大学数学公式总结大全

导数公式：根本积分表：三角函数的有理式积分：一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式：·诱导公式：函数角Asincostgctg-α-sinαcosα-tgα-ctgα90°-αcosαsinαctgαtgα90°+αcosα-sinα-ctgα-tgα180°-αsinα-cosα-tgα-ctgα180°+α-sinα-cosαtgαctgα270°-α-cosα-sinαctgαtgα270°+α-cosαsinα-ctgα-tgα360°-α-sinαcosα-tgα-ctgα360°+αsinαcosαtgαctgα·和差角公式：·和差化积公式：·倍角公式：·半角公式：·正弦定理：·余弦定理：·反三角函数性质：高阶导数公式——莱布尼兹〔Leibniz〕公式：中值定理与导数应用：曲率：定积分的近似计算：定积分应用相关公式：空间解析几何和向量代数：多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用：方向导数与梯度：多元函数的极值及其求法：重积分及其应用：柱面坐标和球面坐标：曲线积分：曲面积分：高斯公式：斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：常数项级数：级数审敛法：绝对收敛与条件收敛：幂级数：函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：欧拉公式：三角级数：傅立叶级数：周期为的周期函数的傅立叶级数：微分方程的相关概念：阳光怡茗工作室一阶线性微分方程：全微分方程：二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)式的通解两个不相等实根两个相等实根一对共轭复根二阶常系数非齐次线性微分方程概率公式局部1．随机事件及其概率吸收律：反演律：2．概率的定义及其计算假设对任意两个事件A,B,有加法公式：对任意两个事件A,B,有3．条件概率乘法公式全概率公式Bayes公式4．随机变量及其分布分布函数计算5．离散型随机变量(1)0–1分布(2)二项分布假设P(A)=p*Possion定理有(3)Poisson分布6．连续型随机变量阳光怡茗工作室(1)均匀分布(2)指数分布(3)正态分布N(,2)*N(0,1)—标准正态分布7.多维随机变量及其分布二维随机变量(X,Y)的分布函数边缘分布函数与边缘密度函数8.连续型二维随机变量(1)区域G上的均匀分布，U(G)(2)二维正态分布9.二维随机变量的条件分布10.随机变量的数字特征数学期望阳光怡茗工作室随机变量函数的数学期望X的k阶原点矩X的k阶绝对原点矩X的k阶中心矩X的方差X,Y的k+l阶混合原点矩X,Y的k+l阶混合中心矩X,Y的二阶混合原点矩X,Y的二阶混合中心矩X,Y的协方差X,Y的相关系数X的方差D(X)=E((X-E(X))2)协方差相关系数线性代数局部梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。沟通：突出各局部内容间的联系。充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷的方法。阳光怡茗工作室大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。根本运算①②③④⑤或。。转置值不变逆值变，3阶矩阵有关乘法的根本运算线性性质，结合律不一定成立！，，与数的乘法的不同之处不一定成立！无交换律因式分解障碍是交换性一个矩阵的每个多项式可以因式分解，例如无消去律〔矩阵和矩阵相乘〕当时或由和由时〔无左消去律〕特别的设可逆，那么有消去律。左消去律：。右消去律：。如果列满秩，那么有左消去律，即①②可逆矩阵的性质i〕当可逆时，也可逆，且。也可逆，且。数，也可逆，。ii〕，是两个阶可逆矩阵也可逆，且。推论：设，是两个阶矩阵，那么命题：初等矩阵都可逆，且命题：准对角矩阵可逆每个都可逆，记伴随矩阵的根本性质：阳光怡茗工作室当可逆时，得，〔求逆矩阵的伴随矩阵法〕且得：伴随矩阵的其他性质①,②③,④⑤，⑥。时，关于矩阵右上肩记号：，，，*i)任何两个的次序可交换，如，等ii)，但不一定成立！线性表示有解有解有解，即可用A的列向量组表示，，那么。，那么存在矩阵，使得线性表示关系有传递性当，那么。等价关系：如果与互相可表示记作。线性相关阳光怡茗工作室，单个向量，相关，相关对应分量成比例相关①向量个数=维数，那么线性相〔无〕关，有非零解如果，那么一定相关的方程个数未知数个数②如果无关，那么它的每一个局部组都无关③如果无关，而相关，那么证明：设不全为0，使得那么其中，否那么不全为0，，与条件无关矛盾。于是。④当时，表示方式唯一无关〔表示方式不唯一相关〕⑤假设，并且，那么一定线性相关。证明：记，，那么存在矩阵，使得。有个方程，个未知数，，有非零解，。那么，即也是的非零解，从而线性相关。各性质的逆否形式①如果无关，那么。②如果有相关的局部组，那么它自己一定也相关。③如果无关，而，那么无关。⑤如果，无关，那么。推论：假设两个无关向量组与等价，那么。极大无关组一个线性无关局部组，假设等于秩，就一定是极大无关组①无关②另一种说法：取的一个极大无关组也是的极大无关组相关。证明：相关。③可用唯一表示④⑤矩阵的秩的简单性质行满秩：列满秩：阶矩阵满秩：满秩的行〔列〕向量组线性无关可逆只有零解，唯一解。矩阵在运算中秩的变化初等变换保持矩阵的秩①②时，③④⑤可逆时，弱化条件：如果列满秩，那么证：下面证与同解。是的解是的解可逆时，⑥假设，那么〔的列数，的行数〕⑦列满秩时行满秩时⑧解的性质1．的解的性质。阳光怡茗工作室如果是一组解，那么它们的任意线性组合一定也是解。2．①如果是的一组解，那么也是的解是的解特别的：当是的两个解时，是的解②如果是的解，那么维向量也是的解是的解。解的情况判别方程：，即有解无解唯一解无穷多解方程个数：①当时，，有解②当时，，不会是唯一解对于齐次线性方程组，只有零解〔即列满秩〕〔有非零解〕特征值特征向量是的特征值是的特征多项式的根。两种特殊情形：〔1〕是上〔下〕三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。〔2〕时：的特征值为特征值的性质命题：阶矩阵的特征值的重数命题：设的特征值为，那么①②命题：设是的特征向量，特征值为，即，那么①对于的每个多项式，②当可逆时，，命题：设的特征值为，那么①的特征值为②可逆时，的特征值为的特征值为③的特征值也是特征值的应用①求行列式②判别可逆性阳光怡茗工作室是的特征值不可逆可逆不是的特征值。当时，如果，那么可逆假设是的特征值，那么是的特征值。不是的特征值可逆。n阶矩阵的相似关系当时，，而时，。相似关系有i〕对称性：，那么ii〕有传递性：，，那么，，那么命题当时，和有许多相同的性质①②③，的特征多项式相同，从而特征值完全一致。与的特征向量的关系：是的属于的特征向量是的属于的特征向量。正定二次型与正定矩阵性质与判别可逆线性变换替换保持正定性变为，那么它们同时正定或同时不正定，那么，同时正定，同时不正定。例如。如果正定，那么对每个〔可逆，，！〕我们给出关于正定的以下性质正定存在实可逆矩阵，。的正惯性指数。的特征值全大于。的每个顺序主子式全大于。阳光怡茗工作室判断正定的三种方法：①顺序主子式法。②特征值法。③定义法。根本概念对称矩阵。反对称矩阵。简单阶梯形矩阵：台角位置的元素都为1，台角正上方的元素都为0。如果是一个阶矩阵，是阶梯形矩阵是上三角矩阵，反之不一定矩阵消元法：〔解的情况〕①写出增广矩阵，用初等行变换化为阶梯形矩阵。②用判别解的情况。i〕如果最下面的非零行为，那么无解，否那么有解。ii〕如果有解，记是的非零行数，那么时唯一解。时无穷多解。iii〕唯一解求解的方法〔初等变换法〕去掉的零行，得，它是矩阵，是阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。那么都不为。就是解。阳光怡茗工作室一个阶行列式的值：①是项的代数和②每一项为哪一项个元素的乘积，它们共有项其中是的一个全排列。③前面乘的应为的逆序数代数余子式为的余子式。定理：一个行列式的值等于它的某一行〔列〕，各元素与各自代数余子式乘积之和。一行〔列〕的元素乘上另一行〔列〕的相应元素代数余子式之和为。范德蒙行列式个乘法相关的位元素是的第行和的第列对应元素乘积之和。乘积矩阵的列向量与行向量〔1〕设矩阵，维列向量，那么矩阵乘法应用于方程组方程组的矩阵形式，方程组的向量形式〔2〕设，的第个列向量是的列向量组的线性组合，组合系数是的第个列向量的各分量。的第个行向量是的行向量组的线性组合，组合系数是的第个行向量的各分量。矩阵分解当矩阵的每个列向量都是的列向量的线性组合时，可把分解为与一个矩阵的乘积特别的在有关对角矩阵的乘法中的假设干问题对角矩阵从右侧乘一矩阵，即用对角线上的元素依次乘的各列向量对角矩阵从左侧乘一矩阵，即用对角线上的元素依次乘的各行向量于是，，两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘对角矩阵的次方幂只须把每个对角线上元素作次方幂对一个阶矩阵，规定为的对角线上元素之和称为的迹数。于是其他形式方阵的高次幂也有规律例如：初等矩阵及其在乘法中的作用阳光怡茗工作室〔1〕：交换的第两行或交换的第两列〔2〕：用数乘的第行或第列〔3〕：把的第行的倍加到第行上，或把的第列的倍加到第列上。初等矩阵从左〔右〕侧乘一个矩阵等同于对作一次相当的初等行〔列〕变换乘法的分块法那么一般法那么：在计算两个矩阵和的乘积时，可以先把和用纵横线分割成假设干小矩阵来进行，要求的纵向分割与的横向分割一致。两种常用的情况〔1〕都分成4块，其中的列数和的行数相等，的列数和的行数相关。〔2〕准对角矩阵矩阵方程与可逆矩阵两类根本的矩阵方程〔都需求是方阵，且〕〔I〕的解法：〔II〕的解法，先化为。。通过逆求解：，可逆矩阵及其逆矩阵定义：设是阶矩阵，如果存在阶矩阵，使得，且，那么称是可逆矩阵，称是的逆矩阵，证作。定理：阶矩阵可逆求的方程〔初等变换法〕伴随矩阵线性表示可以用线性表示，即可以表示为的线性组合，也就是存在使得记号：线性相关性线性相关：存在向量可用其它向量线性表示。线性无关：每个向量都不能用其它向量线性表示定义：如果存在不全为的，使得那么称线性相关，否那么称线性无关。即：线性相〔无〕关有〔无〕非零解有〔无〕非零解极大无关组和秩定义：的一个局部组称为它的一个极大无关组，如果满足：i〕线性无关。ii〕再扩大就相关。定义：规定的秩。如果每个元素都是零向量，那么规定其秩为。有相同线性关系的向量组定义：两个向量假设有相同个数的向量：，并且向量方程与同解，那么称它们有相同的线性关系。①对应的局部组有一致的相关性。的对应局部组，假设相关，有不全为的使得，即是的解，从而也是的解，那么有，也相关。②极大无关组相对应，从而秩相等。③有一致的内在线表示关系。设：，，那么即，即。与有相同的线性关系即与同解。反之，当与同解时，和的列向量组有相同的线性关系。矩阵的秩定理：矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩规定行〔列〕向量组的秩。的计算：用初等变换化为阶梯形矩阵，那么的非零行数即。命题：的非零子式阶数的最大值。阳光怡茗工作室方程组的表达形式1．2．是解3．有解根底解系和通解1．有非零解时的根底解系是的根底解系的条件：①每个都是的解②线性无关③的每个解③/通解①如果是的一个根底解系，那么的通解为，任意②如果是的一个解，是的根底解系，那么的通解为，任意特征向量与特征值定义：如果，并且与线性相关，那么称是的一个特征向量。此时，有数，使得，称为的特征值。设是数量矩阵，那么对每个维列向量，，于是，任何非零列向量都是的特征向量，特征值都是。①特征值有限特征向量无穷多假设，②每个特征向量有唯一特征值，而有许多特征向量有相同的特征值。③计算时先求特征值，后求特征向量。特征向量与特征值计算是的非零解命题：①是的特征值②是属于的特征向量是的非零解称多项式为的特征多项式。是的特征值是的特征多项式的根。的重数：作为的根的重数。阶矩阵的特征值有个：，可能其中有的不是实数，有的是多重的。计算步骤：①求出特征多项式。②求的根，得特征值。③对每个特征值，求的非零解，得属于的特征向量。n阶矩阵的相似关系设，是两个阶矩阵。如果存在阶可逆矩阵，使得，那么称与相似，记作。阳光怡茗工作室n阶矩阵的对角化根本定理可对角化有个线性无关的特征向量。设可逆矩阵，那么，判别法那么可对角化对于的每个特征值，的重数。计算：对每个特征值，求出的一个根底解系，把它们合在一起，得到个线性无关的特征向量，。令，那么，其中为的特征值。二次型〔实二次型〕二次型及其矩阵一个元二次型的一般形式为只有平方项的二次型称为标准二次型。形如：的元二次型称为标准二次型。对每个阶实矩阵，记，那么是一个二次型。称的秩为这个二次型的秩。标准二次型的矩阵是对角矩阵。标准二次型的矩阵是标准对角矩阵。可逆线性变量替换设有一个元二次型，引进新的一组变量，并把用它们表示。〔并要求矩阵是可逆矩阵〕代入，得到的一个二次型这样的操作称为对作了一次可逆线性变量替换。设，那么上面的变换式可写成那么于是的矩阵为实对称矩阵的合同两个阶实对称矩阵和，如果存在阶实可逆矩阵，值得。称与合同，记作。命题：二次型可用可逆线性变换替换化为二次型的标准化和标准化1．每个二次型都可以用可逆线性变量替换化为标准二次型和标准二次型。也就是每个实对称矩阵都会同于对角矩阵和标准对角矩阵。设是一个实对称矩阵，那么存在正交矩阵，使得是对角矩阵。，2．标准化和标准化的方法①正交变换法②配方法3．惯性定理与惯性指数定理：一个二次型用可逆线性变换替换化出的标准形的各个平方项的系数中，大于0的个数和小于0的个数是由原二次型所决定的，分别称为原二次型的正、负惯性指数。一个二次型化出的标准二次型在形式上是唯一的，也即相应的标准对角矩阵是唯一的。用矩阵的语言来说：一个实对称矩阵合同于唯一标准对角矩阵。定理：二次型的正、负惯性指数在可逆线性变量替换下不变；两个二次型可互相转化的充要条件是它们的正、负惯性指数相等。实对称矩阵的正〔负〕惯性指数就等于正〔负〕特征值的个数。正定二次型与正定矩阵定义：一个二次型称为正定二次型，如果当不全为0时，。例如，标准二次型正定，〔必要性“〞，取，，此时同样可证每个〕实对称矩阵正定即二次型正定，也就是：当时，。例如实对角矩阵正定，定义：设是一个阶矩阵，记是的西北角的阶小方阵，称为的第个顺序主子式〔或阶顺序主子式〕。附录一内积，正交矩阵，实对称矩阵的对角化一．向量的内积1．定义两个维实向量的内积是一个数，记作，规定为它们对应分量乘积之和。设，那么2．性质①对称性：②双线性性质：③正交性：，且3．长度与正交向量的长度单位向量：长度为的向量，，，假设，那么是单位向量，称为的单位化。两个向量如果内积为0：，称它们是正交的。如果维向量组两两正交，并且每个都是单位向量，那么称为单位正交向量组。例1．如果向量组两两正交，并且每个向量都不为零向量，那么它们线性无关。证：记，那么那么即。例2．假设是一个实的矩阵，那么。二．正交矩阵一个实阶矩阵如果满足，就称为正交矩阵。定理是正交矩阵的行向量组是单位正交向量组。的列向量组是单位正交向量组。例3．正交矩阵保持内积，即证：例4．〔04〕是3阶正交矩阵，并且，求的解。三．施密特正交化方法这是把一个线性无关的向量组改造为与之等价的单位正交向量组的方法。设线性无关①正交化：令〔设，当时，正交。〕②单位化：令，，那么是与等价的单位正交向量组。四．实对称矩阵的对角化设是一个实的对称矩阵，那么①的每个特征值都是实数。②对每个特征值，重数。即可以对角化。③属于不同特征值的特征向量互相正交。于是：存在正交矩阵，使得是对角矩阵。对每个特征值，找的一个单位正交根底的解，合在一起构造正交矩阵。设是阶的有个特征值〔二重〕，〔三重〕，〔一重〕找的个单位正交特征向量。找的个单位正交特征向量。找的一个单位特征向量。例5．〔04〕是阶实对称矩阵，，是它的一个二重特征值，，和都是属于的特征向量。〔1〕求的另一个特征值。〔2〕求。解：〔1〕另一个特征值为。〔2〕设是属于的特征向量，那么此方程组，，，根底解系包含一个解，任何两个解都相关。于是，每个非零解都是属于的特征向量。是一个解。附录二向量空间1．维向量空间及其子空间记为由全部维实向量构成的集合，这是一个规定了加法和数乘这两种线性运算的集合，我们把它称为维向量