必修第二章 (一)

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(一)第二章

§2.4平面向量的数量积学习目标1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一平面向量数量积的物理背景及其定义一个物体在力F的作用下产生位移s，如图.思考1如何计算这个力所做的功？答案W＝|F||s|cosθ.思考2

力做功的大小与哪些量有关？答案与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关.梳理条件非零向量a与b，a与b的夹角为θ结论数量

叫做向量a与b的数量积(或内积)记法向量a与b的数量积记作

，即______________规定零向量与任一向量的数量积为0a·b|a||b|cosθa·b＝|a||b|cosθ知识点二平面向量数量积的几何意义思考1

什么叫做向量b在向量a方向上的投影？什么叫做向量a在向量b方向上的投影？|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影，|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影.思考2

向量b在向量a方向上的投影与向量a在向量b方向上的投影相同吗？答案由投影的定义知，二者不一定相同.梳理(1)条件：向量a与b的夹角为θ.(2)投影向量b在a方向上的投影|b|cosθ向量a在b方向上的投影|a|cosθ(3)a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与

的乘积.b在a的方向上的投影|b|cosθ知识点三平面向量数量积的性质思考1

向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？答案向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量.思考2非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？答案由两个非零向量的夹角决定.当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数.当θ＝90°时，非零向量的数量积为零.当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数.______，a与b同向，________，a与b反向.梳理设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，(1)a⊥b⇔a·b＝0.(3)a·a＝

或|a|＝______.(4)cosθ＝______.(5)|a·b|

|a||b|.|a||b|－|a||b||a|2≤(2)当a∥b时，a·b＝1.向量数量积的运算结果是向量.(

)2.向量a在向量b上的投影一定是正数.(

)[思考辨析判断正误]答案提示×××题型探究类型一求两向量的数量积解答例1

已知正三角形ABC的边长为1，求：解答反思与感悟

求平面向量数量积的两个方法(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cosθ.运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b.跟踪训练1

已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°，求(2a＋3b)·(3a－2b).解(2a＋3b)·(3a－2b)＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2＝6|a|2＋5a·b－6|b|2＝6×42＋5×4×7·cos120°－6×72＝－268.解答类型二求向量的模解答解答引申探究若本例中条件不变，求|2a＋b|，|a－2b|.解答跟踪训练2

已知|a|＝1，|b|＝3，且|a－b|＝2，求|a＋b|.解方法一

∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1＋9－2a·b＝4，∴a·b＝3.∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋9＋2×3＝16，∴|a＋b|＝4.方法二

∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，∴|a－b|2＋|a＋b|2＝2a2＋2b2＝2×1＋2×9＝20.又|a－b|＝2，∴|a＋b|2＝16，∴|a＋b|＝4.类型三求向量的夹角解答例3

(1)设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角.解∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2设a与b的夹角为θ，解答(2)已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，求a与a＋b的夹角及a与a－b的夹角.∴四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝60°，即a与a＋b的夹角为60°.∵∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，即a与a－b的夹角为30°.反思与感悟(1)求向量的夹角，主要是利用公式cosθ＝

求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解.(2)求向量的夹角，还可结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解.(3)求向量的夹角时，注意向量夹角的范围是[0，π].解答跟踪训练3

已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，求a与b的夹角.解∵(a＋2b)·(a－b)＝|a|2－2|b|2＋a·b＝－2.|a|＝|b|＝2，∴a·b＝2，达标检测1.已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为

则a·b等于A.1 B.2 C.3 D.4答案1234√5解析√12345答案解析答案1234解析53.已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的投影为A.4 B.－4 C.2 D.－2√解析向量b在a方向上的投影为|b|cos〈a，b〉＝4×cos120°＝－2.答案解析12345√12345解析如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.123455.已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，若c＝2a－b，d＝a＋2b，求：(1)c·d；解答解c·d＝(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b(2)|c＋2d|.解|c＋2d|2＝(4a＋3b)2＝16a2＋9b2＋24a·b规律与方法1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤1