高考数学B版真题及模拟：平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示

平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示A组

自主命题·北京卷题组1.(2016北京,4,5分)设a,b是向量.则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的

()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案

D当|a|=|b|=0时,|a|=|b|⇔|a+b|=|a-b|.当|a|=|b|≠0时,|a+b|=|a-b|⇔(a+b)2=(a-b)2⇔a·b=0⇔a⊥b,推不出|a|=|b|.同样,由|a|=|b|也不能推出

a⊥b.故选D.思路分析先注意研究向量的模,考虑模的定义以及特殊的模,一般情况可以用平行四边形法

则或三角形法则作图,用有向线段的长度来表示向量的模.解后反思由向量加法、减法的几何意义知:当a、b不共线,且|a|=|b|时,a+b与a-b垂直;当a⊥b

时,|a+b|=|a-b|.评析本题考查向量的模及运算性质,属容易题.2.(2015北京,13,5分,0.65)在△ABC中,点M,N满足

=2

,

=

.若

=x

+y

,则x=

,y=

.答案

;-

解析由

=2

知M为AC上靠近C的三等分点,由

=

知N为BC的中点,作出草图如下:

则有

=

(

+

),所以

=

-

=

(

+

)-

·

=

-

,又因为

=x

+y

,所以x=

,y=-

.思路分析由已知作出草图,用

、

表示

、

,代入

=

-

中,化简可求得x,y的值.3.(2013北京,13,5分,0.65)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),则

=

.

答案4解析以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系,令每个小正方形的边长为1个单

位,则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a=

=(-1,1),b=

=(6,2),c=

=(-1,-3).由c=λa+μb可得

解得

所以

=4.

思路分析注意到网格线,先将某点设为原点,建立直角坐标系,利用平面向量的坐标运算构造

方程组求值.评析本题主要考查平面向量的基本定理和坐标运算,考查学生的运算求解能力和解析法在

向量中的应用,构建关于λ和μ的方程组是求解本题的关键.4.(2011北京,10,5分)已知向量a=(

,1),b=(0,-1),c=(k,

).若a-2b与c共线,则k=

.答案1解析∵a-2b=(

,3)与c=(k,

)共线,∴3k=

×

,故k=1.失分警示混淆两向量共线与两向量垂直的充要条件,造成失分.评析本题考查了向量的坐标运算和向量共线的充要条件.解题的关键是利用向量共线的充

要条件列出关于k的方程,本题属容易题.B组

统一命题、省(区、市)卷题组1.(2018课标全国Ⅰ,6,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则

=

()A.

-

B.

-

C.

+

D.

+

答案

A本题主要考查平面向量的线性运算及几何意义.∵E是AD的中点,∴

=-

,∴

=

+

=-

+

,又∵D为BC的中点,∴

=

(

+

),因此

=-

(

+

)+

=

-

,故选A.题型归纳平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)考查向量加法或减法的几何意义.(2)求已知向量的和或差.一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则;求首

尾相连的向量的和用三角形法则.(3)与三角形综合,求参数的值.求出向量的和或差,与已知条件中的式子比较,求得参数.(4)与平行四边形综合,研究向量的关系.画出图形,找出图中的相等向量、共线向量,将所求向

量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.2.(2015课标Ⅰ,7,5分,0.725)设D为△ABC所在平面内一点,

=3

,则

()A.

=-

+

B.

=

-

C.

=

+

D.

=

-

答案

A

=

+

=

+

+

=

+

=

+

(

-

)=-

+

.故选A.3.(2014福建,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是

()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)答案

B设a=k1e1+k2e2,A选项,∵(3,2)=(k2,2k2),∴

无解.B选项,∵(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2),∴

解之得

故B中的e1,e2可把a表示出来.同理,C、D选项同A选项,无解.4.(2017课标全国Ⅲ,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的

圆上.若

=λ

+μ

,则λ+μ的最大值为

()A.3

B.2

C.

D.2答案

A本题考查向量的运算.分别以CB、CD所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系,则A(2,1),B(2,0),D(0,1).∵点P在以C为圆心且与BD相切的圆上,∴可设P

.则

=(0,-1),

=(-2,0),

=

.又

=λ

+μ

,∴λ=-

sinθ+1,μ=-

cosθ+1,∴λ+μ=2-

sinθ-

cosθ=2-sin(θ+φ),其中tanφ=

,∴(λ+μ)max=3.5.(2018课标全国Ⅲ,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=

.答案

解析本题考查向量的坐标运算.由已知得2a+b=(4,2).又c=(1,λ),c∥(2a+b),所以4λ-2=0,解得λ=

.6.(2015课标Ⅱ,13,5分,0.724)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=

.答案

解析由于a,b不平行,所以可以以a,b作为一组基底,于是λa+b与a+2b平行等价于

=

,即λ=

.7.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为

.答案-3解析由a=(2,1),b=(1,-2),可得ma+nb=(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n),由已知可得

解得

从而m-n=-3.A组

2016—2018年高考模拟·基础题组(时间:25分钟分值:55分)一、选择题(每题5分,共40分)1.(2018北京海淀一模,2)已知向量a=(1,2),b=(-1,0),则a+2b=

()A.(-1,2)

B.(-1,4)

C.(1,2)

D.(1,4)答案

A

a+2b=(1,2)+2(-1,0)=(-1,2),故选A.2.(2018北京西城一模,5)已知O是正方形ABCD的中心.若

=λ

+μ

,其中λ,μ∈R,则

=

()A.-

B.-2

C.-

D.

答案

B

=

-

=

-

=

-(

-

)=

-

,故λ=1,μ=-

,所以

=-2,故选B.3.(2018北京一六一中学期中,4)若非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则

()A.|a|=|b|

B.a=bC.a∥bD.a⊥b答案

D解法一:利用向量加法的平行四边形法则和减法的几何意义易得D正确.解法二:∵|a+b|=|a-b|,∴a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,∴a·b=0.∵a,b均为非零向量,∴a⊥b.故选D.4.(2018北京丰台二模,2)设a,b为非零向量,则“a与b的方向相同”是“a∥b”的

()A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件答案

A

5.(2018北京西城二模,5)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa+b与c共线,则实

数λ=

()

A.-2

B.-1

C.1

D.2答案

D如图,建立平面直角坐标系xOy,则a=(1,1),b=(0,-1),c=(2,1),∴λa+b=(λ,λ-1).∴λ=2(λ-

1),解得λ=2,故选D.

6.(2017北京西城一模,5)在△ABC中,点D满足

=3

,则

()A.

=

-

B.

=

+

C.

=

-

D.

=

+

答案

D在△ABC中,

=3

,所以

=

+

=

+

=

+

(

-

)=

+

.7.(2017北京丰台一模,4)设E,F分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点,且

=

,

=

,如果

=m

+n

(m,n为实数),那么m+n的值为

()A.-

B.0

C.

D.1答案

C如图所示,

∵

=

+

=

+

=

+

(

+

)=-

+

,∴m=-

,n=

,∴m+n=

.8.(2016北京西城一模,4)在平面直角坐标系xOy中,向量

=(-1,2),

=(2,m),若O,A,B三点能构成三角形,则

()A.m=-4

B.m≠-4C.m≠1

D.m∈R答案

B因为O,A,B三点能构成三角形,所以向量

与

不共线,所以

≠

,即m≠-4.9.(2018北京十四中期中,13)在△ABC中,点M,N满足2

=

,

=

.若

=x

+y

,则x+y=

.二、填空题(每题5分,共15分)答案

解析如图,

=

+

=

+

=

+

(

-

)=

+

,∴x=

,y=

,∴x+y=

.

10.(2016北京海淀一模,9)已知向量a=(1,t),b=(t,9),若a∥b,则t=

.答案

±3解析∵a=(1,t),b=(t,9),且a∥b,∴1×9=t2⇒t=±3.11.(2016北京朝阳一模,13)已知M为△ABC所在平面内的一点,且

=

+n

.若点M在△ABC的内部(不含边界),则实数n的取值范围是

.答案

解析根据平面向量基本定理可知,当n+

=1时,M点在直线BC上,又点M在△ABC的内部(不含边界),∴n>0,且n+

<1,∴0<n<

,∴实数n的取值范围为

.B组

2016—2018年高考模拟·综合题组(时间:20分钟分值:40分)一、选择题(每题5分,共25分)1.(2018北京顺义二模,7)已知O是正△ABC的中心.若

=λ

+μ

,其中λ,μ∈R,则

的值为

()A.-

B.-

C.-

D.2答案

C如图,取AB的中点D,由已知得

=

=

×

(

+

)=

(

+

).∵

=

-

,∴

=

-

,∴

∴

=-

,故选C.

2.(2018北京门头沟一模,6)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,且AB=2CD=2AD=2,P是

BC的中点,则

·

=()A.

B.3

C.2

D.

答案

C以A为原点,AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,1),A(0,0),P

,所以

=

,

=

,所以

·

=

-

=2,故选C.

3.(2018北京东城二模,5)设a,b是非零向量,则“|a+b|=|a|-|b|”是“a∥b”的

()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案

A充分性:|a+b|=|a|-|b|⇒|a+b|2=(|a|-|b|)2⇒a2+b2+2a·b=|a|2+|b|2-2|a|·|b|⇒2|a|·|b|cos<a,b>=-2

|a|·|b|⇒cos<a,b>=-1⇒<a,b>=π,∴a∥b,故充分性成立.必要性:当a,b同向时,|a+b|=|a|+|b|≠|a|-|b|,故必要性不成立.故选A.思路分析本题以充分必要条件的判断为载体考查平面向量的基本知识,充分性的证明可以

利用平方关系转化为平面向量的数量积运算,如果用平面向量的加法和减法的运算法则,同样

会起到非常好的效果.4.(2016北京东城二模,4)已知向量a=(1,0),b=(2,1),c=(x,1),若3a-b与c共线,则x的值为

()A.1

B.-3C.-2

D.-1答案

D∵3a-b=(1,-1),c=(x,1),又3a-b与c共线,∴(-1)×x=1×1,即x=-1,故选D.思路分析在坐标形式下,直接用向量共线的坐标表示求值.5.(2016北京东城一模,8)已知e1,e2为平面上的单位向量,e1与e2的起点均为坐标原点O,e1与e2的夹

角为

,平面区域D由所有满足

=λe1+μe2的点P组成,其中

那么平面区域D的面积为

()A.

B.

C.

D.

答案

D如图,设

=e1,

=e2,则

=λe1+μe2=λ

+μ

,当λ+μ=1时,λ≥0,μ≥0表示点P在线段AB上,所以λ+μ≤1,λ≥0,μ≥0表示点P在正三角形OAB上或其内部,故平面区域D的面积等

于以1为边长的正三角形的面积,即为

.

思路分析先判断λ+μ=1时点P的轨迹,再确定λ+μ≤1时点P的轨迹,然后求平面区域D的面积.6.(2018北京朝阳期末,11)在▱ABCD中,E,F分别为边BC,CD的中点,若

=x

+y

(x,y∈R),则x+y=