新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 平面向量的线性运算（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第第页参考答案1．D【解析】【分析】根据平面向量的线性运算结合图象即可得解.【详解】解：∵点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，∴．故选：D．2．A【解析】【分析】由向量的加法运算结合三角形的性质求解即可.【详解】，显然当为斜边中点时，，此时最小为，即的最小值为.故选：A.3．C【解析】【分析】由向量加减法运算法则，得到所求向量为，再由向量减法的三角形法则，以及向量数乘运算，计算答案.【详解】由题意得，故选：C.4．D【解析】【分析】根据向量的加减法的三角形法则及平行四边形的性质即可求解.【详解】由向量减法的运算可得，又因为四边形为平行四边形，所以.故选：D.5．C【解析】【分析】根据已知条件，结合向量的相反向量、加减法法则，即可求解．【详解】解：由题意可得，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，所以．故选：C．6．B【解析】【分析】依题意可得，，根据平面向量的加减运算可得.【详解】由已知可得，，所以．故选：B．7．B【解析】【分析】利用向量的线性运算求解即可.【详解】依题意得：，故选：B.8．C【解析】【分析】利用图形进行向量的加减、数乘运算，求出答案【详解】连接AC，BD相交于点O，则故选：C9．D【解析】【分析】利用平面向量共线定理进行求解【详解】不妨设，则，因为点在线段上，则，故选：D10．C【解析】【分析】根据平面向量的线性运算即可得出答案.【详解】解：因为，所以，故选：C.11．A【解析】【分析】依题意可得，再根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】解：因为，所以，所以.故选：A12．D【解析】【分析】根据已知有是的重心，由重心的性质及向量加法、数乘的几何意义，用、表示，即可得结果.【详解】由题意，是的重心，=，，故.故选：D13．C【解析】把，代入中化简即可.【详解】解：．故选：C14．A【解析】【分析】利用平面向量的加法和减法以及平面向量的基本定理求解.【详解】，，，，故选：A.15．A【解析】【分析】由向量的加减运算法则即可求解.【详解】解：，故选：A.16．B【解析】【分析】根据向量加法法则即可计算.【详解】.故选：B.17．D【解析】【分析】取的中点，由，得，从而可得与共线，得直线与直线重合，进而得结论【详解】解：取的中点，则，因为，所以，所以与共线，即直线与直线重合，所以直线一定过的重心，故选：D18．C【解析】【分析】根据平面向量加减运算法则计算可得.【详解】解：.故选：C.19．B【解析】【分析】直接由求解即可.【详解】由已知必有，则所求的取值范围是．故选：B.20．D【解析】【分析】利用向量的加、减以及数乘运算即可求解.【详解】.故选：D21．C【解析】【分析】利用向量模的三角不等式可求得的取值范围.【详解】因为，所以，，即.故选：C.22．A【解析】【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.23．A【解析】先用向量，表示向量，再转化为用，表示即可得答案.【详解】解：根据题意做出图形，如图，所以，所以.故选：A.【点睛】关键点睛：解题关键在于利用向量的线性运算进行求解，属于基础题24．C【解析】由非零向量，满足，推导出“”“”，从而得到“”是“”的充分必要条件．【详解】非零向量，满足，“”，“”，“”，，，，“”是“”的充分必要条件．故选：C.．【点睛】该题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题目．25．C【解析】由平面向量的线性运算可得，再由平面向量数量积的运算法则计算即可得解.【详解】由题意作出图形，如下图，所以.故选：C.26．B【解析】由题意分析可知，四边形为菱形且，然后求解.【详解】，则平分，则四边形为菱形.且，由，则,故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查向量的综合运用，解题的关键是要注意为上的单位向量，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于基础题.27．A【解析】【分析】利用向量知识可得，两边平方可得，再利用不等式知识可求得结果.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，整理得，所以，因为，所以，所以，解得.所以的最大值为故选：A【点睛】关键点点睛：将向量条件化为，利用向量数量积的运算律运算得到是解题关键.28．A【解析】利用平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可求解.【详解】.故选：A29．D【解析】【分析】根据相反向量的定义，即可判断选项.【详解】向量，互为相反向量，则，模相等、方向相反，所以，故A错误；，故B错误；与方向相反，故C错误；，故D正确.故选：D.30．B【解析】根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.【详解】已知非零平面向量，，，（1）若，则，所以或，即（1）错；（2）若，则与同向，所以，即（2）正确；（3）若，则，所以，则；即（3）正确；（4）若，则，所以，不能得出向量共线，故（4）错；故选：B.【点睛】本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.31．B【解析】【分析】根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.【详解】因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且，，，则，解得，所以.故选：B32．B【解析】【分析】根据三点共线有，使、，由平面向量基本定理列方程组求参数，即可确定答案.【详解】，，由，P，M共线，存在，使①，由N，P，B共线，存在，使得②，由①②，故.故选：B.33．D【解析】【分析】由平面向量的加减法法则进行计算.【详解】由题意得，，所以.故选：D.34．B【解析】【分析】根据向量的加减运算法则计算，逐一判断①②③④的正确性，即可得正确答案.【详解】对于①：，对于②：，对于③：，对于④：，所以结果为的个数是，故选：B35．B【解析】【分析】先根据向量等式推导出甲中P为△ABC的重心，乙中△ABC为直角三角形，丙中P为△ABC的外心，丁中P为△ABC的垂心，故得到当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，得到答案.【详解】甲：，则，故P为△ABC的重心；乙：，则，故，即△ABC为直角三角形；丙：点P到三角形三个顶点距离相等，故P为△ABC的外心；丁：，则，同理可得：，即P为△ABC的垂心，当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成立时，其他三个均不一定成立.故选：B．36．B【解析】由，是边，的中点，得，由可得答案.【详解】连接，如下图所示.因为，是边，的中点，所以，且，所以，所以，解得.又因为，所以.则向量与的夹角大小为120°，故选：B.【点睛】本题考查向量的线性运算，数量积.37．C【解析】【分析】利用向量加法和减法的三角形法则计算即可.【详解】故选：C.38．BCD【解析】【分析】依次代入四个选项的坐标，求出每种情况下四边的长度，结合对边是否平行即可选出正确答案.【详解】解：设第四个顶点为．对于A选项，当点的坐标为时，，，，．∵，，∴四边形不是平行四边形．A不正确；对于B选项，当点坐标为时，因为，即且，故是平行四边形，B正确；对于C选项，当点坐标为时，因为，即且，故是平行四边形，C正确；对于D选项，当点坐标为时，因为，即且，故是平行四边形，D正确；故选：BCD．39．BD【解析】【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.【详解】对于选项：，选项不正确；对于选项：，选项正确；对于选项：，选项不正确；对于选项：选项正确.故选：BD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.40．AC【解析】【分析】若可判断A；将已知条件两边平方再进行数量积运算可判断B；求出的坐标，根据且与不共线求出的取值范围可判断C；取的中点，根据向量的线性运算可得可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：若满足，则实数不唯一，故选项A错误；对于B：两个非零向量，，若，则，所以，可得，，因为，所以，所以与共线且反向，故选项B正确；对于C：已知，，所以，若与的夹角为锐角，则，解得：，当时，，此时与的夹角为，不符合题意，所以，所以的取值范围是，故选项C不正确；对于D：在中，取的中点，由，得，故垂直平分，所以为等腰三角形，故选项D正确．故选：AC．41．AC【解析】【分析】可画出图形，根据条件可得出为边的中点，从而得出选项A正确；由可得出，进而可得出，从而得出选择B错误；可设，进而得出，从而得出，进而得出选项C正确；由即可得出，从而得出选项D错误．【详解】如图，，为的中点，，A正确；，，，B错误；设，且，，三点共线，，解得，，C正确；，D错误.故选：AC42．3【解析】【分析】由已知条件可得，令，则可得，从而可得为上靠近的三等分点，由，得∥，从而有，进而可求得答案【详解】解：因为，所以，令，则，所以，所以为上靠近的三等分点，因为，所以∥,所以，所以，故答案为：343．【解析】【分析】利用向量加减法的几何意义可得、，再应用向量数量积的运算律及已知条件求即可.【详解】由题意，.故答案为：44．【解析】【分析】利用平面向量基本定理分别把向量，用基底{，}表示出，结合得到含有系数，的的基底表示，与直接根据向量的线性运算得到的的基底表示比较，利用向量基本定理中的分解唯一性，即可求出，的关系，进而求得结论．【详解】解：因为，，所以，又因为，且，不共线，所以，两式相加得，显然,所以，故答案为：．45．【解析】【分析】先将已知的向量关系式化为，设为中点，为中点，再根据平面向量的平行四边形法则的加法运算得出，从而可知三点共线，且，进而得出，，最后利用三角形中位线的性质和三角形面积公式，即可确定面积比.【详解】解：因为，所以，设为中点，为中点，为三角形的中位线，则，因为，可得，所以三点共线，且，则，，分别设，由图可知，，，则，所以，而，所以，所以，，所以，即的面积之比等于.故答案为：.46．【解析】【分析】设，根据条件找出，，且与的夹角为，与的夹角为，从而根据向量的加法法则和减法的定义写出，然后表示为关于的二次函数，通过求二次函数的最小值即可解决问题.【详解】延长交于点，因为，所以，，在中，，，所以，在中，，，所以，所以，不妨设，则，且与的夹角为，与的夹角为，则，所以时，取最小值.故答案为：.47．0【解析】根据向量的线性运算求出，根据对应关系求出的值即可．【详解】，，，，，.故答案为：0．48．(1)见详解(2)3(3)【解析】【分析】（1）根据题意，结合向量加减法运算，即可证明；（2）根据题意，用和表示，结合，，三点共线，即可求解；（3）根据题意，结合（1）（2）用和分别表示出和，进而可以表示出，再结合均值不等式与二次函数的最值，即可求解.(1)证明：因，所以，又因为的中点，所以，所以.(2)因，，，，所以，，又因，所以，又因，，三点共线，所以，即.(3)设，，，，由（1）（2）可知，，即.因，，所以，又因是边长为的等边三角形，所以，令，因，即，当且仅当时，等号成立，所以.因此，又因，所以，所以.49．（1）；（2），2.【解析】【分析】（1）由即得解；（2）由即得解.【详解】（1）；（2）.∴.【点睛】本题主要考查向量的加法法则，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.50．(1)(2)【解析】【分析】（1）平面向量基本定理，利用向量的加减与数乘运算法则进行求解；（2）建立平面直角坐标系，利用坐标运算进行解答.(1).(2)以A为坐标原点，AE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，因为矩形与矩形全等，且，所以，则，，，，，所以，，，故.51．（1）；（2）证明见解析；（3）【解析】（1）延长交于D，则D为BC中点，可得，，即可求出；（2）设，可得，，可得，即可建立关系求得；（3）可得，再根结合的范围求出.【详解】（1