新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 圆的切线方程（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第第页参考答案1．C【解析】【分析】确定点在圆上，即可求得圆心和该点连线的斜率，即得过该点的切线的斜率，由直线的点斜式方程可得答案.【详解】将点代入中，成立，即点在圆上，圆心和连线的斜率为，故过圆上点的切线的斜率为，则切线方程为，即，故选：C2．A【解析】【分析】直线经过点，且与圆相切可知，再使用点斜式即可.【详解】直线经过点，且与圆相切，则,故直线的方程为，即.故选：A.3．C【解析】【分析】判断P点在圆上，圆心为原点O，则切线斜率为，根据直线方程的点斜式写出切线方程，令x＝0即可求出它在y轴上的截距.【详解】∵，∴P在圆上，设圆心为O，则，则过P的切线斜率，∴切线方程为：，令得.故选：C.4．D【解析】【分析】由题意可知切线的斜率存在，可设切线的斜率为，由点斜式得切线，再根据直线与圆相切，圆心到的距离为代入计算．【详解】圆的圆心，半径点关于轴对称的点为，则过点与圆相切的直线即为所求．由题意可知切线的斜率存在，可设切线的斜率为则的方程为即圆心到的距离为，解得，故选：D．5．C【解析】【分析】先求出过点的直线与圆相切的直线方程，利用两直线垂直列方程求出m.【详解】设过点的直线为l.（1）当l的斜率不存在时，直线l：.圆的圆心到l的距离为，所以不是圆的切线，不合题意.（2）当l的斜率存在时，直线l：.由题意可得：，解得：k=2.因为l与直线垂直，所以，解得：m=-2.故选：C6．C【解析】【分析】先确定的面积最小时点坐标，再由是直角三角形求出外接圆的圆心和半径，即可求出外接圆方程.【详解】由题可知，，半径，圆心，所以，要使的面积最小，即最小，的最小值为点到直线的距离，即当点运动到时，最小，直线的斜率为，此时直线的方程为，由，解得，所以，因为是直角三角形，所以斜边的中点坐标为，而，所以的外接圆圆心为，半径为，所以的外接圆的方程为.故选：C.7．C【解析】【分析】首先得到圆的圆心坐标与半径，设，利用距离公式求出，根据二次函数的性质求出的最小值，即可求出切线长最小值；【详解】解：圆的圆心为，半径，因为为抛物线上的动点，设，则，所以当时，过点作圆的切线，此时切线长最小，最小为；故选：C8．B【解析】【分析】利用面积相等求出.设，得到.利用几何法分析出，即可求出的最小值.【详解】圆：化为标准方程：，其圆心,半径.过点P引圆C的两条切线,切点分别为点A、B,如图：在△PAC中,有，即，变形可得：.设，则.所以当的值即x最小时，的值最大，此时最小.而的最小值为点C到直线的距离，即，所以.故选：B9．A【解析】【分析】根据圆的切线性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可.【详解】圆的圆心坐标为，半径为，因为过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，所以有，，因此有，要想四边形周长最小，只需最小，即当时，此时，此时，即最小值为，故选：A【点睛】关键点睛：利用圆切线性质是解题的关键.10．C【解析】【分析】利用几何法，由圆心到直线的距离等于半径列方程，即可求解.【详解】因为直线与圆相切，所以由圆心到直线的距离等于半径得：，即，解得：.故选：C11．A【解析】【分析】根据双曲线标准方程求出其渐近线方程，根据圆心到直线的距离等于半径即可求出a的值．【详解】双曲线的渐近线为y＝，即x±y＝0，圆化为，则4－a＞0，a＜4，圆心为(2，0)，半径r＝，由题可知，解得．故选：A．12．B【解析】【分析】由圆的方程可得且半径，两点距离公式有，根据圆的切线性质，应用勾股定理有，再应用等面积法求切点N到直线PM的距离.【详解】由题设，且半径，故，又N是切点，则，若切点N到直线PM的距离为，所以，故.故选：B13．A【解析】【分析】求出圆心及半径，分直线斜率不存在和存在两种情况，当斜率存在时，可设切线方程为，由直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，列出方程，解得即可得出答案.【详解】解：化为标准方程，即得圆心和半径，当切线斜率不存在时，切线方程为，此时，圆心到切线的距离为，不符题意，故舍去；当斜率存在时，设过坐标原点的切线方程为，即，∴线心距，平方去分母得，解得或，∴所求的切线方程为或，故选：A.14．A【解析】【分析】根据直线是圆的对称轴，则圆心在直线l上，求得，由过点作圆C的一条切线，切点为B，利用勾股定理即可求得.【详解】由方程得，圆心为，因为直线l是圆C的对称轴，所以圆心在直线l上，所以，所以A点坐标为，则，所以.故选：A．15．C【解析】【分析】根据给定条件结合圆的性质、圆的切线长定理逐项分析各个选项，计算判断作答.【详解】圆O：的圆心，半径，如图，对于A，点O到直线l的距离，则点P到圆O上的点的最小距离为，A不正确；对于B，由选项A知，，由切线长定理得，B不正确；对于C，依题意，，在中，，则，由选项B知，，而函数在上单调递增，则当时，，C正确；对于D，，，由选项B知，显然对单调递增，因此，当时，，D不正确.故选：C16．D【解析】【分析】根据给定条件，利用切线长定理求出四边形周长最小时点M的坐标即可求解作答.【详解】圆的圆心，半径，点C到直线l的距离，依题意，，四边形周长，当且仅当时取“=”，此时直线，由得点，四边形的外接圆圆心为线段中点，半径，方程为.故选：D17．D【解析】【分析】根据题意得切点弦的方程为，进而根据其与圆相切得，即，进而根据二次函数性质得最小值.【详解】解：设点，，，，因为分别以点为切点作圆的切线．设直线的交点为，所以，则，即，所以，因为，所以，即是方程的解，所以点在直线上，同理可得在直线上，所以切点弦的方程为，因为直线与圆相切，所以，解得，即所以，所以当时，直线方程为，此时所以的最小值为.故选：D18．D【解析】【分析】依题意可知动点在直线：上移动，当与直线垂直时，最小，从而切线长最小.由点到直线距离公式求得的最小值，进而可得结果.【详解】圆：，圆心为，半径.依题意知，直线过圆心，所以，即动点在直线：上移动.所以，当与直线垂直时，最小，从而切线长最小，.此时，切线长的最小值为.故选：D.19．A【解析】【分析】设，由切线长公式得，由此得关于的恒等式，恒等式知识可求得值，从而得结论，注意两圆外离．【详解】设．∵过直线上任意一点P分别作圆的切线，切点分别为M，N，且均保持，∴，即，即，∴且，∴或∵圆与圆外离，∴，∴，∴，故选：A．20．A【解析】首先分析出当，分别为圆的切线时，最大，过圆心作直线的垂线，垂足即为取得最大值时的点，可得，在中，可得，设可列方程，结合点满足直线的方程，即可求的坐标.【详解】由圆：可得，所以圆心为，半径.因为点到的距离，所以与圆相离，由图知当，分别为圆的切线时，最大，若最大，则最大，因为，所以最小时，最大，当时，最小，最大，则最大，因为此时，所以，在中，，设，则①，②，由可得代入②可得：解得：.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分析出时，且，分别为圆的切线时最大，设列方程，可求点的坐标.21．A【解析】【分析】求得圆的圆心坐标和半径，借助，即可求解.【详解】如图所示，设圆的圆心坐标为，半径为，则,，则，可得，故选A.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到圆的切线方程应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.22．D【解析】圆心为在轴上，因此关于对称，即轴，在四边形中易求得的长．【详解】圆标准方程是，圆心为，半径为，所以关于对称，即关于轴对称，而，，所以，所以．故选：D．【点睛】结论点睛：过圆外一点作圆的切线，切点为，则的垂直平分线是，则由面积法得切点弦长．23．B【解析】先利用点求抛物线方程，利用相切关系求切线AB，AC，再分别联立直线和抛物线求出点，即求出直线方程.【详解】在抛物线上，故，即，抛物线方程为，设过点与圆相切的直线的方程为：，即，则圆心到切线的距离，解得，如图，直线，直线.联立，得，故，由得，故，联立，得，故，由得，故，故，又由在抛物线上可知，直线的斜率为，故直线的方程为，即.故选：B.【点睛】方法点睛：求圆的切线的方程的求法：（1）几何法：设直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径构建关系求出参数，即得方程；（2）代数法：设直线的方程，联立直线与圆的方程，使判别式等于零解出参数，即可得方程.24．B【解析】【分析】设过原点作圆两条切线方程为，切线，的斜率分别记为，，其中，是方程的两根，计算可得结论.【详解】由圆：，得圆心为，半径为.设过原点作圆两条切线方程为，由题意可知，圆心为到两条切线的距离等于，则即，设切线，的斜率分别记为，，则由已知得，就是，的斜率,因为是椭圆上的任意一点，所以，即.所以，是方程的两个实数根，所以.故选：B.25．A【解析】【分析】由圆心和切点求得切线的斜率后可得切线方程．【详解】圆可化为，所以点与圆心连线所在直线的斜率为，则所求直线的斜率为，由点斜式方程，可得，整理得.故选：A.26．D【解析】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点，设反射光线所在直线方程为，利用直线与圆相切的性质即可求得斜率.【详解】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点，设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线方程为，即，又由反射光线与圆相切，可得，整理得，解得或.故选：D.【点睛】过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况.27．A【解析】【分析】根据题意，先判断点在圆外；再讨论过点的切线斜率存在和不存在两种情况，根据直线与圆的位置关系求出切线方程，即可得出结果.【详解】由，得点在圆外，当过点的切线斜率存在时，设所求切线的斜率为，则切线方程为，即，因为圆心到切线的距离等于半径，∴，解得.故所求切线方程为；当过点的切线斜率不存在时，方程为，也满足条件.故直线的方程为或.故选：A.【点睛】本题主要考查求过圆外一点的切线方程，属于基础题型.28．C【解析】【分析】解方程即得解.【详解】解：由题得圆的圆心坐标为半径为1，所以或.故选：C29．B【解析】【分析】设，得到，利用椭圆的范围求解.【详解】解：设，则，，，因为，所以，即，故选：B30．B【解析】【分析】由条件求出参数，再根据切线的性质.【详解】圆的圆心为，半径为，因为直线平分圆的周长，所以直线经过，所以，故，由已知，，，圆的半径为3，所以，故选：B.31．D【解析】【分析】判断点在圆上，再由切线的几何性质求斜率，进而求切线方程.【详解】，在圆上，且，过的切线斜率为.过的切线方程为：，即.故选:D.32．C【解析】取圆上任意一点P，过P作圆的两条切线，，根据题中条件，求出，进而可求出结果.【详解】取圆上任意一点P，过P作圆的两条切线，，当时，且，；则，所以实数.故选：C.【点睛】本题主要考查求由直线与圆相切求参数，属于基础题型.33．C【解析】【分析】设四边形的面积为，求出四边形的面积最小时，四边形是正方形，求出线段的中点坐标为，直线的斜率为即得解.【详解】设四边形的面积为，，，所以，当最小时，就最小，，所以．此时.所以，四边形是正方形，由题得直线的方程为，联立得，所以线段的中点坐标为，由题得直线的斜率为所以直线的方程为，化简得直线的方程为.故选：C34．A【解析】【分析】利用圆心到直线的距离等于圆心到点的距离等于圆心到点的距离等于半径即可求解.【详解】设圆心坐标为，则圆心到直线的距离等于圆心到点的距离等于圆心到点的距离等于半径，即：，解得，，，∴圆的方程为故选：A.35．D【解析】【分析】由切线性质，切线长等于，因此只要最小即可，此最小值即为到直线的距离．【详解】点P为直线上到圆心C距离最小的点时，切线长最小，故有．切线长最小值为：．故选D．【点睛】本题考查切线的性质，考查点到直线的距离公式．属于基础题．36．BD【解析】【分析】求出“欧拉线”方程，利用“欧拉线”与圆相切求出，利用圆的几何性质可判断A选项的正误；计算出圆到直线的距离，可判断B选项的正误；设，利用直线与圆有公共点，求出的取值范围可判断C选项的正误；利用圆与圆的位置关系可判断D选项的正误.【详解】由题意，为等腰三角形，的欧拉线即的垂直平分线，、，的中点坐标为，直线的斜率为，则的垂直平分线方程为，即．由“欧拉线”与圆相切，所以，圆心到直线的距离为，则圆的方程为，圆心到原点的距离为，则圆上的点到原点的最大距离为，故A错误；圆心到直线的距离为，圆上存在三个点到直线的距离为，故B正确；的几何意义为圆上的点与定点连线的斜率，设，即，则直线与圆有公共点，由，解得，的最小值是，故C错误；的圆心坐标，半径为，圆的圆心坐标为，半径为，要使圆与圆有公共点，则圆心距的范围为，所以，,解得，故D正确．故选：BD．37．ACD【解析】【分析】对A，可将四边形PAMB周长转化为，结合勾股定理可求最值；对B，由圆内最长的弦为直径可判断错误；对C，由几何关系先求出，由等面积法可求出，结合面积公式可求；对D，分点是否与原点重合分类讨论，当点不与原点重合时，求出切线长方程和直线方程，联立可求动点轨迹，由点与圆的位置关系可求.【详解】如图所示，对于选项A，四边形PAMB的周长为，因为，所以四边形PAMB的周长为，设，当与原点重合时最小，则，则四边形PAMB的周长为，则当t取最小值2时，四边形PAMB的周长最小，为，故A正确；对于选项B，因为圆M：的直径为2，所以，故B错误；对于选项C，因为，所以，，由等面积法可得，求得，，，所以的面积为，故C正确；对于选项D，当点P与原点重合时，，则，则，则，则；当点P不与原点重合时，设（），则切点弦AB的方程为（利用结论：过圆外一点的切线弦方程为求得），直线MP的方程为，联立两方程，可得，消去m，得动点C的轨迹方程为．又因为，所以，故D正确．故选：ACD．38．ABD【解析】【分析】A选项，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，又因切线长定理可知，当最短时，面积最小；B选项，等面积法，即由A选项的四边形面积求弦长；C选项，两垂直直线的斜率相乘等于，两平行直线斜率相等；D选项，由向量积公式求定点坐标.【详解】选项，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，即，又因切线长定理可知，即，当最短时，四边形面积最小．又与及半径构成直角三角形，最短时，最短，即，，，故正确．由上述可知，时，最短，由等面积法可知，．得，故正确．，，，，可设的直线方程为，由半弦长、半径、弦心距构成直角三角形可知，弦心距，圆心到直线的距离，解得，即直线的方程为．故错误．设圆上一点为，，，，，，，，，，，易知，同理，．，原式，将，代入得等号成立，故直线过定点为，，正确．故选:ABD．39．AB【解析】【分析】先得到的轨迹方程为圆，与直线有交点，得到的范围，得到答案.【详解】所作的圆的两条切线相互垂直，所以，圆点，两切点构成正方形即在直线上，圆心距计算得到故答案选AB【点睛】本题考查了圆的切线问题，通过切线垂直得到的轨迹方程是解题的关键.40．【解析】【分析】设圆心坐标为，根据圆的几何性质可知，直线与直线垂直，可求得的值，进而可求得圆的方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得结果.【详解】设圆心坐标为，则，由圆的几何性质可得，直线的斜率为，则，解得，则圆心为，圆的半径为，所以，圆的方程为，圆心到直线的距离为，因此，所求弦长为.故答案为：.【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法（1）几何法：求圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式.41．【解析】【分析】设出点的坐标，探讨出的取值范围，借助四边形MPCQ的面积计算，把表示为的函数即可作答.【详解】如图，连接CP，CQ，CM，依题意，，而，而，则CM垂直平分线段PQ，于是得四边形MPCQ的面积为面积的2倍，从而得，即，设点，而，，则，当且仅当t=1时取“=”，，因此得，即，得，所以的取值范围为.故答案为：42．或【解析】【分析】本题考查求圆的切线方程，分斜率存在与不存在，利用由圆心到切线的距离等于半径，求解即得.【详解】圆的圆心坐标，半径,当切线的斜率不存在时，，显然到圆心的距离等于半径，故而是圆的一条切线；当切线的斜率存在时，设斜率为，，即：,由圆心到切线的距离等于半径，得，解得，故切线的方程为，故答案为：或【点睛】易错点睛：本题考查求过点作圆的切线，关键是由首先验证斜率不存在时是否是圆的切线，考查学生的分类讨论思想，属于易错题.43．【解析】【分析】利用切线长的平方等于点到圆心的距离的平方减去半径的平方，列出关系式，整理即得.【详解】解:设P(x,y),则由|PA|=|PB|，得|PA|2=|PB|2,所以,化简得：,此即为P的轨迹方程，故答案为：.【点睛】本题考查求动点的轨迹方程问题，涉及圆的切线长度的计算，属基础题.44．【解析】【分析】先由已知条件求出圆的方程，然后画出图形，则由圆的性质可得，，，所以四边形的面积为，而四边形的面积为面积的两倍，从而得，进而有，由此可求出的最小值，而当当正无穷大时，趋近圆的直径4，从而可得结果【详解】设圆的方程为，将，，分别代入，可得，解得，即圆：；如图，连接，，，，易得，，，所以四边形的面积为；另外四边形的面积为面积的两倍，所以，故，故当最小时，最小，设，则，所以当时，，当正无穷大时，趋近圆的直径4，故的取值范围为.故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查圆的方程的求法，考查抛物线的有关知识，解题的关键是求出圆的方程，然后结合题意画出图形，由图可得四边形的面积为面积的两倍，从而可得，由此可求出的最小值，考查计算能力，属于中档题45．##【解析】【分析】根据题意，由圆的方程求出圆的圆心和半径，作出草图，由圆的切线性质分析可得|OP|＝2|OA|，然后可算出答案．【详解】根据题意，如图：x2+y2＝25的圆心为（0，0），半径R＝5，即|OP|＝5，圆O：x2+y2＝m2，圆心为（0，0），半径r＝m，则|OA|＝|OB|＝m，若∠AOB＝120°，则∠APB＝60°，∠OPA＝30°，又由OA⊥AP，则|OP|＝2|OA|，则m．故答案为：．46．（1），；（2）；（3）【解析】【分析】（1）设切线斜率为以及切线方程，由圆心到切线的距离等于半径得出的值，即可求解（2）由点到圆心的距离，圆的半径以及切线长满足勾股定理，即可求出切线长；（3）利用（2）写出圆心为点的圆的方程，通过圆系方程即可得出公共弦方程.【详解】（1）由题意可得圆心，半径，由已知得过点的圆的切线斜率存在设为，则切线方程为，则圆心到直线的距离为，即，解得或.所以切线方程是；（2）在中，，，.（3）以点为圆心，切线长为半径的圆的方程为：，圆，两圆方程相减可得：即所以直线的方程为：47．(1)(2)【解析】【分析】(1)根据给定条件设圆心，再借助切线性质求出a值，进而求出半径即可得解.(2)求出圆与圆半径，利用两圆相交列式求解即得