

y=7k/(m-l)

I'k

数)，若直线44的交点为P，当上变化时，点P的轨迹是曲线c

(1)求曲线c的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线4的极坐标方程为

6=a(p..O),tana=g[o<a<|^,点Q为射线&与曲线C的交点，求点Q的极径.

20.(12分)已知矩形纸片ABCO中，AB=6,49=12,将矩形纸片的右下角沿线段MN折叠，使矩形的顶点8落

在矩形的边AO上，记该点为£且折痕MN的两端点M,N分别在边AB,BC上.设NMNB=dMN=I,AEMN的

面积为S.

(1)将/表示成。的函数，并确定0的取值范围；

(2)求/的最小值及此时sin6的值；

(3)问当。为何值时，AEMN的面积S取得最小值？并求出这个最小值.

21.(12分)已知AABC中，BC=2,8=45°,D是AB上一点.

(1)若53=1,求C£)的长；

(2)若4=30°,BD=3AD,求叱黑的值.

sinZ.DCB

22.(10分)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用

于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆。及其内接等腰三角形ABC绕底边8C上的高所在直线

AO旋转180。而成，如图2.已知圆。的半径为设ZB40=，,0<0<],圆锥的侧面积为ScM.

(1)求S关于。的函数关系式；

(2)为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰AB的长度.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

算出集合A、8及再求补集即可.

【详解】

由丁一21一3<0，得-l<x<3,所以A={x|-l<x<3},又8={1|兀21},

所以AcB={x|l〈x<3},故a(4门3)={%[%<1或％23}.

故选：A.

【点睛】

本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.

2.C

【解析】

将等式变形后，利用二次根式的性质判断出sinx..cosx,即可求出x的范围.

【详解】

Vl-sin2x=Vsin2%+cos2x-2sinxcosx

=J(sinx-cosx)2

=|sinx-cosx|

=sinX—cosx

sinx-cosx..0,即sinx..cosx

・.,滕！k21

.-.-M—

44

故选：C

【点睛】

此题考查解三角函数方程，恒等变化后根据sinx,cosx的关系即可求解，属于简单题目.

3.B

【解析】

利用复数乘法运算化简z,由此求得回.

【详解】

依题意z=2+i—2i—『=3-，所以忖=小?+(—1)-=V10•

故选：B

【点睛】

本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的计算，属于基础题.

4.D

【解析】

弄清集合8的含义，它的元素x来自于集合4,且2,也是集合A的元素.

【详解】

所以一故又A则

Hl%-H<3,2WxW4,4={-2,-1,0,1,2,3,4},xeZ,2-GA，x=(M,2,

故集合B={0,1,2}.

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题.

5.B

【解析】

y=c（j2+h2h2\

以。为圆心，以|。目为半径的圆的方程为f+y2=c2,联立/、2_,可求出点A丝J——，一，则

/一万=1IcC）

b2

74

一/§,,=可，整理计算可得离心率.

aylc~+hJ

【详解】

解：以。为圆心，以目为半径的圆的方程为f+y2=/

ayjc2+/72

x2+y2=c2x=-------------

联立尤2y2_,取第一象限的解得＜c

b2

y=—

c

b2

22

ayJc+bnl4

即A----------，一，则

cayjc2+b23

/

整理得(9c2-5a2)(c2-5«2)=0,

r25r2

则二二士＜1(舍去)，i-=5,

a29a2

e=—=\/5.

a

故选：B.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.

6.C

【解析】

分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共扼复数，化简复数二，然后求解复数的模.

详解…芸+2i=

(IT)。1)+2i

(Ji)(l+i)

=—i+2i=i，

则|z|=l,故选c.

点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共

物复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式

相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

7.C

【解析】

根据三视图，可得该几何体是一个三棱锥S—ABC,并且平面SAC1平面ABC,ACYBC,过S作连

接，AD=2,AC=2,BC=2,SD=2,再求得其它的棱长比较下结论.

【详解】

如图所示：

由三视图得：该几何体是一个三棱锥S—ABC,且平面SAC,平面ABC,ACVBC,

过S作S£>_LAC,连接3D,则和=2,AC=2,BC=2,SD=2,

所以勿=^DCZ+BCZ=V20，SB=>JSD2+BD2=2指，SA=yJSD2+AD2=2&，

SC=y/SD2+AC2=275，

该几何体中的最长棱长为2指.

故选：C

【点睛】

本题主要考查三视图还原几何体，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.

8.C

【解析】

试题分析：将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论.

解：不等式x2+ax+lK)对一切xG(O,成立，等价于*-x-L对于一切xe(0，!成立，

2xI2_

I

•；y=・x--在区间|0,—上是增函数

X

・

••—X----1-S-----1---2o=----5-

x22

:.a>--

2

•••a的最小值为-3故答案为C.

2

考点：不等式的应用

点评：本题综合考查了不等式的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中

档题

9.D

【解析】

由7可判断选项A；当％=与时，2x+^=—可判断选项段利用整体换元法可判断选项C；

co1232

y=sin2(x+］)=cos(2x-?丰/(x)可判断选项D.

【详解】

由题知最小正周期7=4=兀，所以A正确；当“=看时，

2X+；=5，所以B正确；当弓)时，2x+^e］兀,事｝所以C正确；由/=5由2%

的图象向左平移卡■个单位，W=sin2^x+-^|^=sin^2x+^=sin2N+5-三)=

cos(2x-］卜/(x),所以D错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查余弦型函数的性质，涉及到周期性、对称性、单调性以及图象变换后的解析式等知识，是一道中档题.

10.A

【解析】

根据分段函数直接计算得到答案.

【详解】

Y—xx0

因为/□)=，「,二所以/.(/(一1))=/(2)=22-2=2.

x+l,x<0,

故选：A.

【点睛】

本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.

11.A

【解析】

根据题意可得AC_L3C,即知C在以A8为直径的圆上.

【详解】

•/PB±a,ACcza,

:.PB±AC,

又PC_LAC,PBcPC=P,

AC±平面PBC,又8Cu平面PBC

:.AC±BC,

故C在以A3为直径的圆上，

又C是。内异于A,8的动点，

所以C的轨迹是圆，但要去掉两个点A,3

故选:A

【点睛】

本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题.

12.A

【解析】

首先求出样本空间样本点为25=32个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数，再求

出重复数量，可得事件的样本点数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】

样本空间样本点为2$=32个，

具体分析如下：

记正面向上为1,反面向上为0,三个正面向上为连续的3个“1”，

有以下3种位置1___1.

剩下2个空位可是()或1,这三种排列的所有可能分别都是2x2=4，

但合并计算时会有重复，重复数量为2+2=4,

事件的样本点数为：4+4+4—2—2=8个.

Q1

故不同的样本点数为8个，—

324

故选：A

【点睛】

本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(2X3)

【解析】

根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案.

【详解】

不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；

因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女

生成绩的优秀率，故②正确；

因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关

系，故③正确.

故答案为：②③.

【点睛】

本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力.

14.-20

【解析】

根据二项式定理的通项公式，再分情况考虑即可求解.

【详解】

解：(1-3x)(1+4=(1+4-3x(1+x)s展开式中『项的系数：

5

二项式(1+X)由通项公式Tr+l=C；(x)~

当r=3时，/项的系数是仅=10,

当尸=2时，/项的系数是仁=10,

故V的系数为。；-3仁=-20；

故答案为：-20

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，注意分情况考虑，属于基础题.

15.{-6}

【解析】

根据题意建立平面直角坐标系，设三角形各点的坐标,依题意求出祈，而，丽，的表达式，再进行数量积的运算,最后求

和即可得出结果.

【详解】

解：以BC的中点。为坐标原点,8c所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为,轴建立平面直角坐标系，如图所示，

则A(O,⑹,3(—书，

则丽品=(2,0),5=(-1,右)，

设N(/,0),Af=AAC,

OT=OA+Wf=OA+AAC=(0,6)+4(1,-百)=(2,而1-2)),

即点T的坐标为(A,73(1-2)),

则行=卜7,6(1_/1))府=---A,—-73(1-2)\W=t+,

133J(33,

所以丽•标+方币7+建•丽

=—lx(A—/)+(―\/3)x^3(1+2xf———A1+0X—^^(1—A)+

故答案为：{-6}

本题考查平面向量的坐标表示和线性运算，以及平面向量基本定理和数量积的运算，是中档题.

16.

3

【解析】

采用数形结合，计算归唬［以及然后根据椭圆的定义可得|福并使用余弦定理以及e=（,可得结果.

【详解】

如图

由NE/谯=6（?,所以|耳目=——=2c

11cos60

由证=2麻二所以|丽卜;|在卜c

又卜用+,乙卜2。，贝！瑞|=2a-c

|阿2+|钛「一狗之

所以cosNA百鸟=

在i、i/+（2c）“-（2a-c）2

所以cos120=———一-----L

2c・2c

化简可得：7c2=（2a—c）2n2a—c=V7c

则£=小=①

aV7+13

故答案为：立二1

3

【点睛】

本题考查椭圆的定义以及余弦定理的使用，关键在于根据角度求出线段的长度，考查分析能力以及计算能力，属中档

题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.⑴介营⑵与

【解析】

",再根据A-〃得到6+地/“解之即得a

(1)先求出圆心C(a,O)到直线/的距离为d=

的值，再根据c=l求出b的值得到椭圆的方程.(2)先求出再求得APQC的面积

5十鸟.(凡一力)哼.

【详解】

⑴因为直线/过点6(1,0),且斜率％=百.

所以直线/的方程为y=G(x—l),即百x—y—JJ=0,

|>/3a--s/sl

所以圆心。(a,0)到直线I的距离为d=I,

，⑼+1

又因为A3=2灰，圆。的半径为明

由”/ABY,22Hn3（a—I）?2

所以---+小=。~,即6H——---—=a29

I2）4

解之得，。=3或a=—9（舍去）.

所以〃2=42—，=g,

22

所以所示椭圆E的方程为上+上=1.

98

cI

(2)由(1)得，椭圆的右准线方程为=9,离心率e=—=彳，

a3

10

则点p到右准线的距离为“=£殳=?=io,

e1

3

元2y28

所以9f=10,即与=1,把/=-1代入椭圆方程]+}=i得，力=±三，

因为直线/的斜率女＞(),

所以孙=-3，

因为直线/经过鸟(1,0)和P(-l,-1

4

所以直线/的方程为＞=—

y=*T),

联立方程组＜得3/一41一7=0,

EL

7

解得％=—1或x=小

3

所以。

所以APOC的面积S=gc/V(yQ_yp)=gx2x[，+|)=当

【点睛】

本题主要考查直线和圆、椭圆的位置关系，考查椭圆的方程的求法，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知

识的掌握水平和分析推理计算能力.

18.(1)整数上的最大值为3；(2)见解析.

【解析】

.,,Kr/\k+i(x+1)+(尤+l)ln(x+1)辽3―s/\(x+1)+(x+l)ln(x+1).

(1)将不等式/(x)>n■变形为——''J\——L,构造函数/?(x)=^——)\\——L,利用

导数研究函数y=h(x)的单调性并确定其最值，从而得到正整数k的最大值;

=2-3^-^＞利用不等式的基本性质可证得结论•

(2)根据(1)的结论得到ln[l+〃(〃+1)]>2-----

【详解】

,、,/\l+ln(x+lL)k3(x+l)+(x+l)ln(x+l)

(1)由f(x)=----——>——得"——二————L

xx+iX9

令心)=(x+l)+(x+l)m(x+l),")「—1—?x+l),

XX

令g(x)=x-l-ln(x+l),g<x)=l--^j>0对Vx>0恒成立，

所以，函数y=g(x)在((),+。)上单调递增，

•.•g(0)=—l<0,g(l)<0,g(2)<0,g⑶>0,

故存在/<2,3)使得g(x())=0，即/一l=ln(/+l),

从而当x>x0时，有g(x)>g(x(J=0,/z'(x)>0,所以，函数y=/z(x)在(如+。。)上单调递增;

当x<x°时，有g(x)<g(x0)=0,〃'(x)<(),所以，函数y=/z(x)在(0,%)上单调递减.

所以，〃(5产小)=a+l)+(Xo+l)ln(Xo+l)=(x°+l)+(x°+l)(x°T)=x°+ie(3,4),

X。xo

:.kQ3,因此，整数攵的最大值为3；

(2)由(1)知匕11111tQ>工恒成立，.•.ln(x+l)>仝-1=2--—>2--,

Xx+1x+1x+1X

3

令X=〃(〃+1)(力£?/*)则1口[1+拉(九+1)]>2-2-3|-

〃+1；

ln(l+2x3)〉2—3(g—g),…，ln[l

?.ln(l+lx2)>2-3++1)]>2-31-^

\nn+\

上述等式全部相力口得In(1+1x2)+In(1+2x3)+...+ln[l+/(〃+1)]>2〃-3(1——2〃-3,

所以，In[(l+lx2)(l+2x3)……(1+«(/?+1))]>2«-3,

因此，(1+1X2>(1+2X3)…口+“x(“+l)]>e2"3

【点睛】

本题考查导数在函数单调性、最值中的应用，以及放缩法证明不等式的技巧，属于难题.

8

19.(1)/9+(y-137=1(x^0)；(2)-

【解析】

(1)将两直线化为普通方程，消去参数人，即可求出曲线C的普通方程；

43

(2)设。点的直角坐标系坐标为(/?©05。,。5皿£)(夕>0),求出5m。=1,35。=1,

代入曲线C可求解.

【详解】

X

(1)直线4的普通方程为y=k(-x)，直线I,的普通方程为y-2=—

k

联立直线IJ方程消去参数A,得曲线C的普通方程为y(y-2)=-x2

整理得x2+(y_l)2=i(xw0).

(2)设。点的直角坐标系坐标为(pcosa,osina)(。>0),

4(7i\43

由tana=§［0<Q<5)可得$皿4=•^305。=己

8

代入曲线C的方程可得夕29一］夕=0,

Q

解得p=M，2=0(舍),

Q

所以点。的极径为

【点睛】

本题主要考查了直线的参数方程化为普通方程，普通方程化为极坐标方程，极径的求法，属于中档题.

20.(1)/=-3父(2)sin。=走，/的最小值为也.(3)0=］时，面积S取最小值为86

sm6cos-外124)326

【解析】

(1)NENM=NMNB=0,NEMA=2。,利用三角函数定义分别表示NB,MB,ME,AM,且朋"MB=6,即可得到

3

BN=——-——<12

sincos

3

/关于。的解析式；则,BM=——<6，即可得到。的范围;

cos~0

0<^<-

[2

(2)由⑴，若求/的最小值即求sinGcos%的最大值,即可求sin^ecose的最大值，设为/2(e)=sin2ecos4。,令

x=cos2。，则/⑹)=(I一X)f,即可设g(x)=(1_x»2,利用导函数判断函数的单调性，即可求得g(X)的最大值，进而

求解;

(3)由题,S=L/2sin6cos8=2x——/-二/±46«工]，则S2=—x—」~「，设

22sin^cos3^U24广4sin2^cos6^

(jr-rr\

-<e<-\,〃⑺=(IT)/,利用导函数求得h(t)的最大值，即可求得s的最小值.

【详解】

解：(1)NENM=NMNB=e,NEMA=2®,

故NB=Icos9,MB=ME=Isin6,AM=MEcos23=1sin9cos20.

因为AM+A/B=6,所以/sin6cos2e+/sine=6,,

sin6(cos20+1)sin6cos?0

3

BN=------------<12

sincos

37TTT

又BNW12,5A/46,则——<6，所以一<。<一,

cos?。124

°Y

所以/=----—<0<-]

sin^cos2^U24)

(2)记/(^)=sin6?cos20,-<O

则/(6)=sin2。cos*,

设》=8$26,xw[g,]，则于2(9)=(1-%)%2,

记g(x)=(1-%)%2,则1g'(x)=2x-3x2,

令g'(x)=o,则X=|e[g,2Tl,

当Iep|时，g«x)>°；当xe热三"时,g")<0,

所以g(x)在i，|上单调递增，在，，句y上单调递减，

故当X=cos2e=2时/取最小值，此时sin。=也，/的最小值为述.

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(3)AEMV的面积S=工厂sin6>cos6>=|-x--(二

22sin6»cos36>l124

所以S2卷X]，设f=cos2《专4”7],则！w2+6

sin28cos6024

设)=(1—，则"⑺=3/一4/,令/«)=o/=1€]g,弓

所以当re1,|时,//'«)>()；当re(，柠亘时,〃'(/)<0,

-1Q-|o24-/3

所以〃«)在5，；上单调递增，在上单调递减,

Qjr

故当/=2=COS2。，即。」时，面积S取最小值为873

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