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文档简介
高三年级12月联考数学注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容:高考全部内容(除计数原理、概率、随机变量及其分布外).一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则()A. B. C. D.2.已知复数满足,则()A. B. C. D.23.已知单位向量满足,则()A.1 B. C. D.4.根据表中的数据,用最小二乘法得到与的线性回归方程为,则表中的值为2345620406070A. B.20 C. D.255.已知,则()A. B. C. D.6.已知抛物线的焦点为,是上一点,且到的距离与到的对称轴的距离之差为2,则()A. B.1 C.2或4 D.4或367.已知数列的前项和为,且,若恒成立,则的最小值是()A. B.4 C. D.58.在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可应用到有限维空间,并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔,简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数,存在一个实数,使得,那么我们称该函数为“不动点”函数,为函数的不动点.设函数,若在区间上存在不动点,则的取值范围是()A. B.C. D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.根据国家统计局发布的数据,我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速如图所示,则()A.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为B.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为C.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的分位数为D.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为10.已知圆,圆,则()A.直线与直线垂直B.与没有公共点C.与的位置关系为外离D.若,分别为圆与圆上的动点,则的最大值为11.已知函数的定义域为,,则A. B. C.为奇函数 D.没有极值点12.如图,在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体,已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是,则()A.这两个球体的半径之和的最大值为B.这两个球体的半径之和的最大值为C.这两个球体的表面积之和的最大值为D.这两个球体的表面积之和的最大值为三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若双曲线的一条渐近线的斜率大于1,则的取值范围为______.14.如图,在直三棱柱中,,,是的中点,则异面直线与所成角的余弦值为______.15.已知函数,的图象关于直线对称,且在上单调,则的最大值为______.16.已知函数,若函数有4个零点,且其4个零点成等差数列,则______.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字证明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在中,内角的对边分别为.已知,,.(1)求的值;(2)求的值.18.(12分)已知数列满足,.(1)求的通项公式;(2)若,求数列的前项和.19.(12分)已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)求在上的最值.20.(12分)如图,在五面体中,四边形为矩形,平面,且,正三角形的边长为2.(1)证明:.(2)若,且直线与平面所成角的正弦值为,求的值.21.(12分)圆称为椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为,的蒙日圆方程为.(1)求的方程;(2)若为的左焦点,过上的一点作的切线,与的蒙日圆交于,两点,过作直线与交于,两点,且,证明:是定值.22.(12分)(1)证明:当时,.(2)已知函数,试讨论的零点个数.高三年级12月联考数学参考答案1.D,,.2.B.3.C,.4.B由表中数据,计算可得,,因为回归直线过样本中心点,所以有,解得.5.D因为,所以,可得,所以.6.D有题可知,解得或.7.B,,两式相减可得,所以.因为,所以,即.故.8.A由题意可得,在上有解,即有解.令,,则.令函数,.当时,,所以在上单调递增.为偶函数,所以在上单调递减.,.故,.9.ABD我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速从小到大依次为,,,,,,,.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为,A正确.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为,B正确.,我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的分位数为,C错误.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为,D正确.10.BD由题意可知圆,圆,则,,则.A不正确.因为,所以与的位置关系为内含.B正确,C不正确.由题易知的最大值为.D正确.11.AC令,得,A正确.令,得,令,得,则为奇函数,C正确.由,可得,当时,可设,则当时,,,当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,此时有极值点,D错误.的值不确定,B错误.12.BC当这两个球体的表面积之和取最大值时,有一个球体和圆锥的底面相切,过底面圆的直径作截面,如图所示.过点作,垂足为,过点作垂足为,过点作,垂足为.设圆的半径为,圆的半径为,的最大值为,且取最大值时,,所以,.,,.因为,所以①,整理得,解得.令函数,,.令函数,,所以是增函数.又因为,,所以,,所以,,,,即,,,,所以在上单调递减,在上单调递增.因为,所以,即这另个球体的半径之和的最大值为.由①可得,这两个球体的表面积之和为.令,函数在上单调递增,所以,即这两个球体的表面积之和的最大值为.13.的渐近线方程为,则,解得.14.取的中点,连接.因为是的中点,所以.又,,三棱柱为直三棱柱,所以,,,,故异面直线与所成角的余弦值为.15.因为的图象关于直线对称,所以,解得.因为在上单调,所以,即,解得.当时,.当时,,所以当时,单调递减,故的最大值为.16.因为是偶函数,所以,.因为成等差数列,所以,则.因为,所以,解得,.17.解:(1)因为,所以.因为,所以,解得.(2)由(1)可得.因为,所以,解得.18.解:(1)因为,所以,,…,,累加得,所以.(2)..注:答案写成不扣分.19.解:(1)因为,所以,则,,故曲线在点处的切线方程为.(2)因为,所以当时,,当时,,则在上单调递增,在上单调递减.又,,,所以在上的最大值为,最小值为.20.(1)证明:因为四边形为矩形,所以.又,,所以.因为平面,,所以.又,,所以.(2)解:分别取的中点,连接,因为平面,为正三角形,所以以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,.设,则,,,设平面的法向量,则由得令,得.因为直线AE与平面BCF所成角的正弦值为,所以,解得或(舍去),故.21.(1)解:由题意得得所以C的方程为.(2)证明:当的斜率等于0时,,,所以.当的斜率不等于0时,设,则.由得,令,得.设O到的距离为d,则,得.设,,由得,则则.故.综上,是定值.22.(1)证明:令函数.当时,;当时,.所以在上单调递增,在上单调递减.所以,即.令函数,,所以在上单调递增,所以,即,即.综上,当时,.(2)解:的定义域为,且..令函数,解得,.所以,即
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