新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 等差数列的单调性与最值（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第第页参考答案1．C【解析】【分析】根据等差数列的性质逐项判断即可【详解】，因为,所以,所以错公差,所以错因为前7项均为正,从第8项开始为负,所以的最大值为,所以C对，,所以D错故选：C2．D【解析】【分析】由可得，再根据等差数列前n项和的二次函数性质知，结合等差中项、等差数列的单调性判断各选项的正误.【详解】由，则，即，又，易知：，C正确；，A正确；，，则，故，B正确；由上知：时，时，且是递减数列，故数列不单调，D错误.故选：D3．C【解析】【分析】根据等差数列的性质易得，，再应用等差数列前n项和公式及等差中项、下标和的性质可得、，即可确定答案.【详解】因为是等差数列且，，所以，．，.故选：C.4．C【解析】【分析】由题意结合等差数列的性质可得，且，从而可求得答案【详解】因为，，由等差数列的性质可得，所以，所以该数列的公差，所以绝对值最小的项在0附近的项中取得，因为，所以，所以绝对值最小的项为，故选：C5．A【解析】【分析】结合等差数列的性质得到，解不等式组即可求出结果.【详解】由，即，解得，因为,故.故选：A.6．A【解析】【分析】根据等差数列的性质，分别判断条件.【详解】①，当，，由等差数列的特征可知，是数列的最小值，所以对任意正整数都成立，故①正确；②，所以，即，所以由等差数列的特征可知，是数列的最小值，所以对任意正整数都成立，故②正确；③，，所以，即，所以不成立，，故③不成立.故选：A7．B【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式，结合数列的通项公式的函数性质进行求解即可.【详解】①：因为数列是等差数列，所以，因此可以把看成关于的一次函数，而，所以数列是递增数列，因此本命题是真命题；②：因为数列是等差数列，所以，因此可以把看成关于的二次函数，而二次函数的单调性与开口和对称轴有关，虽然能确定开口方向，但是不能确定对称轴的位置，故不能判断数列的单调性，故本命题是假命题；③：因为数列是等差数列，所以，设，因此数列的通项公式为：，显然当时，数列是常数列，故本命题是假命题；④：因为数列是等差数列，所以，设，因此数列的通项公式为，所以可以把看成关于的一次函数，而，所以数列是递增数列，因此本命题是真命题.故选：B【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式的应用，考查了利用数列的函数性质判断数列的单调性，考查了推理论证能力和数学运算能力.8．B【解析】由等差数列的性质与求和公式可得，，可得答案．【详解】因为，由等差数列的性质可得，所以，又，所以，可得公差小于零，所以等差数列是单调递减的，即前10项是正的第11项开始是负的，所以前10项和最大.故选：B.【点睛】本题考查等差数列的性质以及等差数列的单调性，关键点是，得到，.9．C【解析】由，判断，再依次判断选项.【详解】由于，，所以，，，所以，与均为的最大值．而，所以，所以C选项结论错误．故选:C．10．C【解析】【分析】利用数列的单调性结合等差数列的定义可判断A选项；利用可得出、的等量关系，可判断B选项；求出，利用二次函数的基本性质可判断C选项；解不等式可判断D选项.【详解】对于A选项，因为等差数列是递增数列，则，A对；对于B选项，因为，即，可得，B对；对于C选项，，所以，当或时，最小，C错；对于D选项，，因为，解得，故时的最小值为，D对.故选：C.11．C【解析】【分析】ABD可以举反例说明命题是错误的，C用基本不等式证明命题的正确的．【详解】若，则满足，但，A错，同样满足，但，B错；是等差数列，，则，，C正确；，满足，但此时，D错．故选：C．12．D【解析】由等差，等比数列的形式特征画函数的图象，根据图象判断选项.【详解】等差数列的通项公式是关于的一次函数，，图象中的孤立的点在一条直线上，而等比数列的通项公式是关于的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，如图所示当时，如下图所示，当公差时，如下图所示，如图可知当时，，，，.故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断的方法，选择图象法可以比较快速的判断选项.13．C【解析】【分析】利用等差数列的定义和数列单调性的定义判断可得出结论.【详解】若，则，即，此时，数列为单调递增数列，即“”“数列为单调递增数列”；若等差数列为单调递增数列，则，即“”“数列为单调递增数列”.因此，“”是“数列为单调递增数列”的充分必要条件.故选：C.14．A【解析】【分析】①利用正弦函数为奇函数可得，再进行累加即可得到答案；②是等差数列，当时，对分为奇数和偶数进行讨论；【详解】解：在为奇函数且单调递增，①所以，且，①正确；②是等差数列，当时，若为偶数，，，同理，…，，所以若为奇数，，，，…，所以；同理，当时，也有.②正确.故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的基本性质及正弦函数的单调性、奇偶性，对抽象能力要求较高，属于难题.15．C【解析】【分析】根据等差数列、等比数列定义，通项公式及有界性逐一分析判断作答.【详解】对于A，设等差数列公差为d，则时，，而数列是等比数列，则，且，于是得，即是常数数列，A正确；对于B，设等差数列公差为d，有，若，而是无穷数列，则当n趋近于无穷大时，趋近于正无穷大，若，则当n趋近于无穷大时，趋近于负无穷大，趋近于正无穷大，即，都趋近于正无穷大，因，则，即是常数数列，B正确；对于C，等比数列，令，对于任意的正整数n，，满足，不是常数数列，C不正确；对于D，设各项为正数的等比数列公比为q，则，当时，数列是递增数列，当n趋近于无穷大时，趋近于正无穷大，必存在正整数，有时，，当时，数列是递减数列，当n趋近于无穷大时，趋近于0，必存在正整数，有时，，即且时，对于无穷正项等比数列必存在一个正整数，当n取大于这个正整数时不可能成立，于是得无穷正项等比数列满足：，其公比，即数列是常数数列，D正确.故选：C16．A【解析】【分析】根据等差数列前n项和公式可得，当证得为递增数列，反之亦可.【详解】因为，所以，若，则关于n的函数单调递增，所以数列为递增数列；若为递增数列，则，即，解得.所以“”是“为递增数列”的充分必要条件.故选：A17．A【解析】【分析】利用等差数列的单调性及前n项和的性质分析【详解】∵恒成立，∴，∴递增；反之，可取，则递增，但，所以“，”是“数列是递增数列”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题以等差数列的单调性及前n项和的性质为载体，考查充分条件与必要条件的判断，难度一般.18．B【解析】【分析】根据等差数列下标的性质，，进而根据条件求出，然后结合等差数列的求和公式和下标性质求得答案.【详解】由题意，，即为递增数列，所以，又，又，联立方程组解得：.于是，.故选：B.19．B【解析】【分析】利用等差数列的图象所在直线的斜率判断.【详解】等差数列的图象所在直线的斜率，则直线呈下降趋势，故数列单调递减.故选：B.20．B【解析】【分析】根据P､A､B三点共线，可得，即可判定数列性质.【详解】由题：P､A､B三点共线，根据共线定理，则，即，所以数列是一个公差为-1的等差数列，所以是递减数列.故选：B【点睛】此题考查平面向量共线定理的应用，根据三点共线结论得数列的递推关系，判断数列的增减性.21．B【解析】【分析】对于①，取，可判断；对于②，由全称命题与特称命题的关系，可判断；对于③，由等差数列的通项，可得出，可判断；④中，由两直线平行的条件可得出，解得或，可判断得选项.【详解】对于①，若，则，所以此时不成立，故①不正确；对于②，根据全称命题与特称命题的关系，得②是正确的；对于③，由于数列是等差数列，所以设，则，因为公差，所以，所以数列是递增数列成立，故③正确；④中，若直线与直线平行，则，解得或，所以是两直线平行的充分不必要条件，所以④错误的，故正确的命题是②③，故选：B.【点睛】本题考查命题的判断，考查了对数函数的单调性，全称命题和特称命题的关系，等差数列的通项公式，两直线平行的条件，以及充分条件和必要条件的判断，属于基础题.22．D【解析】【分析】根据求得，结合，判断数列单减，从而判断取得最大值时，的值.【详解】由题知，，则，等差数列的公差d满足，数列单减，且，，则当取得最大值时，的值为8或9故选：D23．C【解析】利用等差数列的前项和公式可得，结合即可得出结果.【详解】设等差数列的公差为由，可得，整理可得，由所，即，故A错误；根据，则数列为递减数列，，即，则前项或前项的和最大，故B错误；C正确；所以，即，解得，满足的最大自然数n的值为22，故D错误；故选：C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式、数列的单调性，属于基础题.24．B【解析】【分析】依题意，对任意的，都有成立，即，利用数列的单调性可得，即可求解.【详解】由已知，对任意的，都有成立，即，即，又数列是首项为，公差为1的等差数列，，且是单调递增数列，当时，，，即，解得.故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查等差数列通项公式及数列单调性的应用，解题的关键是要利用数列的单调性结合已知条件得到.25．B【解析】【分析】根据等差数列，，，可以求出，且，，，从而判断出，，的正负，选出正确答案.【详解】设公差为，因为，，可知：，且，，所以，从而，不确定正负，，故选：B26．D【解析】【分析】将所给条件式变形，结合等差数列前n项和公式即可证明数列的单调性，从而由可得和的符号，即可判断的最小值.【详解】由得：，整理可得：，等差数列为递增数列，又，，，当且时，；当且时，；有最小值，最小值为.故选：D.27．D【解析】【分析】解不等式，可得出取最大值时对应的的取值，结合已知条件可得合适的选项.【详解】由题意可知，，，则数列的最大项为.对于A选项，，当时，且数列为递增数列，此时无最大项，A选项不满足条件；对于B选项，由，可得，故数列中最大，B选项不满足条件；对于C选项，，数列为递增数列且当时，，此时无最大项，C选项不满足条件；对于D选项，由，可得，故数列中最大，D选项满足条件.故选：D.【点睛】方法点睛：在等差数列中，求的最小（大）值的方法：（1）利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和最小（大）；（2）借助二次函数的图象及性质求解.28．C【解析】【分析】对于A选项，根据得到判断；对于C选项，根据得到判断；对于D选项，根据得到，结合判断；对于B选项，根据，，得到时，判断.【详解】对于A选项，由可得，A选项正确；对于C选项，由可得，∴，C选项错误；对于D选项，由可得，且，，，所以，当且时，，且，则与均为的最小值，D选项正确；对于B选项，∵，，当时，，所以，，B选项正确．故选：C．29．D【解析】【分析】根据从第8项起开始为正数，可得a7≤0，a8＞0，利用“”法求解.【详解】an＝﹣21+（n﹣1）d．∵从第8项起开始为正数，∴a7＝﹣21+6d≤0，a8＝﹣21+7d＞0，解得3＜d．故选：D．【点睛】本题主要考查等差数列的单调性及通项公式，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.30．C【解析】【分析】由题意知．由此可知，所以在中最大的是．【详解】由于，所以可得．这样，而>0，，所以在中最大的是．故选C．【点睛】本题考查等数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．属中档题.31．AD【解析】【分析】对于A，数列是递增数列，故A正确；对于B，不能判断数列的单调性，故B错误；对于C，数列的通项公式为，显然当时，数列是常数列，故C错误；对于D，数列的通项公式为，而，所以数列是递增数列，故D正确．【详解】对于A，因为，所以数列是递增数列，故A正确．对于B，因为数列是等差数列，所以．因此可以把看成关于的二次函数，能确定图象的开口方向，但是不能确定对称轴的位置，故不能判断数列的单调性，故B错误．对于C，因为数列是等差数列，所以．因此数列的通项公式为，显然当时，数列是常数列，故C错误．对于D，因为数列是等差数列，所以．因此数列的通项公式为，而，所以数列是递增数列，故D正确．故选：AD．32．ABC【解析】【分析】根据题意，可得2a1+29d＝0，根据a1＞0，可判断A的正误；根据d＜0，可得a15＞a16，可判断B、C的正误；分别求得，即可判断D的正误，即可得答案.【详解】解：设等差数列{an}的公差为d，∵S10＝S20，∴10a1+45d＝20a1+190d，∴2a1+29d＝0，∵a1＞0，∴d＜0，故A正确；∴a1+14d+a1+15d＝0，即a15+a16＝0，∵d＜0，∴a15＞a16，∴a15＞0，a16＜0，故B正确；∴Sn≤S15，故C正确；又，，∴当且仅当Sn＜0时，n≥31，故D错误.故选：ABC．33．ABD【解析】【分析】由已知递推式可得数列是首项为，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.【详解】得，∴，即数列是首项为，公差为1的等差数列，∴，∴，得，由二次函数的性质得数列为递增数列，所以易知ABD正确，故选：ABD.【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.34．ABD【解析】转化条件为，进而可得，，再结合等差数列的性质及前n项和公式逐项判断即可得解.【详解】因为，所以，即，因为数列递减，所以，则，，故A正确；所以最大，故B正确；所以，故C错误；所以，故D正确.故选：ABD.35．1【解析】【分析】由等差数列各项均为正数可判定该数列为递增数列，结合等差数列的通项公式和前和公式，可判定数列为递减数列，进而可得到该数列的最大项.【详解】由题，等差数列的各项均为正数，所以，，且，所以数列是递增数列，又，所以，即是递减数列，所以当时，得到数列的最大项为，故答案为：136．10【解析】【分析】根据题意判断等差数列{}的，，，由此可判断数列的项的增减情况，进而确定答案.【详解】由题意得：，∴，，∴，，∴，故等差数列{}为递减数列，即公差为负数，因此的前9项依次递减，从第10项开始依次递增，由于，∴{||}最小的项是第10项，故答案为：1037．【解析】【分析】首先根据题意求出，再根据等差数列的前n项即可求解.【详解】解：由题意可知，，解得，又，则，所以，.由，得，解得或(舍)，故故答案为：20.38．-1【解析】【分析】根据数列是以首项为31，公差为－4的等差数列，得到数列的通项公式求解.【详解】数列是以首项为31，公差为－4的等差数列，所以数列的通项公式为an＝35－4n.则当n≤8时an>0；当n≥9时an<0.又a8＝3，a9＝－1.所以绝对值最小的项为a9＝－1.故答案为：-139．9.【解析】【分析】根据题意推导出数列为单调递减数列，且当时，，当时，，由此可得出结果.【详解】，，，，所以，等差数列的公差，则数列为单调递减数列.当时，，当时，，因此，当时，取最大值.故答案为：9.【点睛】本题考查利用等差数列前项和的最值求对应的的值，主要分析出数列的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题.40．【解析】【详解】∵等差数列是递增数列，且，∴，又∵，∴，，，，即的取值范围为，故答案为.点睛：本题考查了数列的通项公式与求和公式、不等式的性质与解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；数列是单调递增数列，根据满足，，可得，，即可得出.41．（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）选择②③、①②、①③条件中的一组，利用等差数列的性质及条件，求得的通项公式，利用通项公式的单调性，结合题意，即可求得的最小值；（2）由（1）可得数列的通项公式，利用裂项相消求和法，化简整理，即可得证.【详解】（1）若选择②③；由题知：，又因为，解得所以，解得，所以，所以，所以；若选择①②；由题知：，又因为，解得，所以，解得，所以，所以，所以；若选择①③；由题知：，所以，由题知：，所以联立解得：，所以，所以，所以.（2）由（1）可得，所以，所以.【点睛】本题考查等差数列通项公式基本量的求法、数列单调性的应用、裂项相消法求数列的和，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.42．(1)(2)(3)的最小值为1【解析】【分析】（1）根据无穷等比数列所有项的和为1，求出公比，再根据等比数列的通项公式可得；（2）求