谈谈概率与统计的高考复习

新课程理念高效率教学——谈谈概率与统计的高考复习（开场白说）高三教学是高中教学极为重要的环节，如何把“课程标准”和“考试说明”的要求落实，如何将学生无序的知识有序化、零散的知识系统化，是高三教学共同关注的焦点．本人将以概率与统计为例谈谈新课程理念下如何进行高效率的复习教学．高三数学教学是高中数学教学中极为重要的环节，它不是简单的已学知识的回顾和重复，而是按照《课程标准》的要求、《考试说明》的指导，重新梳理和整合学生高中三年所学的知识，挖掘、提炼所学的思想和方法，进一步完善、优化学生的知识结构，真正提高学生解决问题的能力．那么如何把《课程标准》和《考试说明》的要求落实，如何将学生无序的知识有序化、零散的知识系统化，是高三教学共同关注的焦点．下面笔者将主要以理科类的概率与统计为例，谈谈新课程理念下如何进行高效率的复习教学．（第2页）一、钻研教材“课标”。解读高考说明教材是学生智能的生长点，也是考试内容的载体，是高考命题的依据．《新课程标准》指引着数学教育的方向，是对教师教学、学生学习提出的具体要求．高考说明的重要性更是不言而喻．教材中，概率与统计主要有两块：其一，必修3，是《统计》与《概率》；其二，选修2—3，是《随机变量及其分布》与《统计案例》．《新课标》要求：在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图；会根据实际问题的需求选择不同的方法合理选取样本，并从样本数据中提取需要的数据特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释；理解古典概型及其计算公式；理解离散型随机变量及其分布列的概念、n次独立重复试验的模型及二项分布、离散型随机变量的均值、方差等．2010年高考说明与2009年相比在概率与统计的要求上一字不差。第3-7页考试说明内容。（第8页）二、近两年高考各试卷概率与统计考查情况统计2009年高考各地的19套试卷中，有16道概率解答题，大部分都是以实际背景为载体进行考查，主要考查等古典概型、互斥事件的概率、相互独立事件的概率、独立重复实验的概率、二项分布、离散型随机变量的分布列与期望.特别明显的是实施新课标地区试题大多涉及到抽样统计问题，尤其是文科考题的解答题。（第9页）09宁夏理科的概率与统计考查共考查了两道题共17分，一是选择题第3题主要考查变量的正负相关性属容易题；另一道题是解答题第18题分值12分。该题新颖、考查知识点较多。考查频率分布表、频率分布直方图、相互独立事件的概率。综合性较强。（连接09年宁夏高考试题）而10年考题理科的概率与统计也考查了两道题共17分，一是选择题第6题主要二项分布下的期望问题，属中档题；另一道题是解答题第19题分值12分。则通过考查简单随机抽样、独立性检验，考题仍具创新性。（连接10年宁夏高考试题）（第10页）2010年各地考查的试卷与09年相比概率与统计考查情况相当，仍突出09年考题特点。请各位老师观察一下09年、10年各省市概率与统计的考查情况。（连接09、10年各省市概率与统计知识点考查情况）三、概率与统计试题的主要特点：从近三年新课改地区高考试题可以看到试题有以下主要特点：1、试题与实际生活密切相关，往往以实际问题为背景，结合排列、组合，甚至算法、函数、数列等知识，考查学生对知识的运用能力．（第11页）2、试题难度均不大，但重视对基础知识和基本技能考查，尤其对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、古典概型、几何概型、事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望、方差、抽样方法、回归分析、独立性检验等内容都进行了考查．（第12页）3、概率统计试题通常是通过对常见题型进行改编，通过对基础知识的整合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧的实际问题．体现了当前数学试卷的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神．（第13页）4、2009年宁夏文理对概率与统计的考查选择题完全相同，解答题基本上是同一道题，只是第一问理科考查了相互独立事件的概率，第（2）问的要求一样。而2010年与09年的文理科考试要求与试题也基本一样，理科通过选择题多考查了二项分布下的期望，而填空题的考查思路基本一样，解答题的试题要求一模一样，说明在概率统计上，文科在难度、内容的要求除了理科增加的一部分外，其他与理科基本一样．此外，2009概率统计的考查文理科都是17分、2010年概率与统计文科是17分，理科是占22分，说明概率统计在宁夏高考中已成为主流题型．（第14页）三、实施有效教学。从容应对高考1．一个吃透首先应吃透考试说明，并对照“课标”多加钻研，对每一个知识点的考查做到心中有数，清楚考什么，怎么考，这样才能明确复习要求，有效把握考试趋势与动向，准确把握在考试中对所学知识考查的深浅度，只有这样我们在教学中才能做到复习什么，怎样复习．记得08年高考复习的时候像相关性问题及独立性检验问题，在高考复习中几乎没有复习，而10年高考的概率与统计对独立性检验进行了考查，学生该题的得分很低，说明在复习中仍然存在对新增知识复习的不重视造成的遗漏问题。2．两个坚持坚持三基(基础知识、基本技能、基本方法)，回归课本．课本是最有参考价值的资料，以课本为主，如在必修3中对相关系数r与选修2-2中的相关指数R2，独立性检验课本中问题，线性相关课本中的问题，而高考试题往往都是他们的变式。重新全面梳理知识、方法，注意知识结构的重组与概括，揭示其内在联系与规律，从中提炼出思想方法．在知识的深化过程中，自觉地将其前后联系，纵横比较、综合，自觉地将新知识及时纳入已有的知识系统中去，这也有利于学生加深对知识的理解，更重要的是建立起了一个完整的数学知识的“树形图”，如在求离散型随机变量分布问题主要表现为四种题型：①结合排列、组合、古典概型、互斥事件的概率考查②考查互斥事件、相互独立事件下的概率；③考查二点分布、超几何分布、二项分布模型；④由样本频率表、频率分布直方图考查分布列问题这一类问题对宁夏高考来说更有可能考查。方便学生在运用时能顺利“搜索”．（第15页）坚持在充分认识到学生数学现实的基础上进行教学．在接受高中概率学习之前，学生已经在以往的学习或日常生活中，形成了对概率或对或错的看法．大量的研究表明，在概率认知中，学生的错误概念是普遍存在的，比如：对随机试验的可能结果划分不当、对随机试验的基本事件数量计算错误、对试验“随机性”的认识错误、对随机试验的“顺序”认识错误等等．因此要多给予学生面对各种问题情境的机会，让他们接触形式化数学知识的建构和组织．如鼓励学生在具体情境中抽象出二项分布、超几何分布等模型，注重概率分布的应用．3．三个加强和一个重视(1)加强解题教学其一要加强审题指导．波利亚曾说：“回答一个你尚未弄清的问题是愚蠢的”“最糟糕的情况是：学生并没有理解问题就进行演算或作图．一般说来，在尚未看到主要联系或者尚未作出某种计划的情况下，去处理细节是毫无用处的”．由此可知审题之重要．比如在概率中对于复合事件的概率计算，要分清事件的构成，并注意关键词．要注意“恰有次发生”、“某指定的次发生，其余均不发生”以及“到第次才发生”三者的差异；要注意“至少一个…至‘多一个”“恰好一个”“都…都‘不”的差异等等．往往是一字之差，就导致谬以千里．这种错误尤为可惜，因为这样的失误使得解题过程刚剐开始其实就已宣告结束．只有在审题时主动地、最大限度地搜集有助于解题的信息，并对这些信息进行分析和综合处理，才能使解题有一个好的开始．（第16-18页）举例（第19页）其二是加强解题教学的针对性．高考中涉及概率统计内容的试题常见两类基本题型：一类是考查离散型随机变量分布列和方差的概念性质以及对期望和方差的求解，讨论随机变量的取值范围或取相应值的概率；另一类是考查如何抽取样本以及如何用样本去估计总体．解题方法上要能灵活的运用排列组合知识，熟练掌握等可能性事件、互斥事件、相互独立事件等概率模型的求解方法，掌握考纲要求的两点分布、二项分布、超几何分布的期望和方差及有关性质，但以切实掌握基本题型的解法为主，切忌随意加深加难.应勤于研究学生的薄弱环节，课堂教学和练习反馈中尽可能多暴露学生出现的错误，加强纠错．比如不少学生常常会将二项分布概率公式与二项式定理的通项公式混淆；二点分布、超几何分布及二项分布分辨不清等．教学中，我们应遵循以下原则：“每课必练，每练必改，每改必评，每评必纠．”（第20页）要重视学生作业反馈，讲评错因，讲评得分点，而且更应精选练习，减负增效．所做练习，力争做到五性：基础性——着眼双基，中档为主，面向多数学生；重点性——突出主干知识，重点训练；发展性——传授方法，学会迁移；综合性——纵横联系，知识内外交叉，多角度、多层次，练习求精，以求高效；系统性——滚动复习，知识前后衔接，梳理归纳成串．（第21页）其三是要引导学生加强解题反思．应引导学生对错题及时订正，对易错、易混、易漏点进行收集和梳理，并采取一定的措施以防再犯．如：①将“有放回”和“不放回”条件混用；②“相互独立事件”与“互斥事件”混淆，造成理解性错误；③将“有顺序取出”与“无顺序取出”混淆；④在相互独立事件中，对“在第k次发生与否都结束条件下事件恰在第k次结束”与“前k一1次不发生而第k次发生”的关系理解错误．（第22页）引导学生对做过的习题和学到的方法及时进行回顾、反思、整理，关注那些形似质异和形异质同的问题，尝试一题多解和多题一解，学会用发展的眼光、联系的观点看待问题．抓住通性通法的本质，科学有效地实施解题分析、解题思维链的形成、解题后的反思与优化，从而通过有限问题的训练来获得解答无限问题的解题智慧．比如求解概率问题一般可归纳为以下步骤：①确定事件性质，是等可能事件、互斥事件、相互独立事件、n次独立重复试验中的哪一种．②判断事件的运算：和事件、积事件．即先判断是至少有一个发生，还是同时发生．③运用对应公式求解．（第23页）(2)加强模型意识，进行模式识别概率问题亦是应用问题，怎样分析实际问题、构建数学概率模型，最重要的一点是对问题中的关键词句进行分析并加以理解．概率问题主要涉及古典概率、互斥事件和的概率、相互独立事件积的概率以及分布列问题等．一般概率的运算问题，其运算类型可分为“+、一、X、÷”四种，以及它们之间的混合运算，举例如下：①主“+．”型如事件可分解为有限个互斥事件A。，A，A，…，则所求概率P(A)=P(A．)+P(A)+P(A)+…．此类题特点：分类型(如恰好、至多、至少问题等)．（第24页）②主“一”型对于正面事件C较难或较繁解决时，可利用其对立事件D，运用“一”加以解决，即P(C)=1一P(D)．③主“X”型对于相互独立事件的积问题，以“×”运算来解决．④主“÷”型对于等可能事件的概率问题，通常是利用“÷”运算解决．了解典型分布列：两点分布、二项分布、几何分布，并密切关注有限不放回抽样的概率模型．（第25页）(3)加强渗透数学思想数学思想方法是数学的精髓，是适用于数学全部内容的通法，对于数学思想和方法的考查必然要与数学知识结合进行．函数与方程、数形结合、化归与转化、分类与整合、特殊与一般、有限与无限等思想，都是高中数学的精髓，但这些“思想”有时只能意会，教学中老师往往也只能是“渗透”．只有在“实践”中实现自我领悟，在反思中重构自己的经验，形成自己的行动策略和方式，习得只能意会的知识才能变成可能．因此，在教学中，要结合具体问题不失时机地运用、渗透数学思想方法，对其进行多次再现、不断深化，逐步内化为自己能力的组成部分，实现“知识型”向“能力型”的转化．比如在概率中常可以渗透以下思想：①数形结合思想例1如果事件A、B互斥，那么（）A、A+B是必然事件B、是必然事件；(3)一定不互斥；(4)一定互斥．点评本题通过集合之间的关系、结合Venn图解决，选(2)．（第26页）②分类讨论思想例2、将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为．点评已知三次点数a，b，C依次成等差数列，要根据公差是否为0进行讨论，又b是a与c的等差中项，所以a，c同奇同偶，接着又对a，c同奇同偶进行第二次讨论．③方程思想例3从男、女共36名同学的班级中，任意选出两名委员，如果选相同性别委员的概率为0．5，求男、女同学各有几名?点评本题把某些基本事件作为未知数，根据条件列出方程进行求解．(21，15或15，21)（第27页）④转化与化归思想例4某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训．每名下岗人员可以选择参加一项、两项或不参加培训．已知参加过财会培训的有6o％，参加过计算机培训的有75％．假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率．点评本题是相互独立事件同时发生的概率问题，解决的关键是利用转化与化归思想．(0．9)（第28页）（四）重视新增知识，增强应试能力在宁夏新课标