大学物理竞赛辅导之机械振动课件

理学院物理系张晚云大学物理竞赛培训与机械波机械振动第三篇大学物理竞赛辅导之机械振动机械振动知识小结一、简谐振动的定义（判据）

1、弹性回复力2、动力学方程3、运动学方程其速度、加速度也有简谐振动的特征

理学院物理系张晚云大学物理竞赛辅导之机械振动二、简谐振动的三个特征量

1、振幅

2、角频率

3、初相位

同一振动中位相差与时间差的关系：或由旋转矢量法确定

理学院物理系张晚云注意弹簧的串、并联及弹簧自身质量的影响大学物理竞赛辅导之机械振动三、简谐振动的三种表示方法

1、解析表达法

2、振动曲线法

3、旋转矢量法图

理学院物理系张晚云大学物理竞赛辅导之机械振动三、简谐振动的三种表示方法

1、解析表达法

2、振动曲线法

3、旋转矢量法图

理学院物理系张晚云大学物理竞赛辅导之机械振动

理学院物理系张晚云注意：熟练掌握旋转矢量法！Atx0=0w

txxwt0a、确定初相位b、确定相位差或时间差同一振动：同频率不同振动：c、解决振动合成问题大学物理竞赛辅导之机械振动四、简谐振动的能量

理学院物理系张晚云1、由能量求振幅2、由能量求角频率两边求导大学物理竞赛辅导之机械振动

理学院物理系张晚云五、简谐振动的合成1、同方向同频率两个简谐振动的合成大学物理竞赛辅导之机械振动

理学院物理系张晚云2、同方向同频率N个等振幅、初相位依次相差定值的简谐振动的合成大学物理竞赛辅导之机械振动

理学院物理系张晚云３、同方向不同频率的简谐振动的合成

2-

1

2+

1随ｔ缓变形成“拍”大学物理竞赛辅导之机械振动

理学院物理系张晚云4、相互垂直的同频率的简谐振动的合成

特别地当振幅相等时，椭圆轨道就成为圆。大学物理竞赛辅导之机械振动

理学院物理系张晚云六、阻尼振动七、受迫振动1、稳态解

x=Acos(

t+

)驱动力频率2、共振1）速度共振：若

<<

0

则

r

0，称尖锐共振2）位移共振：大学物理竞赛辅导之机械振动理学院物理系张晚云机械振动典型问题及示例一、简谐振动三类问题1.简谐振动的运动学问题

运动状况

振动曲线三个特征量运动学方程2.简谐振动的动力学问题受力分析牛顿定律动力学方程初始条件3.简谐振动的合成

（通常与波的相干叠加相结合）大学物理竞赛辅导之机械振动理学院物理系张晚云1.简谐振动的运动学问题举例例1.

有一半球形光滑的碗，小球1在碗的球心处，小球2在碗壁离碗底部中心A很近的地方，如图所示，现同时释放两球，所有阻力均不计，则小球1与小球2到达碗底A所需时间之比为

。A小球1作自由下落：小球2作简谐振动：大学物理竞赛辅导之机械振动

例2.一摆钟在g=9.800(SI)处走时准确，如移至另一地点后，每天慢10s，求该地的重力加速度值。解：由单摆的周期公式两边同时微分，得：标准钟的秒摆周期T=1s,移地后的周期：理学院物理系张晚云大学物理竞赛辅导之机械振动理学院物理系张晚云2.简谐振动的动力学问题举例（两种类型）类型Ⅰ证明或判断振动物体是否作简谐运动

判断简谐运动的依据：动力学方法能量法

动力学方法的步骤：

①确定振动系统，以平衡位置处为原点建立坐标；

②分析处于任意位置处系统各物体的受力情况；

③列出各物体的动力学方程，与上述微分方程比较。

能量法的步骤：

①确定振动系统，分析振动系统的机械能是否守恒；

②以平衡位置为原点建立坐标,写出任意位置机械能；

③把上述结果对时间求一阶导数，并将所得结果与简谐振动的动力学判据进行比较。类型Ⅱ物体与振动系统相互作用而引起的简谐运动大学物理竞赛辅导之机械振动理学院物理系张晚云

例1.某液体的密度随深度的增加而线性增大，且已知其表面处及深度为D处的密度分别为、。现有一密度为的小球于深度为D/2处由静止开始下落。若忽略液体阻力，试求该物体的运动方程。大学物理竞赛辅导之机械振动理学院物理系张晚云

例2.如图所示，在倾角为的斜面上有一倔强系数为k的弹簧，其一端固定，另一端与一质量为m的实心圆柱体的轴连接，圆柱体在斜面上作纯滚动。若忽略轴承的摩擦，试证明该圆柱体的运动为简谐振动。平衡位置自然位置大学物理竞赛辅导之机械振动理学院物理系张晚云

例2.如图所示，在倾角为的斜面上有一倔强系数为k的弹簧，其一端固定，另一端与一质量为m的实心圆柱体的轴连接，圆柱体在斜面上作纯滚动。若忽略轴承的摩擦，试证明该圆柱体的运动为简谐振动。平衡位置自然位置大学物理竞赛辅导之机械振动理学院物理系张晚云

例3.弹簧振子中的小球质量为M，弹簧的一倔强系数为k，弹簧的质量为m，且该质量是均匀分布的。试求无阻尼振动的周期。大学物理竞赛辅导之机械振动

例4.一半径为R的光滑圆环以恒定的角速度ω绕其竖直的直径旋转，圆环上套有一小珠。试求在Rω2>g的情形下：(1)小珠相对圆环的平衡位置(以小珠与圆心的连线同竖直直径之间的夹角q0表示);(2)小珠在平衡位置附近作小振动的角频率。理学院物理系张晚云解：(1)在平衡位置时mg=Ncosq0Nsinq0=ωmRsinq02g=cosq0Rω21cosg=q0Rω2大学物理竞赛辅导之机械振动(2)当小球偏离平衡位置时小球除了受正压力N，重力作用mg外，qNmgFI还受到一惯性力:切向:理学院物理系张晚云大学物理竞赛辅导之机械振动理学院物理系张晚云g=cosq0Rω2ωR2ω4g2R2ω2=大学物理竞赛辅导之机械振动理学院物理系张晚云

例5.一不可伸长的细绳穿过光滑桌面的小孔，一端系一质量为m的小球，另一端系一质量为M的重物。小球在桌面上以作匀速率圆周运动，此时重物静止不动。试证明：当重物受到竖直向下或向上的微扰后，它将在竖直方向作简谐振动，并求其振动周期。大学物理竞赛辅导之机械振动例6.如图,一弹簧振子由劲度系数为k的弹簧和质量为M的物块组成，将弹簧一端与顶板相连。开始时物块静止，一颗质量为m、速度为v01的子弹由下而上射入物块，并留在物块中。试求：

(1)振子以后的振动振幅与周期；

(2)物块从初始位置到最高点所需的时间。

M自然位置解：建立如图所示坐标，在平衡位置(1)由动量守恒得：理学院物理系张晚云大学物理竞赛辅导之机械振动M自然位置(2)最高点的相位：理学院物理系张晚云大学物理竞赛辅导之机械振动理学院物理系张晚云三、阻尼振动与受迫振动问题举例1.

固有频率为

的弹簧振子，在忽略阻尼的情况下，受到频率为的余弦策动力作用，作受迫振动并达到稳定状态，振幅为A。若振子在经过平衡位置时撤去策动力，此后作振幅A′的自由振动，则A′与A的关系为

。提示：撤去策动力前、后振子在平衡位置的速率不变。振子受稳态受迫振动时，在平衡位置处的速率为：振子自由振动时，在平衡位置处的速率为：大学物理竞赛辅导之机械振动理学院物理系张晚云2.一摆在空中振动，某时刻振幅为A0=0.03m，经过t1=10s后，振幅变为

A1=0.01m，问:由振幅为A0时起经多长时间，其振幅减为A2=0.003m？=20.9(s)=0.110βAe0=At0=lnAlnAβt1=ln100.030.01110=lnβtAA1120=lnβtAA2=10.11ln0.030.003解：大学物理竞赛辅导之机械振动理学院物理系张晚云五、补充练习题1.设想沿地球直径凿一隧道，并设地球为密度

ρ=5.5×l03kg/m3的均匀球体。试证:(1)当无阻力时，一物体落入此隧道后将作简谐振动；

(2)物体由地球表面落至地心的时间为(提示:物体在地球内部所受引力的计算，与电荷在均匀带电球体内受力的计算类似)式中G是引力常量。大学物理竞赛辅导之机械振动2.一质量为m，半径为r的均匀实心小球在半径为R的球形碗底作纯滚动。求微小振动的周期。理学院物理系张晚云大学物理竞赛辅导之机械振动3.质量为

可在光滑水平直导轨上滑动，滑块经长为l的刚性轻杆与一质量为的重锤相连。重锤与滑块可绕滑块无摩擦地自由转动。在t=0时刻，细杆与铅垂线夹角由静止释放。试求：重锤的运动轨迹及小角度下滑