河北省保定市部分高中2023-2024学年高三上学期12月联考数学试题（含答案）

高三年级12月联考数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：高考全部内容（除计数原理、概率、随机变量及其分布外）．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．已知复数满足，则（）A． B． C． D．23．已知单位向量满足，则（）A．1 B． C． D．4．根据表中的数据，用最小二乘法得到与的线性回归方程为，则表中的值为2345620406070A． B．20 C． D．255．已知，则（）A． B． C． D．6．已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（）A． B．1 C．2或4 D．4或367．已知数列的前项和为，且，若恒成立，则的最小值是（）A． B．4 C． D．58．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个实数，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点．设函数，若在区间上存在不动点，则的取值范围是（）A． B．C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．根据国家统计局发布的数据，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速如图所示，则（）A．我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为B．我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为C．我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的分位数为D．我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为10．已知圆，圆，则（）A．直线与直线垂直B．与没有公共点C．与的位置关系为外离D．若，分别为圆与圆上的动点，则的最大值为11．已知函数的定义域为，，则A． B． C．为奇函数 D．没有极值点12．如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则（）A．这两个球体的半径之和的最大值为B．这两个球体的半径之和的最大值为C．这两个球体的表面积之和的最大值为D．这两个球体的表面积之和的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若双曲线的一条渐近线的斜率大于1，则的取值范围为______．14．如图，在直三棱柱中，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______．15．已知函数，的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值为______．16．已知函数，若函数有4个零点，且其4个零点成等差数列，则______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字证明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在中，内角的对边分别为．已知，，．（1）求的值；（2）求的值．18．（12分）已知数列满足，．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．19．（12分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求在上的最值．20．（12分）如图，在五面体中，四边形为矩形，平面，且，正三角形的边长为2．（1）证明：．（2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．21．（12分）圆称为椭圆的蒙日圆．已知椭圆的离心率为，的蒙日圆方程为．（1）求的方程；（2）若为的左焦点，过上的一点作的切线，与的蒙日圆交于，两点，过作直线与交于，两点，且，证明：是定值．22．（12分）（1）证明：当时，．（2）已知函数，试讨论的零点个数．高三年级12月联考数学参考答案1．D，，．2．B．3．C，．4．B由表中数据，计算可得，，因为回归直线过样本中心点，所以有，解得．5．D因为，所以，可得，所以．6．D有题可知，解得或．7．B，，两式相减可得，所以．因为，所以，即．故．8．A由题意可得，在上有解，即有解．令，，则．令函数，．当时，，所以在上单调递增．为偶函数，所以在上单调递减．，．故，．9．ABD我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速从小到大依次为，，，，，，，．我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为，A正确．我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为，B正确．，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的分位数为，C错误．我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为，D正确．10．BD由题意可知圆，圆，则，，则．A不正确．因为，所以与的位置关系为内含．B正确，C不正确．由题易知的最大值为．D正确．11．AC令，得，A正确．令，得，令，得，则为奇函数，C正确．由，可得，当时，可设，则当时，，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，此时有极值点，D错误．的值不确定，B错误．12．BC当这两个球体的表面积之和取最大值时，有一个球体和圆锥的底面相切，过底面圆的直径作截面，如图所示．过点作，垂足为，过点作垂足为，过点作，垂足为．设圆的半径为，圆的半径为，的最大值为，且取最大值时，，所以，．，，．因为，所以①，整理得，解得．令函数，，．令函数，，所以是增函数．又因为，，所以，，所以，，，，即，，，，所以在上单调递减，在上单调递增．因为，所以，即这另个球体的半径之和的最大值为．由①可得，这两个球体的表面积之和为．令，函数在上单调递增，所以，即这两个球体的表面积之和的最大值为．13．的渐近线方程为，则，解得．14．取的中点，连接．因为是的中点，所以．又，，三棱柱为直三棱柱，所以，，，，故异面直线与所成角的余弦值为．15．因为的图象关于直线对称，所以，解得．因为在上单调，所以，即，解得．当时，．当时，，所以当时，单调递减，故的最大值为．16．因为是偶函数，所以，．因为成等差数列，所以，则．因为，所以，解得，．17．解：（1）因为，所以．因为，所以，解得．（2）由（1）可得．因为，所以，解得．18．解：（1）因为，所以，，…，，累加得，所以．（2）．．注：答案写成不扣分．19．解：（1）因为，所以，则，，故曲线在点处的切线方程为．（2）因为，所以当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减．又，，，所以在上的最大值为，最小值为．20．（1）证明：因为四边形为矩形，所以．又，，所以．因为平面，，所以．又，，所以．（2）解：分别取的中点，连接，因为平面，为正三角形，所以以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．设，则，，，设平面的法向量，则由得令，得．因为直线AE与平面BCF所成角的正弦值为，所以，解得或（舍去），故．21．（1）解：由题意得得所以C的方程为．（2）证明：当的斜率等于0时，，，所以．当的斜率不等于0时，设，则．由得，令，得．设O到的距离为d，则，得．设，，由得，则则．故．综上，是定值．22．（1）证明：令函数．当时，；当时，．所以在上单调递增，在上单调递减．所以，即．令函数，，所以在上单调递增，所以，即，即．综上，当时，．（2）解：的定义域为，且．．令函数，解得，．所以，即