新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 平面向量的基本概念（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第第页参考答案1．B【解析】【分析】对于A：利用向量不能比较大小直接判断；对于B：利用向量的线性运算法则直接判断；对于C：由，可以得到与的方向相同或与中有零向量.对于D：的方向不确定.即可判断.【详解】对于A：因为向量不能比较大小，所以A错误；对于B：.故B正确；对于C：若，则与的方向相同或与中有零向量.故C错误；对于D：若，但的方向不确定.故D错误.故选：B2．D【解析】【分析】选项A.根据平行向量的定义，考虑方向可判断；选项B.由零向量与任意向量都平行可判断；选项C.当方向相反时不成立，可判断；选项D.由平面向量向量的基本定理可判断.【详解】选项A.根据平行向量的定义，其方向可能相反，故不正确.选项B.由零向量与任意向量都平行，故不正确.选项C.长度相等且共线的向量,若方向相反，则不是相等向量，故不正确.选项D.由平面向量向量的基本定理有：平面内任一非零向量都可以用两个不共线的向量表示，正确.故选：D3．B【解析】【分析】利用平面向量的定义可判断AD选项；利用平面向量的线性运算可判断B选项；利用平面向量的加法可判断C选项.【详解】对于A选项，由于任意两个向量不能比大小，故A错；对于B选项，，故B对；对于C选项，与的方向相同，故C错；对于D选项，若，但、、的方向不确定，故D错.故选：B.4．B【解析】【分析】由题知，进而得，，再根据菱形的定义即可得答案.【详解】解：因为，，所以，即，，所以四边形是平行四边形，因为，即，所以四边形是菱形.故选：B5．A【解析】【分析】由向量模的定义结合三角形的四心定义判断．【详解】表示到三点距离相等，为外心．故选：A．6．D【解析】【分析】A.由时判断；B.举例判断；C.由非零向量，方向相反判断；D.利用平面向量三角形法则判断.【详解】A.当时，满足，，但不一定平行，故错误；B.当时，满足，但，不成立，故错误；C.若非零向量，方向相反，则，故错误；D.当，中有零向量时，，当，为非零向量时，若，共线且方向相同时，则，当，为非零向量时，若，共线且方向相反时，则，当，为非零向量时，且，不共线时，如图所示：，，综上：，故正确.故选：D7．B【解析】【分析】根据单位向量的概念，以及向量的模与数量积的计算公式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，两个单位向量的方向不一定相同，所以A不正确；对于B中，由，又由，所以，所以B正确；对于C中，两个单位向量的方向不一定共线，所以C不正确；对于D中，由，所以D不正确.故选：B.8．A【解析】【分析】根据向量得实际背景及基本概念，依次判断各项正误.【详解】∵与为非零向量，且共线，∴存在实数，使得，A正确；零向量的长度为0，方向是任意的，故B错误；任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故C错误；不管是同向的向量还是不同向的向量，都不能比较大小，故D错误.故选：A.9．D【解析】【分析】根据零向量的定义和性质即可判断.【详解】根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误；两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误；零向量与任意向量共线，D正确．故选：D.10．C【解析】【分析】利用相等向量可判断A选项；利用平面向量的加法可判断BD选项；利用平面向量的减法可判断C选项.【详解】对于A选项，，A错；对于B选项，，B错；对于C选项，，C对；对于D选项，，D错.故选：C.11．D【解析】【分析】根据平面向量加法的运算法则及向量相等的充要条件判断即可；【详解】解：，，，且，四边形是平行四边形．故选：D．12．B【解析】【分析】由相等向量的定义可知.【详解】由图可知六边形ABCDEF是正六边形，所以ED=AB，与方向相同的只有；而,,与长度相等，方向不同，所以选项A,C,D,均错误；故选：B13．D【解析】【分析】与向量平行的单位向量是，即可求解.【详解】因为与向量平行的单位向量是，,所以,故选：D14．D【解析】【分析】根据向量的基本概念辨析可知.【详解】解：对于A，向量与向量是相反向量，所以A错误；对于B，因为向量是有方向和大小的量，所以两个向量不能比较大小，所以B错误；对于C，当两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或共线，所以C错误；对于D，由共线向量的定义可知，当两个向量是共线向量时，有向量所在的直线可以平行，也可以重合，所以D正确.故选：D15．B【解析】【分析】根据向量的基本概念和定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对：时间和距离没有方向，不是向量，故错误；对：两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同，故正确；对：所有的单位向量，模长都相等，但方向不一定相同，故错误；对：共线向量可以在同一直线上，也可以不在同一直线上，故错误.故选：B.16．D【解析】【分析】根据向量的有关概念确定正确选项.【详解】向量不是有向线段，故A错误；单位向量长度都为1，但方向不确定，故B错误；向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故C错误；规定：零向量与任意向量平行，故D正确.故选：D17．B【解析】【分析】对于A：利用单位向量的定义进行否定；对于B：对，同向、反向、不共线，分别讨论；对于C：用共线向量的夹角为0或π，进行判断对于D：利用零向量的方向是任意的进行判断.【详解】对于A：单位向量的模都相等，方向不一定相同，故A错误；对于B：利用向量加法的平行四边形法则，可知对于任意向量，：若，同向，必有；若，反向，必有；若，不共线，向量加法的三角形法则，必有.综上所述：对于任意向量，必有，故B正确；对于C：若向量，共线，则，的夹角为0或π，所以，故C错误；对于D：若，则与的方向相同或相反，这种说法是错误的，因为零向量与所有的非零向量都平行，但零向量的方向是任意的.故选：B18．D【解析】【分析】根据零向量、单位向量的性质即可判断各项的正误.【详解】①长度为0的向量都是零向量，正确；②零向量的方向任意，故错误；③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；④任意向量与零向量都共线，正确；故选：D19．D【解析】【分析】由正六边形的性质结合平面向量相等的概念即可得解.【详解】由题意，，.故选：D.20．A【解析】【分析】根据向量的定义判断．【详解】①错误，因为单位向量的方向可以既不相同又不相反；②错误，因为两个单位向量共线，则这两个向量的方向有可能相反；③正确，因为零向量与任意向量共线，所以若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④错误，有相同起点的两个非零向量方向有可能相同或相反，所以有可能是平行向量；⑤正确，方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量的方向是相反的，所以这两个向量是共线向量．正确的有两个．故选：A．21．C【解析】【分析】根据单位向量的概念进行分析即可.【详解】单位向量的模长都为，方向不一定相同，所以正确，故选：C．22．B【解析】【分析】利用向量的有关概念判断.【详解】①起点相同，方向相同，但大小不一定相同，所以两个非零向量的终点不一定相同，故错误；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同，故正确；③两个平行的非零向量的方向相同或相反，故错误；④两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故错误.故选：B23．B【解析】【分析】根据两者之间的数乘关系可判断两者之间的关系.【详解】因为，，所以，故向量与向量共线反向.故选：B.24．C【解析】【分析】由向量平移可知，与方向相同且长度相等，即可得的坐标.【详解】因为平移后，与方向相同且长度相等，故.故选：C25．D【解析】【分析】向量有方向、有大小，平行包含同向与反向两种情况.向量相等意味着模相等且方向相同，根据定义判断选项.【详解】A.向量与向量的方向相反，长度相等，故A正确；B.规定零向量与任意非零向量平行，故B正确；C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确；D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正确.【点睛】本题主要考查向量的基本概念及共线（平行）向量和相等向量的概念，属于基础概念题型.26．C【解析】【分析】利用向量的有关概念及单位向量的定义依次判断即得.【详解】对于A，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同，A错误；对于B，向量，为单位向量，但向量，不一定为相反向量，B错误；对于C，向量，为单位向量，则，C正确；对于D，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同或相反，即与不一定平行，D错误.故选：C.27．A【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合相等向量的定义判断即可得出结论.【详解】由题意知，充分性：若，则、方向相同且，充分性成立；必要性：若，但、的方向不一定相同，即、不一定相等，必要性不成立.因此，“”是“”充分而不必要条件.故选：A.28．B【解析】【分析】由向量相等可知四边形为平行四边形，由向量模长相等可知邻边长相等，知四边形为菱形.【详解】解：，，四边形为平行四边形，又，平行四边形为菱形.故选：B.29．D【解析】【分析】根据题意可得出，然后根据向量的运算得出，从而可求出答案.【详解】因为点C为的中点，，所以，所以，因为点M为线段AB上的一点，所以，所以，所以的取值范围是,故选：D.30．B【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则，结合正方形的性质可得答案.【详解】因为是边长为1的正方形，，所以又，所以故选：B31．A【解析】【分析】根据条件分别判断命题和命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可.【详解】命题：在△中，若，由于余弦函数在上单调递减，则，故命题为真命题；命题向量与向量相等的充要条件是向量与向量大小相等，方向相同，则命题是假命题，则为真命题，故选：.32．A【解析】【分析】直接利用向量加法法则和相等向量即可求出答案.【详解】画出图形，如图所示：.故选：A.33．D【解析】【分析】由相等向量的定义求解即可【详解】由相等向量的定义可知：两个向量的长度要相等，方向要相同，结合图形可知满足条件，故选：D34．D【解析】【分析】由推导可得的平分线垂直于边BC，进而可得，再由给定面积导出得解.【详解】如图所示，在边、上分别取点、，使、，以、为邻边作平行四边形，则，显然，因此平行四边形为菱形，平分，而，则有，即，于是得是等腰三角形，即，令直线AF交BC于点O，则O是BC边的中点，，而，因此有，从而得，所以是等腰直角三角形.故选：D35．D【解析】【分析】根据向量的定义判断．【详解】表示三角函数值的正切线、余弦线、正弦线既有大小，又有方向，都是向量．海拔、质量、△ABC的三边和体积均只有大小，没有方向，不是向量．速度既有大小又有方向，是向量，故选：D．36．B【解析】【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.【详解】A：仅表示与的大小相等，但是方向不确定，故未必成立，所以A错误；B：根据零向量的定义可判断B正确；C：长度相等的向量方向不一定相同，故C错误；D：共线向量不一定在同一条直线上，也可平行，故D错误.故选：B.37．B【解析】【分析】根据平面向量相等的概念，即可证明，且，由此即可得结论.【详解】在四边形ABCD中，，所以，且，所以四边形为平行四边形．故选：B38．A【解析】【分析】根据向量的概念、零向量的定义及向量模的性质，即可判断各选项的正误.【详解】A：与的长度相等，方向相反，正确；B：两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；C：零向量的方向任意，故错误；D：向量的模是一个非负实数，故错误.故选：A39．D【解析】【分析】直接利用向量的坐标运算，向量的模，向量的夹角运算，向量在另一个向量上的投影的应用判定选项的结论．【详解】解：因为，，所以，对于A，因为，所以，故A正确；对于B，因为，故，故B正确；对于C，因为，所以与的夹角为180°，故C正确；对于D，在方向上的投影为：，，故D错误.故选：D.40．C【解析】【分析】根据共线向量的定义可判断A，D；由相等向量的定义可判断B，C；进而可得正确选项.【详解】对于A：根据共线向量的定义可知向量就是所在的直线与所在的直线平行或重合，故选项A不正确；对于B：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故选项B不正确；对于C：若，则，故选项C正确；对于D：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量，零向量与任意向量共线，故选项D不正确；故选：C.41．ABC【解析】【分析】根据相等向量,相反向量,共线向量的概念逐一分析可得.【详解】A中，相等向量的始点相同，则终点一定也相同，所以A中命题不正确；B中，向量与共线，只能说明、所在直线平行或在同一条直线上，所以B中命题不正确；C中，向量与共线，说明与方向相同或相反，与不一定相等，所以C中命题不正确；D中，因为四边形ABCD是平行四边形，所以与是相反向量，所以，所以D中命题正确.故选:ABC【点睛】本题考查了相等向量,相反向量,共线向量的概念,属于基础题.42．AB【解析】根据向量的模，数量积，向量相等的概念判断各选项．【详解】向量由两个要素方向和长度描述，A错；若，且与垂直，结果成立，但不一定等于，B错；相等向量模相等，方向相同，D选项对．故选：AB．43．AD【解析】【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A.若////，则//，如果，都是非零向量，，显然满足已知条件，但是结论不一定成立，所以该选项是错误的；B.如图，D,E分别是AC,BC的中点，，所以则,所以该选项是正确的；C.两个非零向量，，若，则与共线且反向，所以该选项是正确的；D.若//，如果是非零向量，，则不存在实数使得，所以该选项是错误的.故选A,D【点睛】本题主要考查平面向量的运算，考查向量的平行及性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.44．ACD【解析】【分析】对于A，注意；对于B，根据平面向量数乘的分配律即可判断；对于C，若和，都垂直即可判断；对于D，根据数量积定义即可判断．【详解】对于A，，命题不成立；对于B，这是平面向量数乘的分配律，显然成立；对于C，若和，都垂直，显然，至少在模的方面没有特定关系，所以命题不成立；对于D，与分别是一个和，共线的向量，显然命题不一定成立．故选：ACD．45．【解析】【分析】利用向量的运算法则和模的计算公式即可得出．【详解】解：解：如图所示：，，．故答案为：．46．等腰梯形【解析】【分析】由，得到且，得出是梯形，再根据，得到四边形是等腰梯形.【详解】由题意，向量，可得且，即线段平行于线段，且线段的长度是线段长度的一半，所以四边形是梯形，又因为，所以梯形的两个腰相等，所以四边形是等腰梯形.故答案为：等腰梯形.47．，，，，，，.【解析】【分析】根据题意，找出与方向相同和方向相反的向量即可.【详解】根据非零向量共线的定义，与方向相同和方向相反的向量有，，，，，，.故答案为：，，，，，，.48．①③【解析】【分析】根据平行向量和共线向量的定义可判断①②④；根据相等向量和相反向量的定义可判断③.【详解】因为零向量与任一向量平行，所以①正确；对于非零向量，若，则和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，故不一定等于，故②错误；对于非零向量，若，则与是相等向量或相反向量，故，故③正确；对于非零向量，若，则和是平行向量，也是共线向量，但与所在直线不一定重合.故选：①③49．①⑤【解析】【分析】根据向量的模、共线向量的基本概念以及向量加法的法则，逐一分析即可．【详解】对于①，若同向，则与同向，所以，故正确；对于②，与前者表示向量，后者表示向量模的和，表示的意义不相同，故②不正确；对于③，若不共线，则有，故③不正确；对于④，若，则，故④不正确；对于⑤，对任意两个向量，总有，故⑤正确；对于⑥，若三向量满足，若中有零向量，则此三向量不能围成一个三角形，故⑥不正确．故答案为：①⑤．50．60°##【解析】【分析】根据向量的运算，结合条件，可知O为BC的中点，再结合，可得为等边三角形，由此可求答案.【详解】设的边BC的中点为D,则,又，即O,D两点重合，O为BC的中点，即BC为外接圆直径，则,又，故为等边三角形，故,即，故答案为：60°51．见解析【解析】利用向量模长的几何意义，即可画出图形.【详解】∵，∴C点落在以A为圆心，以为半径的圆上，又∵点C为小正方形的顶点，根据该条件不难找出满足条件的点C，解析所有的向量，如图所示：【点睛】本题考查了向量模长的几何意义，