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椭圆的离心率问题德化三中：涂永吉标准方程图象范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长焦距a,b,c关系离心率关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称.长半轴长为a，短半轴长为b焦距为2c关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称.长半轴长为a，短半轴长为b焦距为2c关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称.长半轴长为a，短半轴长为b.焦距为2coxyoxy题型一、定义法求椭圆离心率例1.椭圆

的离心率为_______.分析：本题从椭圆的标准方程中可直接求出a、c，再利用离心率公式来求解。解：根据椭圆方程有，

所以

，

即

所以感悟:本题是直接求出a、c，再利用离心率公式来求解。yx例2.椭圆

的左焦点做x轴的垂线交椭圆于点P，为右焦点，若,则椭圆的离心率为_______.P解：由,有,而,即所以:

感悟:在焦点三角形中利用椭圆第一定义求解。即：题型二、构造齐次方程求椭圆离心率例3.椭圆

的左右顶点分别是A、B，左右焦点分别是、.若成等比数列，则椭圆的离心率为_______.yxAB解：由已知,,,,又因为成等比数列,所以有,即,所以,所以例4.已知A为y轴上一点,、是椭圆的两个焦点,

为等边三角形,且的中点B恰好在椭圆上,求椭圆的离心率.yxAB由已知,,,

点A的坐标为,因为B是

的中点,所以又点B在椭圆上,所以解：不妨设焦点在x轴，此时标准方程为：例4.已知A为y轴上一点,、是椭圆的两个焦点,

为等边三角形,且的中点B恰好在椭圆上,求椭圆的离心率.yxAB

,

所以

例4.已知A为y轴上一点,、是椭圆的两个焦点,

为等边三角形,且的中点B恰好在椭圆上,求椭圆的离心率.yxAB法二、连接,在中,由已知,,,

即：,解：不妨设焦点在x轴，此时标准方程为：题型三、构造不等式求椭圆离心率范围例5.椭圆

的两个焦点分别为、

,若椭圆上存在点P使得是钝角,则离心率的取值范围是_______.yx解：由椭圆的定义知在中,由余弦定理得：题型三、构造不等式求椭圆离心率范围例5.椭圆

的两个焦点分别为、

,若椭圆上存在点P使得是钝角,则离心率的取值范围是_______.yx当且仅当时,等号成立.即当点P在短轴端点处时,角达到最大值.题型三、构造不等式求椭圆离心率范围例5.椭圆

的两个焦点分别为、

,若椭圆上存在点P使得是钝角,则离心率的取值范围是_______.yx法二、解：如图所示,当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时,点对两个焦点的弦角逐渐增大,当且仅当点位于短轴端点P处时，角达到最大.由于椭圆上存在点使得是钝角,所以,即,所以,即,所以,即,所以,即,yx例6.已知、是椭圆的两个焦点,

P为椭圆上一点,

,求椭圆的离心

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