高中数学2-2复数总结(概念+例题)

一知识结构图定义定义代数形式四则运算几何意义数系的扩充复数的概念复数的运算复数二主要知识点1、基本概念⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即.⑵复数及其相关概念：复数—>形如a+bi的数（其中）；实数—>当b=0时的复数a+bi，即a；虚数—>当时的复数a+bi；纯虚数—>当a=0且时的复数a+bi，即bi.复数a+bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.⑶两个复数相等的定义：.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.*若，则是的必要不充分条件.（当，时，上式成立）复数与坐标、方程⑴复平面内的两点间距离公式：.其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离.由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：.⑵曲线方程的复数形式：①为圆心，r为半径的圆的方程.②表示线段的垂直平分线的方程.③为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若，此方程表示线段）.④表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若，此方程表示两条射线）.3.共轭复数的性质：；；，（a+bi）；；；；（）；4、复数的四则运算若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；（2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i；（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i；（4）除法：；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。（6）复数的乘方①复数的乘方：②对任何，及有③5.常用的结论：（1）；（2）若是1的立方虚数根，即，则.6、复数是实数及纯虚数的充要条件：①；②若，是纯虚数.7、复数的三角表示：⑴复数的三角形式：.⑵复数的代数形式与三角形式的互化：，，1.(2010·广州模拟)若复数eq\f(a＋3i,1＋2i)(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为(A)A．－6B．13C.eq\f(3,2)D.eq\r(13)2．设a是实数，且eq\f(a,1＋i)＋eq\f(1＋i,2)是实数，则a等于(B)A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．23．若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为___－20_____．4.已知eq\f(\x\to(z),1＋i)＝2＋i，则复数z＝(B)A．－1＋3iB．1－3iC．3＋iD．3－i5．已知eq\f(m,1＋i)＝1－ni，其中m、n是实数，i是虚数单位，则m＋ni＝()A．1＋2iB．1－2iC．2＋iD．2－i6．如果实数b与纯虚数z满足关系式(2－i)z＝4－bi(其中i为虚数单位)，那么b等于(B)A．8B．－8C7.复数eq\f(3＋2i,2－3i)－eq\f(3－2i,2＋3i)＝(D)A．0B．28．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则eq\f(2,z)＋z2＝(D)A．－1－iB．－1＋iC．1－iD．1＋i9．(2009·北京朝阳4月)复数z＝eq\f(2－i,1＋i)(i是虚数单位)在复平面内对应的点位于 (D)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限10.已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是(C)A．(1,5)B．(1,3)C．(1，eq\r(5))D．(1，eq\r(3))11.已知z1，z2为复数，(3＋i)z1为实数，z2＝eq\f(z1,2＋i)，且|z2|＝