2023-2024学年内蒙古部分名校高一上学期期中联合考试数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat13页2023-2024学年内蒙古部分名校高一上学期期中联合考试数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解一元二次不等式，再根据交集定义计算即可.【详解】因为，所以.故选：B.2．“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】直接根据特称命题的否是是全称命题得到答案.【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，“，”的否定是：，.故选：C．3．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先解方程，再结合充分不必要条件定义判断即可.【详解】由，解得或2，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4．设，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据指、对数函数单调性结合中间值“0”、“1”分析判断.【详解】因为在上单调递增，且，则，即，又因为在上单调递减，且，则，即，又因为在上单调递减，且，则，即，所以.故选：B.5．函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.【详解】因为函数在上都是增函数，所以在上单调递增，因为，所以的零点所在的区间为.故选：C.6．某工厂准备建造一个长方体无盖的蓄水池，其容积为7200立方米，深度为2米.已知池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为80元，则该蓄水池的最低造价为（

）A．793200元 B．745800元 C．739200元 D．758400元【答案】D【分析】根据已知条件列式，再应用基本不等式求解即可.【详解】设蓄水池底面长为米，宽为米，总造价为元，则，得.根据题意可得.因为，所以，当且仅当时，等号成立.故该蓄水池的最低造价为758400元.故选：D.7．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性以及特殊值法排除即可求解.【详解】的定义域为，关于原点对称，因为，所以为奇函数，排除选项.因为，所以排除选项.当时，，则，排除选项D.故选：C8．已知定义在上的函数满足，对任意的，且，恒成立，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，得到，令，推得在上单调递减，把不等式转化为，结合，得到，即可求解.【详解】由题意知：，可得，且，即，令，不妨设，可得，则，即，所以在上单调递减，则不等式，且，转化为，因为，所以，则，解得，所以不等式的解集为.故选：D.二、多选题9．若幂函数的图象过点，则（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据幂函数的定义求出幂函数的解析式，再把点的坐标代入幂函数解析式中即可求出.【详解】由题意得，则，所以过点，由，得．故选：BC.10．下列命题为真命题的是（

）A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．若，是任意实数，则C．若是奇数，则是奇数 D．若，，则【答案】ACD【分析】举反例得到B错误，根据定义判断AC正确，确定，，D正确，得到答案.【详解】对选项A：对角线相等的平行四边形是矩形，则A是真命题．对选项B：当时，，则B是假命题．对选项C：x是奇数，所以x不能被2整除，所以不能被2整除，即是奇数，则C是真命题．对选项D：由，，得，则，则D是真命题．故选：ACD.11．已知定义在上的函数，对任意实数，都有，则（

）A． B．C． D．为奇函数【答案】ABD【分析】根据题意，令令，可判定A正确；令，可判定B正确；令，求得，再令，可判定C错误；令，求得，再令，得到，可判定D正确.【详解】由题意知，定义在上的函数对任意实数，都有，对于A中，令，得，所以A正确；对于B中，令，得，则，所以B正确；对于C中，令，得，再令，得，可得，所以C错误.对于D中，令，得，则，再令，得，则为奇函数，所以D正确.故选：ABD.12．已知函数若关于的方程有四个互不相等的实数根，则的取值可能为（

）A． B． C．5 D．【答案】AB【分析】根据题意，分别求得函数在两段区间上的单调性，画出函数图象，根据方程根的个数可知方程的两个不相等的实数根，满足，即可得，可得，即可得出结论.【详解】当时，.当时，函数在上单调递减，在上单调递增，且函数在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减，由，得；当时，单调递增，，如下图所示：令，当或时，方程只有一解；当时，方程有两解；当时，方程有三解.方程有四个不相等的实数根，等价于关于的方程有两个不相等的实数根，，且.令，因为，所以，即，得，此时，故的取值范围为.故选：AB三、填空题13．某校春季举办了一次田径运动会，某班有20名同学参赛，该学校秋季又举办了一次趣味运动会，这个班有25名同学参赛．已知该班级这两次运动会都参赛的有12人．则这两次运动会中，这个班参赛的同学有人．【答案】【分析】直接根据集合的基本运算的定义得到答案.【详解】这两次运动会中，这个班参赛的同学有人．故答案为：.14．已知正数，满足，则的最大值为．【答案】【分析】直接利用均值不等式计算得到答案.【详解】根据题意可得，得，当且仅当时，等号成立．故的最大值为1．故答案为：15．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过12立方米的部分4元/立方米超过12立方米但不超过18立方米的部分6元/立方米超过18立方米的部分8元/立方米若某户居民本月交纳的水费为100元，则此户居民本月用水量为立方米.【答案】20【分析】因为，所以此户居民本月用水量超过18立方米，设此户居民本月用水量为立方米，列出方程求解即可.【详解】因为，所以此户居民本月用水量超过18立方米，设此户居民本月用水量为立方米，且，则，解得.故答案为：20.16．已知实数满足，则.【答案】36【分析】根据函数单调性利用试根可求得，，即可得.【详解】易知函数为增函数，且，得；由函数为增函数，且，得；所以.故答案为：36四、计算题17．（1）求值：.（2）已知正数满足，求的值.【答案】（1）3（2）【分析】（1）根据对数的运算性质计算即可；（2）根据指数幂的运算性质计算即可.【详解】解：（1）原式.（2）因为，所以.所以.五、解答题18．已知关于x的不等式的解集是.(1)若，求b，c的值；(2)求不等式的解集.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据韦达定理即可求解；（2）由（1）用表示，代入得一元二次不等式，即可求解.【详解】（1）因为不等式的解集是，所以所以.因为，所以.（2）由（1）可知，所以不等式等价于不等式.因为不等式的解集是，所以，所以不等式等价于，解得或，即不等式的解集是.六、证明题19．已知函数．(1)判断的奇偶性，并说明理由；(2)证明：．【答案】(1)为偶函数，理由见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，即可证得函数的奇偶性，得出结论；（2）当，根据不等式性质求出，再根据奇偶性得到结论．【详解】（1）为偶函数.的定义域为，关于原点对称，因为，所以为偶函数．（2）证明：当时，，，则，，得，．又因为为偶函数，所以当时，，故得证．七、解答题20．小钗计划开始学习国画，且无论任何情况都坚持每天打卡.把小钗现在的国画学习值看作天后小钗的国画学习值为，已知10天后小钗的国画学习值为1.22.（参考数据：取）(1)求的值，并写出的解析式；(2)当小钗的国画学习值达到2.89时，试问小钗已经坚持学习国画多少天？（结果保留整数）【答案】(1)，(2)54天【分析】（1）由题意可得，进而结合指数与对数的相互转化求解即可；（2）令，结合对数的运算性质求解即可.【详解】（1）依题意可得，即，因为，所以，因为，所以，即，则.（2）令，得，故当小钢的国画学习值达到2.89时，小钢已经坚持学习国画54天.八、证明题21．已知函数.(1)求的值；(2)设函数，证明：在上有唯一零点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）先计算得出，再分组求和得出函数值即可；（2）先判断函数的单调性，再结合零点存在定理即可得证.【详解】（1）因为，所以.（2）因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，所以在上单调递增，又因为，，所以，所以，即在上有且仅有一个零点.九、解答题22．已知函数且.(1)若的值域为，求的取值范围.(2)试判断是否存在，使得在上单调递增，且在上的最大值为1.若存在，求的值（用表示）；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）首先设函数的值域为，根据对数函数定义域和值域的关系，可得，讨论的取值，结合二次函数的性质，即可求解；（2）分，和三个大类讨论函数的单调性和最值，判断是否存在实数的值.【详解】（1）设函数的值域为，因为的值域为，所以.当时，的值域为，符合题意.当时，由，解得.综上，的取值范围为.（2）当时，，因为，所以不符合题意，舍去.当时，，不