北京市重点中学2023-2024学年高二上学期期末数学模拟试卷（含答案）

北京市重点中学2023-2024第一学年高二数学期末模拟试卷一．选择题（(本大题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知抛物线方程为x2＝2y，则其准线方程为（）A．y＝﹣1 B．x＝﹣1 C． D．2．下列直线与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2相切的是（）A．y＝﹣x B．y＝x C．y＝﹣2x D．y＝2x3．在等比数列{an}中，若a3＝2，a5＝8，则a7＝（）A．10 B．16 C．24 D．324．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β5．北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一．其中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存．某同学欲从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则选取的3个中一定有故宫的概率为（）A． B． C． D．6．已知半径为2的圆经过点（1，0），其圆心到直线3x﹣4y+12＝0的距离的最小值为（）A．0 B．1 C．2 D．37．设{an}是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，则“d＞0”是“{Sn}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若AB＝25m，BC＝AD＝10m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（）A．102m B．112m C．117m D．125m9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，PD⊥平面ABCD，点M为底面上的动点，M到PD的距离记为d，若MC＝2d，则点M在底面正方形内的轨迹的长度为（）A．2 B． C． D．10．对任意m∈N+，若递增数列{an}中不大于2m的项的个数恰为m，且a1+a2+⋯+an＝100，则n的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．7二．填空题（(本大题共5小题，每小题5分）11．在“互联网+”时代，国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合，实现线上、线下融合式教学模式变革．某校高一、高二和高三学生人数如图所示．采用分层抽样的方法调查融合式教学模式的实施情况，在抽取样本中，高一学生有16人，则该样本中的高三学生人数为．12．在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知过坐标原点O的平面α的一个法向量是＝（0，0，﹣1），点P（3，﹣4，5）到平面α的距离为．13．已知双曲线的一个焦点为，且与直线y＝±2x没有公共点，则双曲线的方程可以为．14．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点M（4，4），那么抛物线C的准线方程为，设N为平面直角坐标系xOy内一点，若线段MN的垂直平分线过抛物线C的焦点F，那么线段FN的长度为．15．已知曲线E的方程为，给出下列四个结论：①若点M（x，y）是曲线E上的点，则x≤2，y∈R；②曲线E关于x轴对称，且关于原点对称；③曲线E与x轴，y轴共有4个交点；④曲线E与直线只有1个交点．其中所有正确结论的序号是．三．解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步）16（13分）．已知△OAB的三个顶点分别是O（0，0），A（2，0），B（4，2）．（Ⅰ）求△OAB的外接圆C的方程；（Ⅱ）求直线l：4x+3y﹣8＝0被圆C截得的弦的长．17（14分）．已知等差数列{an}满足a1+a2＝10，a4﹣a3＝2．（1）求{an}的通项公式；（2）设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？（3）在（2）的条件下，设cn＝5an﹣bn数列{cn}的前n项和为Sn，求：当n为何值时，Sn的值最大？18（14分）．近年来共享单车在我国主要城市发展迅速．目前市场上有多种类型的共享单车，有关部门对其中三种共享单车方式（M方式、Y方式、F方式）进行统计（统计对象年龄在15～55岁），相关数据如表1，表2所示．三种共享单车方式人群年龄比例（表1）方式年龄分组M方式Y方式F方式[15，25）25%20%35%[25，35）50%55%25%[35，45）20%20%20%[45，55]5%a%20%不同性别选择共享单车种类情况统计（表2）性别使用单车种类数（种）男女120%50%235%40%345%10%（Ⅰ）根据表1估算出使用Y共享单车方式人群的平均年龄；（Ⅱ）若从统计对象中随机选取男女各一人，试估计男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数的概率；（Ⅲ）现有一个年龄在25～35岁之间的共享单车用户，那么他使用Y方式出行的概率最大，使用F方式出行的概率最小，试问此结论是否正确？（只需写出结论）19（15分）．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝4，PA＝PD，E，F分别为BC，PD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAB；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角F﹣BE﹣A的余弦值．条件①：PD⊥EF；条件②：PD＝EF．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．20（15分）．已知点A（0，﹣1）在椭圆C：+＝1上．（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；（Ⅱ）设直线l：y＝k（x﹣1）（其中k≠1）与椭圆C交于不同两点E，F，直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N．当△AMN的面积为3时，求k的值．21（15分）．对于给定的正整数m和实数a，若数列{an}满足如下两个性质：①a1+a2+⋯+am＝a；②对∀n∈N*，an+m＝an，则称数列{an}具有性质Pm（a）．（Ⅰ）若数列{an}具有性质P2（1），求数列{an}的前10项和；（Ⅱ）对于给定的正奇数t，若数列{an}同时具有性质P4（4）和Pt（t），求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）若数列{an}具有性质Pm（a），求证：存在自然数N，对任意的正整数k，不等式≥均成立．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【答案】D【分析】利用抛物线方程直接求解准线方程即可．【解答】解：抛物线x2＝2y的准线方程为：y＝﹣，故选：D．2．【答案】A【分析】根据题意，分析圆的圆心以及半径，进而依次计算圆心到选项中直线的距离，分析直线与圆的位置关系，即可得答案．【解答】解：根据题意，圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2的圆心与（1，1），半径r＝，据此分析选项：对于A，圆心（1，1）到直线y＝﹣x的距离d＝＝＝r，直线与圆相切，符合题意；对于B，圆心（1，1）在直线y＝x上，直线与圆不相切，不符合题意；对于C，圆心（1，1）到直线y＝﹣2x即2x+y＝0的距离d＝＝＜r，直线与圆相交，不符合题意；对于D，圆心（1，1）到直线y＝2x即2x﹣y＝0的距离d＝＝＜r，直线与圆相交，不符合题意；故选：A．3．【答案】D【分析】根据等比数列的性质即可求出．【解答】解：等比数列{an}中，若a3＝2，a5＝8，则a7＝＝＝32，故选：D．4．【答案】B【分析】对于A，α与β相交或平行；对于B，由面面垂直的判定定理得α⊥β；对于C，l与β平行或l⊂β；对于D，l与β相交、平行或l⊂β．【解答】解：设l是直线，α，β是两个不同的平面，对于A，若l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故A错误；对于B，若l∥α，l⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；对于C，若α⊥β，l⊥α，则l与β平行或l⊂β，故C错误；对于D，若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故D正确．故选：B．5．【答案】D【分析】分别求出这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个的种数和选取的3个中一定有故宫的种数，再由古典概型代入即求出结果．【解答】解：设这11个重要建筑依次为a，b，c，d，e，f，g，h，i，j，k，其中故宫为d，某同学欲从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，基本事件有11个，分别为：（a，b，c），（b，c，d），（c，d，e），（d，e，f），（e，f，g），（f，g，h），（g，h，i），（h，i，j），（i，j，k），其中选取的3个中一定有故宫的基本事件有3个，分别为：（b，c，d），（c，d，e），（d，e，f），∴选取的3个中一定有故宫的概率P＝．故选：D．6．【答案】B【分析】求出（1，0）到直线的距离，结合圆的半径，判断求解即可．【解答】解：点（1，0）到直线3x﹣4y+12＝0的距离为：＝3，因为半径为2的圆经过点（1，0），所以圆心到直线3x﹣4y+12＝0的距离的最小值为：3﹣2＝1．故选：B．7．【答案】D【分析】根据等差数列的前n项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由Sn+1＞Sn⇔（n+1）a1+d＞na1+d⇔dn+a1＞0⇔d≥0且d+a1＞0．即数列{Sn}为递增数列的充要条件d≥0且d+a1＞0，则“d＞0”是“{Sn}为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D．8．【答案】C【分析】先根据线面角的定义求得，从而依次求EO，EG，EB，EF，再把所有棱长相加即可得解．【解答】解：如图，过E做EO⊥平面ABCD，垂足为O，过E分别做EG⊥BC，EM⊥AB，垂足分别为G，M，连接OG，OM，由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为∠EMO和∠EGO，所以．因为EO⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以EO⊥BC，因为EG⊥BC，EO，EG⊂平面EOG，EO∩EG＝E，所以BC⊥平面EOG，因为OG⊂平面EOG，所以BC⊥OG，同理，OM⊥BM，又BM⊥BG，故四边形OMBG是矩形，所以由BC＝10得OM＝5，所以，所以OG＝5，所以在直角三角形EOG中，在直角三角形EBG中，BG＝OM＝5，，又因为EF＝AB﹣5﹣5＝25﹣5﹣5＝15，所有棱长之和为2×25+2×10+15+4×8＝117m．故选：C．9．【答案】B【分析】在平面中求得M点的轨迹方程，从而求得轨迹的长度．【解答】解：由于PD⊥平面ABCD，DM⊂平面ABCD，所以PD⊥DM，所以|DM|＝d，|MC|＝2d，在正方形ABCD中，建立平面直角坐标系如下图所示，C（3，0），设M（x，y），则，|MC|2＝4|DM|2，（x﹣3）2+y2＝4x2+4y2，x2+y2+2x﹣3＝0，（x+1）2+y2＝4，所以M点的轨迹是以E（﹣1，0）为圆心，半径为2的圆．由（x+1）2+y2＝4，令x＝0，解得y＝，则F（0，﹣），由于|DE|＝1，所以∠DEF＝，所以M点的轨迹在底面正方形内的长度是．故选：B．10．【答案】A【分析】先由条件得出an≤2n，进而结合等差数列前n项和列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由递增数列{an}中不大于2m的项的个数恰为m可知an≤2n，又a1+a2+⋯+an＝100，故2+4+6+⋯+2n≥100，即，解得或，又n∈N*，故n的最小值为10．故选：A．二．填空题（共5小题）11．【答案】12．【分析】根据直方图求出抽样比例，再计算抽取高三人数．【解答】解：根据直方图知，抽样比例为＝，所以应该抽取高三人数为600×＝12（人）．故答案为：12．12．【答案】5．【分析】根据题意，求出向量的坐标，由点到平面的距离公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，点P（3，﹣4，5），则＝（3，﹣4，5），平面α的一个法向量是＝（0，0，﹣1），则点P（3，﹣4，5）到平面α的距离d＝＝＝5，故答案为：5．13．【答案】见试题解答内容【分析】由题意得c＝，且双曲线的渐近线方程为y＝±x，可得＝2且c2＝a2+b2，求解即可得出答案．【解答】解：由题意得c＝，且双曲线的渐近线方程为y＝±x，∵双曲线与直线y＝±2x没有公共点，∴取直线y＝±2x为渐近线，则＝2，又c2＝a2+b2，则a2＝1，b2＝4，∴双曲线的方程可以是x2﹣＝1．故答案为：x2﹣＝1（答案不唯一）．14．【答案】x＝﹣1，5．【分析】将M的坐标代入抛物线的方程，求得p，可得抛物线的方程和准线方程；再由线段的垂直平分线的性质和两点的距离公式，可得所求长度．【解答】解：由抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点M（4，4），可得42＝8p，解得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝﹣1，由线段MN的垂直平分线过抛物线C的焦点F（1，0），可得|FN|＝|FM|＝＝5．故答案为：x＝﹣1，5．15．【答案】①④．【分析】先分x＜0和0≤x≤2整理得到曲线方程，然后作出曲线的图像即可判断．【解答】解：当x＜0时，曲线方程为，当0≤x≤2时，曲线方程为，故作出曲线E分图像如下：由图象知：x≤2，y∈R，①正确；曲线E关于x轴对称，不关于原点对称，②错误；曲线E与x轴，y轴共有3个交点，③错误；当x＞0时，曲线E与直线必有1个交点，当x＜0时，联立直线方程和曲线方程得到，整理得到0＝1，很显然无解，所以曲线E与直线只有1个交点，④正确，故答案为：①④．三．解答题（共6小题）16．【答案】（1）an＝2n+2；（2）63；（3）当n＝4时，Sn有最大值80．【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，运用等差数列的通项公式求得首项和公差，从而可得{an}的通项公式；（2）设等比数列{bn}的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得所求值；（3）由（2）可知bn，可得cn，从而利用分组求和法即可求出Sn，进一步结合{cn}的单调性即可求出Sn的最大值．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则d＝a4﹣a3＝2，又a1+a2＝10，得a1+a1+2＝10，解得a1＝4，所以an＝4+2（n﹣1）＝2n+2；（2）设等比数列{bn}的公比为q，则b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，所以q＝＝＝2，b1＝＝4，所以b6＝4×25＝128，令an＝2n+2＝128，解得n＝63．故b6是数列{an}的第63项；（3）由（2）可知bn＝4×2n﹣1＝2n+1，则cn＝5an﹣bn＝5（2n+2）﹣2n+1，所以Sn＝5（4+6+…+2n+2）﹣＝5×（4+2n+2）+2n+2﹣4＝﹣2n+2+5n2+15n+4，又cn+1﹣cn＝[10+10（n+1）﹣2n+2]﹣（10+10n﹣2n+1）＝10﹣2n+1，所以当n≤2时，cn+1﹣cn＞0，{cn}单调递增，当n≥3时，cn+1﹣cn＜0，{cn}单调递减，且c4＝50﹣25＝50﹣32＞0，c5＝60﹣26＝60﹣64＜0，所以当n≥5时，cn＜0，当n≤4时，cn＞0，所以当n＝4时，Sn有最大值且最大值为S4＝﹣24+2+5×42+15×4+4＝80．17．【答案】（I）x2+y2﹣2x﹣6y＝0．（Ⅱ）6．【分析】（Ⅰ）设△OAB的外接圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，D2+E2﹣4F＞0，把O（0，0），A（2，0），B（4，2）代入可得关于D，E，F方程组，解得D，E，F，即可得出△OAB的外接圆C的一般方程．（Ⅱ）由（I）可得：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝10，可得圆心C（1，3），半径r＝，利用点到直线的距离公式可得圆心C到直线l的距离d，即可得出直线l：4x+3y﹣8＝0被圆C截得的弦的长＝2．【解答】解：（Ⅰ）设△OAB的外接圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，D2+E2﹣4F＞0，把O（0，0），A（2，0），B（4，2）代入可得，解得D＝﹣2，E＝﹣6，F＝0，∴△OAB的外接圆C的一般方程为x2+y2﹣2x﹣6y＝0．（Ⅱ）由（I）可得：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝10，圆心C（1，3），半径r＝，圆心C到直线l的距离d＝＝1，∴直线l：4x+3y﹣8＝0被圆C截得的弦的长＝2×＝6．18．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）由题意，a%＝1﹣0.2﹣0.55﹣0.2＝0.05，求出a，利用组中值估算出使用Y共享单车方式人群的平均年龄；（Ⅱ）若从统计对象中随机选取男女各一人，分类讨论，即可估计男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数的概率；（Ⅲ）用Y方式出行与使用F方式出行没有关系．【解答】解：（Ⅰ）由题意，a%＝1﹣0.2﹣0.55﹣0.2＝0.05，∴a＝5，∴使用Y共享单车方式人群的平均年龄＝+++＝31；（Ⅱ）记男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数为事件M，则男性使用2种，女性使用1种的概率＝0.35×0.5＝0.175，男性使用3种，女性使用1种的概率＝0.45×0.5＝0.225，男性使用3种，女性使用2种的概率＝0.45×0.4＝0.18，∴P（M）＝0.175+0.225+0.18＝0.58；（Ⅲ）不正确．19．【答案】（Ⅰ）证明过程见解答；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）取PA中点G，连接FG，EG，根据线面平行的判定定理，即可证明结论；（Ⅱ）取AD中点O，连接OP，OE，由题意得OP、OE、OA两两垂直，建立以O为原点，以OA、OE、OP所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系O﹣xyz，设P（0，0，2a）（a＞0），利用向量法，即可得出答案．【解答】解：（Ⅰ）证明：取PA中点G，连接FG，EG，如图所示：∵F为PD的中点，∴FG∥AD，FG＝AD，∵E是BC的中点，∴BE＝BC，在正方形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴FG∥BE且FG＝BE，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG，又EF⊄平面PAB，BG⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB；（Ⅱ）取AD中点O，连接OP，OE，∵PA＝PD，∴PO⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PO⊥平面ABCD，又OE⊂平面ABCD，∴OP⊥OE，在正方形ABCD中，OE⊥OA，则建立以O为原点，以OA、OE、OP所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示：设P（0，0，2a）（a＞0），则O（0，0，0），B（2，4，0），D（﹣2，0，0），E（0，4，0），F（﹣1，0，a），∴＝（2，0，0），＝（﹣1，﹣4，a），＝（2，0，2a），设平面BEF的一个法向量为＝（x，y，z），则，取y＝a，则x＝0，z＝4，∴平面BEF的一个法向量为＝（0，a，4），又OP⊥平面BAE，则平面ABE的一个法向量为＝（0，0，1），∴|cos＜＞|＝＝，若选取条件①：PD⊥EF，∴，即﹣2+2a2＝0，解得a＝1或a＝﹣1（不合题意，舍去），由图形得二面角F﹣BE﹣A的平面角为锐角，则|cos＜＞|＝，故二面角F﹣BE﹣A的余弦值为；若选取条件②：PD＝EF，则＝，解得a＝1或a＝﹣1（不合题意，舍去），由图形得二面角F﹣BE﹣A的平面角为锐角，则|cos＜＞|