2023年新高考数学大一轮复习15 三角形中的范围与最值问题（原卷版）

专题15三角形中的范围与最值问题

【方法技巧与总结】

1.在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题,

通常有下列五种解题技巧：

(1)利用基本不等式求范围或最值；

(2)利用三角函数求范围或最值；

(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；

(4)根据三角形解的个数求范围或最值；

(5)利用二次函数求范围或最值.

要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，

转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围

限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.

2.解三角形中的范围与最值问题常见题型：

(1)求角的最值；

(2)求边和周长的最值及范围；

(3)求面积的最值和范围.

【题型归纳目录】

题型一：周长问题

题型二：面积问题

题型三：长度问题

题型四：转化为角范围问题

题型五：倍角问题

题型六：角平分线问题

题型七：中线问题

题型八：四心问题

题型九：坐标法

题型十：隐圆问题

题型十一：两边夹问题

题型十二：与正切有关的最值问题

题型十三：最大角问题

题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题

题型十五：托勒密定理及旋转相似

题型十六：三角形中的平方问题

题型十七：等面积法、张角定理

【典例例题】

题型一：周长问题

例1.(2022•云南♦昆明市第三中学高一期中)设.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设

4sinC=ccos(A-—).

6

⑴求A；

(2)从三个条件：①，/IBC的面积为6；②b=5,③a=6中任选一个作为已知条件，求ABC周长的取

值范围.

例2.(2022.重庆.高一阶段练习)已知向量a=(6sinx,cosx),b=(1,1),函数/(x)=a-b.

⑴求函数/(x)在［0,可上的值域；

(2)若sABC的内角A、B、C所对的边分别为。、b、c,月J(A)=2,a=\,求二川。的周长的取值范围.

例3.(2022♦浙江•高三专题练习)锐角ABC的内切圆的圆心为0,内角A,B,C所对的边分别为。，b,

c.若扬c=(^+c2-a2)tanA,且，ABC的外接圆半径为1,则BOC周长的取值范围为.

例4.(2022•浙江省新昌中学模拟预测)已知函数/(x)=^sin@xcos0x-sin2其中<y>0,若实数对三

满足|/(4)-/(々)|=2时，|演-司的最小值为］

(1)求。的值及/(X)的对称中心；

(2)在..ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，若/(A)=-l,a=G,求ABC周长的取值范围.

题型二：面积问题

例5.(2022•贵州黔东南•高一期中)在面积为S的AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,h,c,且

2rsinC+sinAV，2+/?2)sin/l

(sinBsinCjv'

⑴求C的值；

例6.(2022.浙江.高二阶段练习)在ABC中，角AB,C的对边分别为a,仇c,cosA+AinA=2.

⑴求角A；

3

⑵若点。满足AO=：AC,且3c=2,求△BCD面积的取值范围.

4

例7.(2022•浙江•杭师大附中模拟预测)在一45c中，。的边BC的中点，AD=2,2cosC-cos2(A+B)=|.

⑴求角C；

(2)求，A8C面积的取值范围.

例8.(2022•江苏省天一中学高一期中)在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为久ac,若6=2,cosC=《-；.

24

ABC是锐角三角形，贝hABC面积的取值范围是.

题型三：长度问题

例9.(2022・辽宁•模拟预测)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为db,c,且

(c+a-6)(sinC-sinA+sinB)=3asin8.

(1)求角C的大小；

(2)设机＞1,若A5C的外接圆半径为4,且2a+〃力有最大值，求团的取值范围.

例10.(2022•河南•模拟预测(文))在.ABC中，角A,B,C的对边分另U为。，力，c.2cos2c=2-&sin2C,

C=4,a+b=2回.

⑴求SABC；

(2)求，的取值范围.

ab

例•江苏•高三专题练习)已知，内角的对边分别为

H.(2022ABCA,B,Ca,b,cfA+C=2B,..ABC

的面积S=£a.

4

⑴求边c；

(2)若ABC为锐角三角形，求a的取值范围.

例12.(2022・陕西・宝鸡中学模拟预测(文))已知。=(8眯88%)为=(68也,-82，/(同=。为，

(1)求/(x)的单调递增区间；

⑵设.ABC的内角48,C所对的边分别为a,。,c,若〃A)=g,且〃=有，求〃+C2的取值范围.

例13.（2022.江苏南京.模拟预测）请在①向量xsinB］,y=f-,sin/lL且xy；②

\b+c）\c+a）

J%=2csin（A+］）这两个条件中任选一个填入横线上并解答.

在锐角三角形A5C中，己知角A,B,C的对边分别为。，b,c,.

⑴求角C；

（2）若.ABC的面积为26，求2a+b的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

例14.（2022・全国•模拟预测）在,ABC中，内角ARC的对边分别为a,4c,且

asinA=c（sinC-2sinB）+/?（sinC+sinB）.

⑴求角A；

（2）若/WC为锐角三角形，求四他一。的取值范围.

2a

例15.（2022・辽宁・抚顺市第二中学三模）在①（2c-"）sinC=（从+c2_/）誓，②

COS2^^-COSACOSC=|,③］匠=tanA+tanB这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，

24bcosA

问题：在.ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，6=26，.

⑴求角3;

⑵求2a-c,的范围.

例16.（2022・浙江•模拟预测）在△ABC中，角AB,C所对的边分别是a,b,c,若尔山匹可+^^度，

hsinAsinC=-VSsinB,则ac的最小值为.

例17.（2022.安徽黄山•二模（文））在△ABC中，角A,B,C的对边分别为“，b,c,a=l,4=:,

4

若m+c有最大值，则实数2的取值范围是.

例18.（2022.浙江•高三专题练习）已知"C的三边长分别为。，b,c,角夕是钝角，则与包的取值

范围是.

例19.（2022•黑龙江•哈尔滨三中模拟预测（文））在:ABC中，角A,8,C的对边分别是“也c,若c=3bsinA,

则鱼土史的取值范围是（）

ab

A.13,5]B.[4,6]C.[4,2+VBID.[4,2+屏]

题型四：转化为角范围问题

例20.（2022•河北秦皇岛•二模）在锐角AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

（a4-力）（sinA-sinB）=（c-b）sinC.

⑴求A；

（2）求cosB-cosC的取值范围.

例21.（2022.广东茂名.模拟预测）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为。、6、c,且

a-b=c[cosB-cosA）.

（1）判断.的形状并给出证明；

⑵若a1b,求sinA+sinB+sinC的取值范围.

例22.（2022.浙江温州•三模）在ABC中，角A,B,C所对的边分别是小b,c.已知a=l,b=夜.

⑴若ZB=£,求角A的大小；

⑵求cosAcos（A+F）的取值范围.

例23.（2021・河北•沧县中学高三阶段练习）已知函数/（x）=3sin2x+4sinxcosx-cos2x.

⑴求函数的最大值；

（2）已知在锐角AABC中，角A,8,C所对的边分别是a,b,c,且满足/（二三）=号上，求sinA-sinB-sinC

的取值范围.

例24.（2022.山西.模拟预测（理））已知[49C的内角A,B,C的对边分别为“，b,c,且c=2（a-bcosC）.

⑴求B;

（2）若，ABC为锐角三角形，求sin?A+sin2C的取值范围.

例25.（2022•安徽省舒城中学模拟预测（理））锐角43c的内角A氏C所对的边是a,4c,且

“=l,bcosA-cos8=l,若AB变化时，sinB-Z/Uin?4存在最大值，则正数2的取值范围是

例26.（2022•江西•南昌十中模拟预测（理））锐角,ABC中，A=],角A的角平分线交BC于点M,AM=2,

，则3M-CM的取值范围为.

例27.（2022•辽宁•高一期中）在“ABC中，内角A,B,C所对的边分别为“，b,c,已知a=6tanA,

且8为钝角，则B-A=,sinA+sinC的取值范围是.

例28.（2021・云南师大附中高三阶段练习（理））如图所示,有一块三角形的空地，已知-位若取=43

千米，48=4千米，则NACB=；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为8,D,

E,其中D,E为AC边上的点，若使N£>B£=w，则BO+BE最小值为平方千米.

6

例29.（2021•浙江•舟山中学高三阶段练习）如图，在.ABC中，ZABC=90。，AC=2CB=2^3,P^^ABC

内一动点，ZBPC=120°,贝hABC的外接圆半径一=AP的最小值为

例30.（2022.湖北.武汉二中模拟预测）在锐角ABC中，a2-b2=hc,则角B的范围是

--\+6sinA的取值范围为_________.

tanBtanA

例31.（2022•新疆喀什•一模）已知A48c的内角A,B,C的对边分别为“，b,c.若A=23,且A为锐

角，则5+」匚的最小值为（）

bcosA

A.272+1B.3c.2V2+2D.4

例32.（2021・北京•高三专题练习）在锐角95A=28,B,C的对边长分别是b,。，则£的取值

范围是（）

例33.（2022•石家庄模拟）如图，平面四边形AfiCD的对角线的交点位于四边形的内部，45=1,BC=^

,AC=CD,ACLCD,当NABC变化时，对角线BD的最大值为.

题型五：倍角问题

例34.（2021•安徽.芜湖一中高一期中）A3C的内角A、B、C的对边分别为“、b、c,若C=2B,则:

b

的取值范围为.

例35.（2021•全国•高三专题练习（文））已知A8C的内角A,B,C的对边分别为“，h,。，若A=23,

则三+哩的取值范围为______-

2ba

例36.（2020・全国•高二单元测试）已知A48c是锐角三角形，。也。分别是A的对边.若A=2B,则

ba

的取值范围是.

例37.（2020•陕西•无高一阶段练习）已知A4BC是锐角三角形，若A=28,则；的取值范围是_____.

b

例38.（2019•四川・成都外国语学校高二开学考试（文））已知AABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,

若A=28,则/+的取值范围为

例39.（2021.江西鹰潭•一模（理））已知.ABC的内角A、8、C的对边分别为。、b、c,若A=28,则竺上生

ab

的取值范围为.

例40.（2022•芜湖模拟）已知AA8c的内角A,B,C的对边分别为a，b,c,若A=2B,则^+（@）2最

cb

小值是—.

例41.（2022•道里区校级一模）已知A48C的内角A,B,C的对边分别为a.,匕，c,若4=2B,则与+义

2ba

的取值范围为

题型六：角平分线问题

例42.(2022•河北保定•高一阶段练习)记ABC的内角A,B,C的对边分别为“，b,c,且

Z?cosC+ccosB=2tzcosA.

(1)求A的大小；

(2)若2C边上的高为立，且A的角平分线交于点O,求AO的最小值.

2

例43.(2022・全国・高三专题练习)在448。中，角4,8,。所对的边分别为4,6,’.且满足(“+26%0$。+"0$4=0.

(1)求角C的大小；

(2)设A8边上的角平分线C£＞长为2,求△ABC的面积的最小值.

题型七：中线问题

例44.(2022.江苏省天一中学高一期中)己知.ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足

2sin2A-2sin2B—sin2C—2sinBsinC=cos2C-cos2C.

⑴求角A：

(2)若AO是ABC的中线，且AD=2,求人+c的最大值.

例45.(2022•山西运城・高一阶段练习)已知一MC的内角A8,C所对的边分别为

a,b,c,y/5c=小acosB+asinB.

(1)若a=8,ABC的面积为为边8c的中点，求中线4)的长度；

(2)若E为边BC上一点，且AE=l,BE:EC=2c:b,求。+2c的最小值.

例46.(2022.湖南.长郡中学模拟预测)锐角：ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且

--------=tanB+tanC.

ccosB

（1）求角C的大小；

（2）若边c=2,边AB的中点为Q,求中线CO长的取值范围.

例47.（2022•山东滨州•二模）锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为mh,c,已知

y/3bcosC=2asinA-币ccosB.

⑴求A;

（2）若b=2,。为AB的中点，求CD的取值范围.

例48.（2022•安徽・合肥一中模拟预测（文））在①3（"二。丁=&,②?=；（笔+i）,③

SinC62tan8

IF

csinB=/）cos（C-今这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.

O

在.ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.

⑴求C；

（2）若3ABe的面积为2♦，。为AC的中点，求8。的最小值.

例49.（2022.山东师范大学附中模拟预测）在①26sinC=J£cosB+csinB,②上丝=二二两个条件中

cosC2a-c

任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在ABC中，内角A、8、C所对的边分别是。、b、c,

且.

⑴求角8；

⑵若〃+c、=6，点。是AC的中点，求线段8D的取值范围.

例50.（多选题）（2022•甘肃定西•高一阶段练习）"C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,

8c边上的中线仞=2,则下列说法正确的有：（）

uuuUUIU3

A.ABAC=3B.b2+c2=10C.-<cosA<1D./BAO的最大值为60°

题型八：四心问题

例51.（2022•山东泰安•模拟预测）在,ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,h,c,点。是，ABC的外

AO-ABAOAC

心,-------+-------

\AB\\AC\

⑴求角A：

（2）若4ABe外接圆的周长为4忘r,求ABC周长的取值范围,

例52.（2021•河南南阳•高三期末（理））在VABC中，有sinC+cosC="旺吧C

sinA

⑴求A;

（2）若V4JC的内切圆半径/^=2,求钻+AC的最小值.

例53.（2022.江西•高三阶段练习（理））已知。是三角形ABC的外心，若

震4BS0+嘿ACAO=2皿A。）？，且2sinB+sinC=6，则实数机的最大值为（）

田IAC|

A.-B.-C.D.1

4532

74rARt/

例54.（2022・全国•高三专题练习）己知。是三角形ABC的外心，若三，

且sinB+sinC=>A，则实数机的最大值为（）

373

A.3B.-C.-D.一

552

例55.（2022・全国•高三专题练习）在AABC中，内角A,B,C的对边分别为mb,c,若

a=5正sin（8+?）,c=5且O为AABC的外心，G为AABC的重心，则OG的最小值为（）

A.72-1B.5近-5c.72+1D.近

66

例56.（2022•全国•高三专题练习）已知.ABC的周长为9,若cos410=2si吟贝ljABC的内切圆半径的

最大值为（）

A.4B.1C.2D.3

22

例57.（2022.全国•高三专题练习）在钝角,ABC中，”,，,c分别是一ABC的内角A,8,C所对的边,点G是.ABC

的重心，若AGL8G,贝UcosC的取值范围是（）

儿当B.[*]C.停,1）D.由）

7

例58.（2022・广东深圳•高三阶段练习）在ABC中，cosA=—,ABC的内切圆的面积为16万，则边8c长

度的最小值为（）

A.16B.24C.25D.36

题型九：坐标法

例59.（2022・全国•模拟预测（文））在RtAABC中，乙BAC*,A5=AC=2,点M在;48c内部，

3

cosZAMC=--,则的最小值为.

例60.（2022•南通一模）在平面直角坐标系X。），中，已知3,C为圆/+尸=4,上两点，点A（l,l），且A8_LAC,

则线段BC的长的取值范围为—.

例61.M为等边AABC内一动点，且NCWB=120°,则4”的最小值为

MC

例62.（2022•江苏模拟）已知A4BC是边长为3的等边三角形，点P是以A.为圆心的单位圆上一动点，点Q

o1

满足+则IBQ|的最小值是

33

例63.（2022秋•新华区校级期末）"费马点''是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点，当

三角形三个内角均小于120。时，"费马点''与三个顶点的连线正好三等分“费马点”所在的周角，即该点所对

的三角形三边的张角相等均为120°,根据以上性质，函数

/（x）=J（x-l）2+y2+7（^+1）2+/+7-r2+（y-2）2的最小值为（）

A.2B.>/3.C.2-GD.2+>/3

例64.（2022•唐山二模）在等边AABC中，M为AABC内一动点，ZBMC=120°,则空的最小值是（

MC

A.1B-!

例65.（2022春•仁寿县校级期末）锐角AABC中，角A,B,C所对的边分别为a.,人，c,若"+从=5c?,

则cosC的取值范围是（）

B.(1.1).4

D.『D

例66.（2022春•博望区校级月考）在等腰A48c中，角A,B,C所对的边分别为a,h,c,其中笈为

钝角，6-岛sinA=bcos2A.点。与点5在直线AC的两侧，且C£>=3A£>=3,则ABCD的面积的最大值

为（）

(

A.B.4GC.73

4

例67.（2022•淮安模拟）拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑•波拿马最早提出的一个几何定理：“以任

意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三个角

形的顶点在AABC中，ZA=120°,以AS,BC,AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次

为。「，O2,O3,若的面积为6，则A4BC的周长的取值范围为.

题型十：隐圆问题

例68.（2022•盐城二模）若点G为AABC的重心，且AG_L8G,贝ljsinC的最大值为.

例69.（2022•江苏三模）在平面四边形钻8中，ZSA£>=90°,AB=2，4）=1,若

41

ABAC+BABC=-CACB,则C8+—CE）的最小值为

32------

例70.（2022•涪城区校级开学）若AABC满足条件他=4.,AC="5C,则AABC面积的最大值为

例71.已知A,3是圆。:丁+>2=10上的动点，A8=4点.，P是圆C（x-6>+（y-8）2=l上的动点，则

IPA+3PB|的取值范围是.

例72.（2022•合肥模拟）锐角AABC中，a",c为角A,B,C所对的边,点G为AABC的重心，若AG1BG,

则cosC的取值范围为（）

A.g,|jB.弓,净C.冷，+8）D.jj

例73.（2022•江汉区校级模拟）中AB=AC=g,AA8C所在平面内存在点尸使得

/3序+2。2=3曰2=3,则4山。面积最大值为（）

27235A/23「底3后

L.-----

316416

例74.（2022•上城区校级模拟）设“，人为单位向量，向量c满足|2c+aRa.b|,则|c-6|的最大值为（

）

A.2B.1C."D.y/2

例75.（2022春•瑶海区月考）在平面四边形ABCD中，连接对角线必，己知CD=9,3£）=16,47X7=90。，

sinA=-,则对角线AC的最大值为（）

A.27B.16C.10D.25.

例76.已知圆O:/+y2=5,A,3为圆O上的两个动点，且|AB|=2,M为弦A3的中点，C(2&,a)

,DQ垃,a+2).当A,3在圆O上运动时，始终有NCMO为锐角，则实数a的取值范围为()

A.(^o,-2)B.(-oo.,-2)U(0,+oo)

C.(-2,+oo)D.(-00.,0)0(2,+00)

题型十一：两边夹问题

例77.(2022哈肥一模)设A4BC的内角A,B,C的对边长a,b.,c成等比数列，cos(A-C)-cos3=L

2

延长8C至。，若BD=2,则AACD面积的最大值为

例78.（2022•静安区二模）设A48c的内角A,B,C的对边为a,b,c.已知a.,b,c依次成等比数

列，且cos（A-C）-cos8=1,延长边8c到。，若BD=4,则AAC£）面积的最大值为

2

例79.（2022•常德一模）在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知‘2=必，且

3

cos（A-B）+cosC=—.

（I）求角C;

（II）延长3C至。，使得BD=4,求AACZ）面积的最大值.

例80.在AABC中，若垩1+经'=2,且AABC的周长为12.

sinBsinA

（1）求证：AABC为直角三角形；，

（2）求AABC面积的最大值.

题型十二：与正切有关的最值问题

例81.（2022.湖南.长郡中学模拟预测）在,ABC中，内角A,B,C所对的边分别为“，b,c,且

Isin或="sinB.求：

⑴A；

的取值范围.

⑵b

例82.（2022・全国•模拟预测）在锐角.ABC中，角A,B,。所对的边分别为mb,c.若c?+机・-4=（）,

、,ii

则4（zsinC+c°sC）-+指一言的取值范围为（）

D.（2^+4,9）

例83.（2022•山西吕梁•二模（文））锐角ABC是单位圆的内接三角形，角A,B,C的对边分别为a,b,c,

S.a2+b2-c2=4a2cosA-2accosB,则丁的取值范围是（）

b

A.（2^/3,35/3）B.（瓜3而c・惇叫

例84.（2022・全国•高三专题练习）在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为。、c,且满足

“2=。八则意高的取值范围为—

例85.（2022♦全国•高三专题练习）在锐角ABC中，角4B、C所对的边分别为“也。，若/一°2=次.，则

T--三+3sinA的取值范围为（）

tanCtanA

A.（2^,+oo）B.（264）c.（哈）

例86.（2022.全国•高三专题练习）在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,s为ABC的

面积，且25=/-（8-峭C，则:h的取值范围为（）

题型十三：最大角问题

例87.（2022春•海淀区校级期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M,N是锐角ZAQ8的一边QA

上的两点，试在。8边上找一点P,使得NMPN最大”.如图，其结论是：点P为过M,M两点且和射线Q8

相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系X。），中，给定两点”（-1,2）,N（l,4）,

点尸在x轴上移动，当NMPN取最大值时，点P的横坐标是（）

C.2或-7D.1

例88.（2022秋•青羊区校级期中）（理科）E、尸是椭圆工+《=1的左、右焦点，/.是椭圆的一条准线,

42

点尸在/上，的最大值是（）

A.60°B.30°C.90°D.45°

a

例89.（2022春•辽宁期末）设AA8C的内角A,B,C所对的边长分别为g,b,c,且acosBcos4=-

5

则tan（A-B）的最大值为（）

例90.（2022•滨州二模）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一

般称为“米勒问题”.如图，树顶A离地面a米，树上另一点8离地面4米，在离地面c（c<b）米的C处看此

树，离此树的水平距离为米时看A,3的视角最大.

例91.如图，足球门框的长4?为2dMidw=3.66㈤，设足球为一点P，足球与A，5连线所成的角为

a（00<a<90°）.

（1）若队员射门训练时，射门角度a=30。，求足球所在弧线的方程；

（2）已知点。到直线他的距离为34w,到直线他的垂直平分线的距离为2dw,若教练员要求队员，当

足球运至距离点。为近dw处的一点时射门，问射门角度a最大可为多少？

题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题

例92.（2022秋•安徽月考）17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使

它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在A4BC中，若三个内角均小于120。，当点P满足

NAPB=zi4PC=NBPC=120。时，则点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点.根

据以上性质，已知a为平面内任意一个向量，匕和c是平面内两个互相垂直的单位向量，则

\a-h\+\a+b\+\a-c\的最小值是()

A.2-6B.2+行C.币-1D.6+1

例93.（2022•深圳模拟）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔・德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几

何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小费马问题中的所

求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当AA8C的三个内角均小于120。时，

则使得NAP3=N3PC=/a%=120。的点P即为费马点.已知点P为AAfiC的费马点，且AC_LBC,若

\PA\+\PB\=A\PC\,则实数2的最小值为.

例94.（2022秋•全国月考）费马点是指到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120。

时，费马点在三角形内，且费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点对三角形三边的

张角相等，均为120。.已知A4BC的三个内角均小于120。,，P为AABC的费马点，且R4+依+PC=3,

则A4BC面积的最大值为.

例95.（2022春•湖北期末）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑・波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任

意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三

角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点.”已知AA8C内接于半径为#的圆，以BC,AC,AB为

边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为4,B',C.若/4C3=30。，则的面积最大

值为—.

例96.（2022春•润州区校级期中）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑•波拿巴最早提出的一个几何定理：

“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等

边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点.”已知AABC内接于单位圆，以BC,AC,他为边

向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A,B',C.若乙48=90。，则△A8'C’的面积最大值

为—,

题型十五：托勒密定理及旋转相似

例97.（2022春•五华区月考）数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三

角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“cos2a=l-2sin?a”所用的

几何图形.已知点3,C在以线段AC为直径的圆上，。为弧的中点，点E在线段AC上且

点F为EC的中点.设AC=2r,ZDAC=a,那么下列结论：

①£）C=2rcosa.,®AB=2rcos2a,

③FC=r（l-cos2a）,.

@DC2=r（2r-AB）

其中正确的是（.）

A.②③B.②④C.①@©D.②③④

例98.（2022春•扬州期中）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，

该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所

包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理

可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已

知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC.是其两条对角线，BD=4日,且AA8为正

三角形，则四边形A3CZ）的面积为（）

A.8B.16C.8"D.16^/3

例99.（2021秋•宝山区校级月考）凸四边形就是没有角度数大于180。的四边形，把四边形任何一边向两方

延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形A8CD中，

45=1,BC=6，ACYCD,AC=CD,当Z4BC变化时，对角线班）的最大值为（）

C.#+lD.J7+26

例100.（2022•冀州市校级模拟）在AABC中，BC=®,AC=1,以他为边作等腰直角三角形A8aB为

直角顶点，C.、。两点在直线A3的两侧）.当NC变化时，线段CD长的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4.

例101.（2022•日照一模）如图所示，在平面四边形45CD中，AB=],BC=2,AACD为正三角形，则ABC£>

面积的最大值为（）

D

c-T+2D.6+1

题型十六：三角形中的平方问题

例102.(2021秋•河南期末)在AA8C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=—,b=26,

3

b2+c2-a2=-j3bc.若NBAC的平分线与BC交于点E,则A£=()

A.瓜B."C.2企D.3

例103.（2022•洛阳二模）已知A48C的三边分别为a,b,c,若满足/+层+2c?=8,则AA5C面积的

最大值为（）

A心3小

B.竽D

5