四川省成都市重点中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（含答案）

成都重点中学高2026届高一上期数学12月考试一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．化为弧度是（）A． B． C． D．2．不等式的解集是（）A． B．，2 C． D．3．已知函数，，则（）A． B． C． D．34．已知，，则（）A． B． C． D．5．已知函数的图象是连续不断的，有如下的，对应值表，那么函数在区间上的零点至少有（）1234567A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6．已知，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．7．某市一天内的气温（单位：）与时刻（单位：时）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），与之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（）．A． B．C． D．8．若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（）A． B．C． D．二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法中正确的有（）A．命题：，，则命题的否定是，B．“”是“”的必要不充分条件C．命题“，”是真命题D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件10．下列结论正确的是（）A．是第三象限角B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为C．若角的终边上有一点，则D．若角为锐角，则角为钝角11．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3．设为青斜边的中点，作直黄角三角形的内接正方形对角线，过点作于点，则下列推理正确的是（）图1图2图3①由图1和图2面积相等得；②由可得；③由可得；④由可得．A．① B．② C．③ D．④12．已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数在上单调递减B．函数的图象关于直线对称C．存在实数，使得函数有三个不同的零点D．存在实数，使得关于的不等式的解集为第II卷（非选择题）三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．计算：________．14．已知函数的定义域是，则函数的单调增区间为________．15．已知，分别是关于的方程，的根，则________16．已知函数的定义域为，对任意实数，，都有，且当时，．若，对任意，恒成立，则实数的取值范围为________．四．解答题：本题共6小题．17题10分，18—22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设为实数，，集合，．（1）若，求，；（2）若，求实数的取值范围．18．已知点在角的终边上，且．（1）求和的值；（2）求的值．19．杭州亚运会田径比赛于2023年10月5日收官．在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌．人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段．现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间）．疲劳阶段由于体力消耗过大变为的减速运动（表示该阶段所用时间），疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力．已知该运动员初始体力为，不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题：（1）请写出该运动员剩余体力关于时间的函数；（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？20．我们知道，函数图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（1）利用上述结论，证明：函数的图像关于成中心对称图形；（2）判断函数的单调性（无需证明），并解关于的不等式：．21．定义：对于函数，当时，值域为，则称区间为函数的一个“倒值映射区间”．已知一个定义在上的奇函数，当时，．（1）求的解析式；（2）求函数在内的“倒值映射区间”；（3）求函数在定义域内的所有“倒值映射区间”．22．已知函数是偶函数．（1）求的值；（2）设函数，若有唯一零点，求实数的取值范围．参考答案1．A 2．C 3．A 4．D5．B 6．D 7．D 8．B9．AD 10．BC 11．ABCD 12．BD12．【解析】，函数的定义域为，A，当时，，而，在上都单调递增，因此函数在上单调递增，A错误；B，因为，因此函数的图象关于直线对称，B正确；C，对实数，由A知，函数在上单调递增，则函数在上最多一个零点，由对称性，函数在上最多一个零点，因此函数在上最多两个零点，C错误；D，当时，，而，对称性及A知，在上单调递减，当时，得，当时，得，即的解集为，所以存在实数，使得关于的不等式的解集为，D正确．故选：BD13．14．或15．202316．16【解析】取，则有，所以，取，，则有，所以为奇函数，任意，，，则，因为，所以，令，，则有，即，所以在定义域上单调递减，所以在上单调递减，令，，，所以，所以，因为对任意，恒成立，所以对任意恒成立，分离变量可得，因为函数对任意恒成立，，解得，故答案为：．17．解：（1）， 2分，3分 5分（2）易知恒成立，即或 8分解得或所以 10分18．（1）由三角函数的定义知：则于是， 3分得 6分（2）已知终边过点得， 8分于是有 12分（如果用（1）问的正余弦值计算，亦可）19．解：（1）根据题意代入与公式可得； 6分（2）①稳定阶段中单调递减，此过程中最小值； 8分②疲劳阶段，则有； 10分当且仅当，即时，“”成立， 11分所以疲劳阶段中体力最低值为5200kJ，由于，因此，在时，运动员体力有最小值5200kJ． 12分20．解：（1）证明：由题意，只需证明为奇函数，又易知函数定义域为．，，，所以为奇函数，所以的图像关于成中心对称图形． 6分（2）易知为增函数，且，对任意的恒成立，所以为减函数．又由（1）知，点与点关于点成中心对称，即，所以原不等式等价于， 8分所以，即，由解得，，当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为． 12分21．解：（1）是定义在上的奇函数，则， 1分当时，则，，又是奇函数，则， 3分所以 4分（2）设，函数，因为在上递减，且在上的值域为，所以解得，所以函数在内的“倒值映射区间”为． 8分（3）因为在时，函数值的取值区间恰为，其中且，，所以则，只考虑或，①当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，，则，所以，，则，由（2）知，此时的“倒值映射区间”为； 10分②当时，可知因为函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，，则，所以，，当，在上递减，且在上的值域为，所以解得，所以的“倒值映射区间”为； 11分综上，