高考数学B版真题及模拟：指数函数与对数函数

指数函数与对数函数A组

自主命题·北京卷题组1.(2017北京,8,5分)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通

物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与

最接近的是(参考数据:lg3≈0.48)

()A.1033

B.1053

C.1073

D.1093

答案

D设

=

=t(t>0),∴3361=t·1080,∴361lg3=lgt+80,∴361×0.48=lgt+80,∴lgt=173.28-80=93.28,∴t=1093.28.故选D.2.(2011北京文,3,5分)如果lo

x<lo

y<0,那么

()A.y<x<1

B.x<y<1

C.1<x<y

D.1<y<x答案

D

lo

x<lo

y<lo

1,∵y=lo

x是(0,+∞)上的减函数,∴x>y>1,故选D.3.(2015北京文,10,5分)2-3,

,log25三个数中最大的数是

.答案

log25解析∵2-3=

<1,1<

<2,log25>2,∴这三个数中最大的数为log25.4.(2012北京文,12,5分)已知函数f(x)=lgx.若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)=

.答案2解析∵f(x)=lgx,f(ab)=1,∴lg(ab)=1,则f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2=2lga+2lgb=2lg(ab)=2.评析本题主要考查对数函数的运算,考查学生的运算求解能力.B组

统一命题、省(区、市)卷题组考点一指数与指数函数1.(2016课标全国Ⅲ,6,5分)已知a=

,b=

,c=2

,则

()A.b<a<c

B.a<b<cC.b<c<a

D.c<a<b答案

A因为a=

=

,c=2

=

,函数y=

在(0,+∞)上单调递增,所以

<

,即a<c,又因为函数y=4x在R上单调递增,所以

<

,即b<a,所以b<a<c,故选A.评析本题主要考查指数式的大小比较,属中档题.2.(2015江苏,7,5分)不等式

<4的解集为

.答案{x|-1<x<2}解析不等式

<4可转化为

<22,利用指数函数y=2x的性质可得,x2-x<2,解得-1<x<2,故所求解集为{x|-1<x<2}.3.(2015山东,14,5分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=

.答案-

解析①当a>1时,f(x)在[-1,0]上单调递增,则

无解.②当0<a<1时,f(x)在[-1,0]上单调递减,则

解得

∴a+b=-

.评析本题主要考查指数函数的性质及分类讨论的思想.1.(2018天津,5,5分)已知a=log2e,b=ln2,c=lo

,则a,b,c的大小关系为

()A.a>b>c

B.b>a>cC.c>b>a

D.c>a>b考点二对数与对数函数答案

D本题主要考查对数的大小比较.由已知得c=log23,∵log23>log2e>1,b=ln2<1,∴c>a>b,故选D.方法总结比较对数的大小①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数

进行分类讨论;②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较;③若底

数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.2.(2013浙江,3,5分)已知x,y为正实数,则

()A.2lgx+lgy=2lgx+2lgy

B.2lg(x+y)=2lgx·2lgyC.2lgx·lgy=2lgx+2lgy

D.2lg(xy)=2lgx·2lgy

答案

D2lg(xy)=2lgx+lgy=2lgx·2lgy,故选D.3.(2013课标全国Ⅱ,8,5分,0.678)设a=log36,b=log510,c=log714,则

()A.c>b>a

B.b>c>a

C.a>c>b

D.a>b>c答案

D由对数运算法则得a=log36=1+log32,b=1+log52,c=1+log72,由对数函数图象得log32>

log52>log72,所以a>b>c,故选D.4.(2016课标全国Ⅰ,8,5分)若a>b>1,0<c<1,则

()A.ac<bc

B.abc<bacC.alogbc<blogac

D.logac<logbc答案

C解法一:由a>b>1,0<c<1,知ac>bc,A错;∵0<c<1,∴-1<c-1<0,∴y=xc-1在x∈(0,+∞)上是减函数,∴bc-1>ac-1,又ab>0,∴ab·bc-1>ab·ac-1,即abc>bac,B错;易知y=logcx是减函数,∴0>logcb>logca,∴logbc<logac,D错;由logbc<logac<0,得-logbc>-logac>0,又a>b>1>0,∴-alogbc>-blogac>0,∴alogbc<blogac,故C正确.解法二:依题意,不妨取a=10,b=2,c=

.易验证A、B、D均是错误的,只有C正确.5.(2015陕西,9,5分)设f(x)=lnx,0<a<b,若p=f(

),q=f

,r=

(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是

()A.q=r<p

B.q=r>pC.p=r<q

D.p=r>q答案

C由题意得p=ln

,q=ln

,r=

(lna+lnb)=ln

=p,∵0<a<b,∴

>

,∴ln

>ln

,∴p=r<q.

答案

D解法一:令t=2x=3y=5z,∵x,y,z为正数,∴t>1,则x=log2t=

,y=log3t=

,z=log5t=

.∴2x-3y=

-

=

=

>0,∴2x>3y.又∵2x-5z=

-

=

=

<0,∴2x<5z,∴3y<2x<5z.故选D.解法二:由2x=3y=5z,可设(

)2x=(

)3y=(

)5z=t,因为x,y,z为正数,所以t>1,因为

=

=

,

=6.(2017课标全国Ⅰ,11,5分)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则

()A.2x<3y<5z

B.5z<2x<3yC.3y<5z<2x

D.3y<2x<5z

=

,所以

<

;因为

=

=

,

=

,所以

>

,所以

<

<

.分别作出y=(

)x,y=(

)x,y=(

)x的图象,如图.

则3y<2x<5z,故选D.评析解法一:令t=2x=3y=5z,将指数式转化为对数式,利用作差法,结合对数运算比较2x、3y、5

z的大小,起到了事半功倍的效果.解法二:指数式比较大小一般要先将指数式转化为同底指数式或者是同幂指数式的形式.若化

为同底指数式,直接利用指数函数的单调性比较大小即可;若化为同幂指数式,一般要作出不同

底的指数函数的图象来比较.7.(2016浙江,12,6分)已知a>b>1.若logab+logba=

,ab=ba,则a=

,b=

.答案4;2解析令logab=t,∵a>b>1,∴0<t<1,由logab+logba=

得,t+

=

,解得t=

或t=2(舍去),即logab=

,∴b=

,又ab=ba,∴

=(

)a,即

=

,亦即

=

,解得a=4,∴b=2.评析本题考查对数式、指数式的运算,注意logab=

,先求出logab=

是解题的突破口.C组

教师专用题组1.(2014辽宁,3,5分)已知a=

,b=log2

,c=lo

,则

()A.a>b>c

B.a>c>b

C.c>a>b

D.c>b>a答案

C由指数函数及对数函数的单调性易知0<

<1,log2

<log21=0,lo

>lo

=1,故选C.2.(2016四川,5,5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入

研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的

研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)()A.2018年

B.2019年

C.2020年

D.2021年答案

B设x年后研发资金超过200万元,则130(1+12%)x>200⇒1.12x>

⇒xlg1.12>lg

⇒0.05x>0.19⇒x>3.8,故该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.评析熟练应用对数运算法则是解题的关键.3.(2014四川,9,5分)已知f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x∈(-1,1).现有下列命题:①f(-x)=-f(x);②f

=2f(x);③|f(x)|≥2|x|.其中的所有正确命题的序号是

()A.①②③

B.②③

C.①③

D.①②答案

A

f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-[ln(1+x)-ln(1-x)]=-f(x),①正确.f

=ln

-ln

=ln

-ln

,∵x∈(-1,1),∴f

=2ln(1+x)-2ln(1-x)=2[ln(1+x)-ln(1-x)]=2f(x),②正确.当x∈[0,1)时,|f(x)|=ln(1+x)-ln(1-x)=ln

,2|x|=2x,令g(x)=ln

-2x,则g'(x)=

≥0,∴g(x)在[0,1)上为增函数,∴g(x)≥g(0)=0,即|f(x)|≥2|x|;当x∈(-1,0)时,|f(x)|=ln(1-x)-ln(1+x)=-ln

,2|x|=-2x,令h(x)=2x-ln

,则h'(x)=

<0,∴h(x)在(-1,0)上为减函数,∴h(x)>0,即|f(x)|>2|x|.∴当x∈(-1,1)时,|f(x)|≥2|x|,③正确.评析对于③|f(x)|≥2|x|,易误认为可直接画图象判定.事实上利用图象很难解决,通过分类讨

论解决较为方便.4.(2015福建,14,4分)若函数f(x)=

(a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是

.答案(1,2]解析当x≤2时,f(x)=-x+6,f(x)在(-∞,2]上为减函数,∴f(x)∈[4,+∞).当x>2时,若a∈(0,1),则f(x)

=3+logax在(2,+∞)上为减函数,f(x)∈(-∞,3+loga2),显然不满足题意,∴a>1,此时f(x)在(2,+∞)上

为增函数,f(x)∈(3+loga2,+∞),由题意可知(3+loga2,+∞)⊆[4,+∞),则3+loga2≥4,即loga2≥1,∴1

<a≤2.A组

2016—2018年高考模拟·基础题组考点一指数式与对数式的大小比较1.(2018北京通州一模,4)设a=lo

,b=log3

,c=

,那么

()A.c>b>a

B.c>a>b

C.a>b>c

D.a>c>b答案

D

b=-log32<0,0<c=

<30=1,a=log36>log33=1,故选D.2.(2018北京顺义二模,6)若a=log3

,b=log39.1,c=20.8,则a,b,c的大小关系为

()A.a<b<c

B.b<a<c

C.a<c<b

D.c<a<b答案

C∵a=log3

<0,b=log39.1>log39=2,0<c=20.8<21,∴a<c<b,故选C.3.(2016北京东城期末,4)已知m∈(0,1),令a=logm2,b=m2,c=2m,则a,b,c的大小关系为

()A.b<c<a

B.b<a<cC.a<b<c

D.c<a<b答案

C∵0<m<1,∴a=logm2<0,0<b=m2<1,c=2m>1,∴a<b<c,故选C.4.(2017北京朝阳期中)若a=log2.10.6,b=2.10.6,c=log0.50.6,则a,b,c的大小关系是

()A.a>b>c

B.b>c>aC.c>b>a

D.b>a>c答案

B易得a=log2.10.6<0,b=2.10.6>1,0<c=log0.50.6<1,∴b>c>a.故选B.5.(2016北京海淀一模,11)在三个数

,

,log32中,最小的数是

.答案

解析∵

=

>

,log32>log3

=log3

=

,∴这三个数中,

最小.1.(2018北京朝阳二模,6)已知函数f(x)=

则“a≤0”是“函数f(x)在[0,+∞)上单调递增”的

()A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件考点二指数函数与对数函数的图象和性质答案

A解法一:证明充分性:当a≤0时,当x∈[0,+∞)时,f(x)=2x,由指数函数的性质可知,f(x)=2x在[0,+∞)上单调递增,即充分性成立.证明必要性:如图,令2x=x2(x≥0),则x=2或x=4,因为函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以a≤2或a≥4,所以a的值

不一定小于或等于0,故必要性不成立.故选A.

解法二(特殊值法):令a=-1或a=3即可选出答案.2.(2016北京海淀期中)如图,点O为坐标原点,点A(1,1).若函数y=ax(a>0,且a≠1)及y=logbx(b>0,且

b≠1)的图象与线段OA分别交于点M,N,且M,N恰好是线段OA的两个三等分点,则a,b满足

(

)

A.a<b<1

B.b<a<1C.b>a>1

D.a>b>1答案

A由图象知,函数y=ax(a>0,且a≠1)与y=logbx(b>0,且b≠1)均为减函数,所以0<a<1,0<b

<1.因为点A的坐标为(1,1),所以线段OA的方程为y=x(0≤x≤1),因为函数y=ax的图象经过点M,

所以它的反函数y=logax的图象也过点M,由对数函数的图象和性质可知a<b,所以a<b<1.故选A.3.(2017北京西城一模,14)函数f(x)=2x+log2|x|的零点个数为

.答案2解析令y=2x,y=-log2|x|,在同一直角坐标系中作出函数y=2x与y=-log2|x|的图象,如图:

由图象可知,函数f(x)=2x+log2|x|的零点个数为2.4.(2016北京石景山一模,13)已知函数f(x)=

且关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是

.答案(1,+∞)解析如图,在同一直角坐标系中作出y=f(x)与y=-x+a的图象,其中a表示直线y=-x+a在y轴上的

截距,由图可知,当a>1时,直线y=-x+a与函数f(x)的图象只有一个交点.

B组

2016—2018年高考模拟·综合题组(时间:20分钟分值:35分)一、选择题(每题5分,共25分)1.(2018北京丰台二模,6)设下列函数的定义域为(0,+∞),则值域为(0,+∞)的函数是

()A.y=ex-x

B.y=ex+lnxC.y=x-

D.y=ln(x+1)答案

D

A项,函数y=ex-x,y'=ex-1,令ex-1>0可知函数在(0,+∞)上单调递增,所以值域为(1,+∞),

故排除A.B项,函数y=ex+lnx,当x→0时,lnx→-∞,而ex→1,所以y→-∞,可排除B;C项,函数y=x-

可看作关于

的二次函数,即y=(

)2-

,易得值域为

,可排除C,故选D.解题关键熟练掌握指数函数与对数函数的图象和性质是解本题的关键.2.(2018北京一七一中学期中,2)已知集合A=

,集合B={x|lgx>0},则A∪B=

()A.{x|x>0}

B.{x|x>1}C.{x|x>1}∪{x|x<0}

D.⌀答案

A由

<1=

,得x>0,∴A={x|x>0},由lgx>0=lg1,得x>1,∴B={x|x>1},则A∪B={x|x>0},故选A.3.(2018北京西城期末,8)在标准温度和大气压下,人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位

mol/L,记作[H+])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L,记作[OH-])的乘积等于常数10-14.

已知pH值的定义为pH=-lg[H+],健康人体血液的pH值保持在7.35~7.45之间,那么健康人体血液

中的

=

()(参考数据:lg2≈0.30,lg3≈0.48)A.

B.

C.

D.

答案

C本题考查对数的运算法则.由题可得pH=-lg[H+]∈(7.35,7.45),且[H+]·[OH-]=10-14,lg

=lg

=lg([H+]2·1014)=2lg[H+]+14,又因为7.35<-lg[H+]<7.45,所以-7.45<lg[H+]<-7.35,所以-0.9<2lg[H+]+14<-0.7,即-0.9<lg

<-0.7.因为lg

=-lg2≈-0.30,所以A项错,因为lg

=-lg3≈-0.48,所以B项错,因为lg

=-(lg2+lg3)≈-0.78,所以C项正确,因为lg

=-1,所以D项错.故选C.4.(2016北京西城二模,7)如图,点A,B在函数y=log2x+2的图象上,点C在函数y=log2x的图象上,若

△ABC为等边三角形,且直线BC∥y轴,设点A的坐标为(m,n),则m=

()

A.2

B.3

C.

D.

答案

D由题图可知|BC|=2,∵△ABC为等边三角形,且直线BC∥y轴,A(m,n),∴C(m+

,n-1),有

解得m=

.故选D.思路分析先由函数图象得到三角形的边长,再利用等边三角形的性质和A点坐标表示C点坐

标,将点A,C的坐标代入函数中,求出m的值.5.(2017北京海淀期中,8)如图,A是函数f(x)=2x的图象上的动点,过点A作直线平行于x轴,交函数g

(x)=

的图象于点B,若函数f(x)=2x的图象上存在点C使得△ABC为等边三角形,则称A为函数f(x)=2x的图象上的好位置点.则函数f(x)=2x的图象上的好位置点的个数为

()

A.0

B.1

C.2

D.大于2答案

B设点A,B的纵坐标为m(m>0),则A(log2m,m),B(log2m-2,m),∴|AB|=log2m-log2m+2=2,设C(x,2x),∵△ABC是等边三角形,且|AB|=2,∴点C到直线AB的距离为

,∴|m-2x|=

,易得点C的横坐标