2021新高考地区压轴卷数学含解析

KS5U2021新高考地区高考压轴卷数学

第i卷（选择题）

一.选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项

是符号题目耍求的

1.设集合A={尤ly=ln(l-尤)},集合B｛心=巧,贝i=（

)

A.[0,1]B.[0,1)C.(-00,1)D.0

2.若复数z满足：z・（l+i）=2,则|z|=（

A.1B.V2C.D.2

2%

C

3.已知△ABC的角入、8、C所对的边为a、b、c,c=不,b=\3,则()

A.非B.2C.y/3D.3

4.已知耳，,2是夹角为60。的两个单位向量，若万=q+6，5=—44+24,则M与B的

夹角为（）.

A.30°B.60°C.120°D.150°

X2（2V+2-（）

/（幻

5.函数2+cosx的部分图象大致为（

A.

C.

6,《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数

学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌

诀形式呈现的.“九儿问甲歌’就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三

岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为

)

A.8岁B.11岁C.20岁D.35岁

7.已知二面角。一/一尸为60。,点Aea,点Be/?,异面直线与/所成的角为60。，AB=4.

若A到夕的距离为6,则8到«的距离为（）

A.2右B.y/3C.V6D.3

22

C-

8.已知双曲线/环的右焦点为尸，过点F的直线交双曲线的右支于4、8两点，且

而'=3而，点8关于坐标原点的对称点为歹，且8'户2=8'-8久，则双曲线的离心率为

（）

A.石B.见C.叵D.正

222

二.选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符号题目要求.全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分.

9.下列说法正确的是（）

A.在△ZBC中，4/:Z?:c=sinA:sinB:sinC

B.在△A8C中，若sin2A=sin28,则A=8

C.在△48C中，若sinA>sin8,则A>8；若A>8，则sinA>sin8

D.在△ABC中，，—=—*—

sinAsin8+sinC

10.下列说法正确的是（）

A.对于独立性检验，随机变量长2的观测值k值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小

B.在回归分析中，相关指数R?越大，说明回归模型拟合的效果越好

C.随机变量4~3（〃,〃），若E（x）=30,D（x）=20,则〃=45

D.以>=。/拟合一组数据时，经z=lny代换后的线性回归方程为之=O.3X+4,则c=e。

%=0.3

f（x]=a+——

11.已知函数2、一1,则（）

A.对于任意实数a,*x）在（F,0）上均单调递减

B.存在实数a,使函数/（x）为奇函数

C.对任意实数a,函数f（x）在（0,+<»）上函数值均大于0

D.存在实数a,使得关于x的不等式〃力>1的解集为（0,2）

12.如图，在长方体ABC。-481Goi中，期=48=4,BC=2,M,N分别为棱GOi,

CG的中点，则下列说法正确的是（）

A.A、M,N、8四点共面B.平面ADlM,平面CORC

C.直线8N与gM所成角的为60°D.BN//平面ADM

第II卷（非选择题）

三.填空题:本大题共4道小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，

设所选三人中男生人数为彳，则数学期望£（彳）=.

14.已知函数“X）.%+2f-3x,则函数〃x）在x=1处的切线方程为.

15.己知14JI'5l打13,则

（%]

cosa+—=

I4J.

16.已知抛物线。：厂=2刀（">0）的焦点为封，斜率为1的直线/过点尸，且与抛物线C交

于48两点，点M在抛物线C上，且点M在直线/的下方，若面积的最大值是4夜，

则抛物线C的方程是；此时，点A4的坐标为.

三、解答题（本题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知△A8C的内角4B、C的对边分别为a、b、c,在

①(a+))(sinA—sin6)=(c—sinC；

②。sin--------=asinB；

③cos2A-3cos(B+C)=l；这三个条件中任选一个完成下列内容：

(1)求4的大小；

(2)若△ABC的面积S=56，b=5,求sinBsinC值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.在各项均不相等的等差数列｛a.｝中，q=1,且％,%,生成等比数列，数列｛d｝的前"

项和、〃一乙乙.

(1)求数列｛an｝、｛仇｝的通项公式;

(2)设C,=2%+log2b„,求数列｛金｝的前n项和T„.

19.某省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩由3门统一高考科目成绩

和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高

考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化

学、生物、政治、历史、地理6科中选择3门作为选考科目，语文、数学、外语三科各占150

分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排

名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考

生的原始成绩从高到低分为A,B+,B,C+,C,D+,D,E共8个等级.参照正态

分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.等

级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，

分别转换到91〜100,81〜90,71〜80,61〜70,51〜60,41〜50,31〜40,21〜30八个

分数区间，得到考生的等级成绩.举例说明：某同学化学学科原始分为65分，该学科C+等

级的原始分分布区间为58〜69,则该同学化学学科的原始成绩属C+等级.而C+等级的转

换分区间为61〜70,那么该同学化学学科的转换分计算方法为：设该同学化学学科的转换等

69—6570—x

级分为％,65—58x-61,求得尤=66.73.四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.为

给高一学生合理选科提供依据，全省对六个选考科目进行测试，某校高一年级2000人，根据

该校高一学生的物理原始成绩制成频率分布直方图(见右图).由频率分布直方图，可以认为

该校高一学生的物理原始成绩X服从正态分布”（M，。）（°>°）,用这2000名学生的平均

一«.22

物理成绩X作为〃的估计值，用这2000名学生的物理成绩的方差S-作为b的估计值.

（1）若张明同学在这次考试中的物理原始分为86分，等级为3+，其所在原始分分布区间

为82〜93,求张明转换后的物理成绩（精确到1）；按高考改革方案，若从全省考生中随机抽

取100人，记V表示这100人中等级成绩在区间［81,1（）（）］内的人数，求Y最有可能的取值（概

率最大）;

（2）①求元，?（同一组中的数据用该组区间的中点作代表）;

②由①中的数据，记该校高一学生的物理原始分高于84分的人数为Z,求E（Z）.

附：若X~N(〃,cr2)(cr>0),则P(〃-cr<X<〃+b)=0.6827,

P(/j—2cr<X</J+2cr)=0.9545,P(R—3cy<X<//+3(T)=0.9973.

20.如图，四棱锥S-MCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD,SD=1.

（1）求平面SBC与平面ABC。所成二面角的大小;

（2）设棱S4的中点为M,求异面直线DM与SB所成角的大小.

C:^+^=l[a>b>Q)—人与，与

21.已知椭圆才h的离心率为3,且经过点V).

(1)求椭圆C的方程；

(2)若不过坐标原点的直线/与椭圆C相交于M、N两点，且满足丽+丽=丸砺，求

^MON面积最大时直线/的方程.

A1,

/(x)=—x+2alnx-(a+2)x

22.已知函数2.

(1)当。=1时，求函数"X)的单调区间；

(2)是否存在实数a,使函数g(x)=/(x)+oc+§x3在(0,+8)上单调递增？若存在，求出

a的取值范围；若不存在，请说明理由.

KS5U2021新高考地区高考压轴卷数学试卷答案

1.【KS5U答案】B

[KS5U解析】

函数y=ln(l-x)的定义域是l-x>O=x<l,即A={x|x<l},

,=》2的值域是[0,+0)),即8={"丁20},

则Ac8=[0,l).

故选：B

2.【KS5U答案】B

[KS5U解析】

复数z满足z-(l+i)=2,

则z=弓；,

由复数除法运算化简可得

2_2(1-/)_.

z===

T77(i+z)(i-/)1

由复数模的定义及运算可得忖==近,

故选：B.

【点睛】本题考查了复数模的定义，复数的除法运算，属于基础题.

3.【KS5U答案】B

【KS5U解析】

2»22

由余弦定理可得，cosC=~+,

2ab

即」，+J7,整理可得/+Q—6=o，

22a

解可得a=2.

故选：B.

【点睛】本题考查余弦定理的简单应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算

求解能力，属于基础试题.

4.【KS5U答案】C

[KS5U解析】

因为|不『=(q+02)?=e；+2q・02+e；=3,所以|万|=石，同理

b|:=(2e,-4^):=4e：-16^-e,+16ef=12'贝力画=28，

又ab=(4+e：乂7%+20)=70；+24--44C1+2纭=—3，

八a-b-31

所以c°s°=丽=^7T=-5'乂8仅0°，180。]，所以"120?.

cab

考点：|〃『=々2,两向量夹角的余弦公式：cosO=R^,向量数量积的运算律.

\a\\b\

5.【KS5U答案】B

[KS5U解析】

函数定义域为R.

因为/(-%)=L'+21)="GM)=f(x)，

2+cos(-x)2+cosx

所以函数/(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除C,。选项.

当x#0时,％2>0,2*+2-*>0,2+85%>0,所以)(』)>0,排除选项人

故选:B.

【点睛】本题考查函数图象的辨识，可以从奇偶性，单调性，函数值符号，特殊值等入手,通过排

除法求解，难度较易.

6.【KS5U答案】B

[KS5U解析】

由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为3.记最小的儿子年龄为四，则

9x8

S9=9a,+—x3=207,解得4=11.

故选B.

【点睛】本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解.

7.【KS5U答案】A

[KS5U解析】

如图所示，

过A点作AC，，，垂足C,过点C作CE，/,垂足为点£,连接CE.

则AE_L/,...NAEC=60°.

又AC=5：.AE=2.

过A点在a内作/的平行线，过8点作BFJJ,垂足为点

过尸点在a内作AE的平行线与/的平行线交于点O，

则四边形4DEE为矩形，.♦.£>尸=2.且NB/D为异面直线A3与/所成的角,

/.ZS4£>=60°,ADA.DB.

•.•AB=4，.♦.80=25

ZBF£>=60°，

在AB/D中，设BF=x,

由余弦定理可得：（26）2=22+x2-2xx2xcos60°,

可得：f一2x—8=0,解得x=4.

/.BD2+DF2=BF-，

：.BD1.DF,:.BDLa.

.•.5到a的距离为26.

故选：A-

【点睛】本题考查了空间位置关系、线面、面面垂直的判定和性质定理、矩形的性质、直角

三角形的性质、空间角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

8.【KS5U答案】C

[KS5U解析】

设双曲线C的左焦点为尸'，连接尸"、F'B、AF',则四边形B尸？尸'为平行四边形,

^\BF\=\B'F'\=m,则|A目=3根,

由双曲线的定义可得忸'月=忸9|=加+2a,=3加+24,

•.说2=赤.前；・次-加,西=江西_呵=航/=0，

所以，四边形BRB'广为矩形，

由勾股定理得=|AFf,即（4机y+（w+2a）2=（3m+2a）2,解得加=a,

:.\B'F'\=a,\B'F\=3a,由勾股定理得忸'+怛用2=尸斤，即]。片二汆九

双曲线C的离心率为e

故选：C.

【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查利用双曲线的定义解决双曲线的焦点三角形问

题，考查计算能力，属于中等题.

9.【KS5U答案】ACD

[KS5U解析】

对于A,由正弦定理一--=--———--=2R,

sinAsinBsinC

可得：:Z?:c=27?sinA:27?sinB:27?sinC=sinA:sinB:sinC,故A正确；

71

对于B,由sin2A=sin25,可得A=3，或2A+25=%,即A=B，或A+3=—,

2

：.a-b>或后+〃=。？，故B错误；

对于C,在AA8C中，由正弦定理可得sinA>sin3oa>〃oA>3,因此A>B是

sinA>sin3的充要条件，故C正确；

对于D,由正弦定理一--=―--=---=2R,

sinAsinBsinC

b+c2RsinB+2RsinC.-十也

可得右边=------------=------------------=2R=左边，故D正确.

sin8+sinCsinB+sinC

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转

化思想，属于基础题.

10.【KS5U答案】BD

【KS5U解析】

选项A：对于独立性检验，随机变量R2的观测值氏值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概

率越大，故选项A错误；

选项B：在回归分析中，相关指数R2越大，残差平方和越小，说明回归模型拟合的效果越好,

故选项B正确；

E(x)=—30

选项C：随机变量“8(〃,〃)，若E(x)=3O,D(X)=2O,则b⑴=[(]」；=20,

解得：n=90,故选项C错误；

选项D：因y=cekx»所以111丁=111(。*)=111。+111*=山。+丘，令z=Iny,

则1=lnc+H，又1=0.3x+4,所以lnc=4,%=0.3,则c=e34=0.3,故选项D

正确.

故选：BD.

【点睛】本题考查独立性检验、回归分析、二项分布、线性回归方程求参数，是中档题.

11.【KS5U答案】ABD

【KS5U解析】

解：对于A，当xe(-8,O),广。)=-<0,所以，

对于任意实数。，/(x)在(-8,0)上均单调递减，A正确；

对于3,函数定义域为(f,0)0(0,+8),定义域关于原点对称，由/(-x)=—/(x)可得,

〃+无，=一(〃+据)，变形可得，2a=1,解得a=(,

即存在实数a,使函数/(x)为奇函数，B正确；

对于C,取。=-10,f(1)=-9<0,C不正确；

2

对于D，当。=一时，不等式/*)>1的解集为(0,2),。正确.

3

故选：ABD.

【点睛】本题主要考查通过函数的解析式研究函数的性质，以及导数的应用，属于中档题.

12.【KS5U答案】BC

[KS5U解析】

对于A,由图显然AM、8N是异面直线，故A、M,N、8四点不共面，故A错误；

对于B,由题意AD_L平面C£>AG,故平面ADM_L平面CQAG，故B正确；

对于C,取8的中点。，连接B。、ON,可知三角形BON为等边三角形，故C正确;

对于D,3N//平面AA。。，显然BN与平面AZW不平行，故D错误;

故选：BC

【点睛】本题主要考查了线面、面面之间的位置关系，属于基础题.

13.【KS5U答案】2

【KS5U解析】

J的可能值为1,2,3,

2

则p(4=l)=岩c'c=11P(D=簧=|；〃偌系]_

5

故分布列为:

4123

3]_

P

555

i3i

故£@=？1+/2+/3=2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.

14.【KS5U答案】2x-y-3=0

[KS5U解析】

由已知得/'(x)=g+4x—3且/'0)=2,/(1)=-1,

则切线方程为y_(_l)=2(x-l),即2x_y_3=0.

故答案：2x-y-3=0

【点睛】本题考查在曲线上某点处的切线方程的求法，属于简单题.

56

15.【KS5U答案】65

..034\

.Of,/?eII,

+2万

cos(«+y?)=^l-sin2(«+/7)4

5

c7T12

又夕丁si

V-7T7

•*-cos(/?-?)=-Jl-sinXS-?)=一1

兀兀冗兀

cos(a+—)=cos[(=+/?)—(力---)]=cos(a+#)cos(〃-----)+sin(a+夕)sin(尸----)

4444

=九(-』)+(-3)、乜=56

51351365

56

答案:

65

16.【KS5U答案】f=4),.(2,1)

【KS5U解析】设A("J,3(9,%)，由题意可得直线/的方程为y=x+g

联立，2,整理得J?-2px-〃~=0,所以西+工2=2〃，xtx2=-p~,

x2=2py

贝“内-乙|=5(内-/1-4中2=2\flp，故［A,=J.+1N-%2|=4/7,

设”(%,%),由题意可知当直线/与过点A/,且与抛物线C相切的直线平行时，△M45的

面积取最大值.

因为y=所以y'=，x,所以％=，/=1.所以工=〃，则

此时，点用到直线/的距离1=%=县，故"Lx4px'红=40，解得〃=2,

，2222

故抛物线C的方程为/=4y,此时点M的坐标为(2,1).

故答案为：f=4y,(2,1)

【点睛】本题考查的是抛物线中弦长的算法和抛物线的切线的求法，考查了学生的计算能力,

属于中档题.

R5

17.【KS5U答案［(1)无论选哪种，A=-(2)sinBsinC=—

37

【KS5U解析】

选择①：(1)由正弦定理得

(«+Z?)(«-Z?)=(C-/?)C,片_力2=c2_h(,,

A—,171

由余弦定理得cosA=-,,.,()<4<万，，A=一.

23

(2)由面积公式S=，8csinA=56,c=4.

2

由余弦定理得/=62+。2一处ccosA得/=21，

由正弦定理得

—--2R,(2R,=28,sinB=—,sinC--,sinBsinC=-^-7--.

sinA')2R2R4/?27

【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，

意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

2n+l2

7_7HIH

18.【KS5U答案】(1)=2/1-1,2=2"；(2)T〃=§

【KS5U解析】

(1)设数列｛〃〃｝公差为d,则%=4+d,%=4+4d,・・•《，％，为成等比数列，

2

a2=a1a5,即(q+=4(%+4d),

整理得/=2。0,解得。=0(舍去)或d=2。|=2,%=4+(〃—l)d=2〃—1.

当胃=1时，4=2,

当“22时，bn=Sn-5„_]=2"|—2—(2"—2)=2'm一2"=2x2"-2"=2"-

验：当〃=1时，4=2满足上式，.•.数列｛瓦｝的通项公式为2=2".

2Z,

(2)由(1)得，%=2"”+log2bn=2-'+n,

7；=(2+1)+Q3+2)+(2、+3)+…+(22〃T+〃)

=(2+23+2$+…+221)+0+2+3+…+))=2。一')।"(l+〃)

1-42

32

【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，也考查了数列的分组求和

的方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题.

19.【KS5U答案［（1）丫最有可能的取值是10.（2）①60,144②45.5

【KS5U解析】

93-8690-x

（1）设张明转换后的物理等级分为x,由=——--求得XX84.27.

86-82X—81

所以，张明转换后的物理成绩为84分.

由题意，r~B(ioo,o.i).

\P(Y=Z)..P(y=Z-1),,f*0/0.9*..C13o.尸。©00-"?

由《得V

p(y=k)..p(y="i)[CU(M*O.93..C记o.严o©006。.

解得9.1（女＜10.1.又AeN*，所以攵=10.

所以，y最有可能的取值是io.

(2)①解：

元=30x0.02+40x0.08+50x0.22+60x0.36+7()x0.22+8()x0.08+90x0.02=6().

s1=(30-60)2x0.02+(40-60)2x0.08+(50-60)2x0.22+(60-60)2x0.36

+(70-60)2x0.22+(80-60)2x0.08+(90-60)2x0.02=144.

②由①中的数据，〃=60,b=12,所以X~N(60,122).

所以4+2。=60+2x12=84.

所以「(X〉84)=2o~<X,,"+2b)=1二0.9545=0Q2275

22

由题意，Z~8(2000,0.02275).

所以E(Z)=2000x0.02275=45.5.

【点睛】本题考查频率分布直方图，考查由频率分布直方图计算均值的方差，考查二项分布

及其期望，考查正态分布，对学生数据处理能力有一定的要求，本题属于中档题.

20.【KS5U答案】

(1)45°；(2)90°.

【KS5U解析】

(1)由题意可知底面ABC。是边长为1的正方形，

则BC_LCD,

又因为SD垂直于底面ABC。，BCu平面A3CD,

则SO_L6C,

由于SCcCD=C,

则平面S0C,

而SCu平面S0C，

所以8C_LSC,

则ZSCD即为平面SBC与平面4BC0所成二面角的平面角,

由SO=OC=1可知，

在MASCZ)中,NSC。=45°；

(2)由SD=AD=1,且SOLA。，M为棱SA的中点，

所以由等腰三角形性质可知DWLS4,

又因为胡_LAP，且S0_L84,

所以氏4,平面SD4,

而O0u平面SZM,

所以区而。MLS4且84cS4=A,

所以ZM7_L平面5A5,

而SBu平面SAB，

所以。M_LSB,

则异面直线DM与SB垂直，所以异面直线与SB的夹角为90.

【点睛】本题考查了平面与平面形成的二面角求法，异面直线的夹角求法，由线面垂直判断

线线垂直的方法，直线与平面垂直的判定，属于基础题.

21.【KS5U答案】(1)—+/=1；(2)y=--x±—

333

[KS5U解析】

c_瓜

a3

33[tz2=3

(1)由题意得〈7亏+力=1,解得〈2，

4a\b'\b~=1

a2=b2+c2

v.2

所以桶圆。的方程为二+y2=i；

3

(2)由题意可知，直线MN的斜率显然存在，

设直线MN的方程为y^kx+m(mw0),〃(％,y),N(x2,y2),

2

X2

由＜3+)得(3%2+1)%2+6k我+3m2-3=0,

y=kx+m

A=36H病-4（3左2+l）（3m2-3）=12（3）t2+l-m2）＞0@

6km

X1+九2

所以，'~3k2+12m

，所以y+y=&(%+/)+2加

3m2-323k2+1

3k2+]

6kmGq

Xi+x---z---=---A

23公+12

因为两'+丽=X砺，所以＜

2m73.

y+%To--=--