由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程

由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组

【教学目标】（一）

使学生会解由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组的解法；（二）

使学生掌握分解降次的解题思路。【教学重点和难点】重点：用分解因式降次的方法解二元二次方程组。难点：把一个二元二次方程分解降次，转化为两个二元一次方程。【教学过程设计】（一）复习1．什么叫做二元二次方程2．什么叫做二元二次方程组？3．什么叫做二元二次方程组的解？4．

我们已学过的由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的最基本的解法是什么法？（代入消元法）5．

用因式分解法解一元二次方程，要写出解题过程。x2－3x－4=－6.解：移项，使等号右边为零，得x2－3x+2=0，等号左边分解因式（x－2）（x－1）=0①方程①可分解为两个一次方程x－2=0，x－1=0，所以x1=2，x2=1.（二）新课我们今天学习另一类二元二次方程组的解法，这一类二元二次方程组的特点是：由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组。例1解方程组x2+y2=20，①x2-5xy+6y2=0②分析：在这个方程组中，方程②的左边各项都是2次，右边的项是数0，也可以看作是二次项（因为0x2=0）。我们把方程②叫做二元二次齐次方程，把方程②的左边叫做二次齐次三项式。在原方程组中，方程②左边的二次齐次三项式可以分解为两个一次齐次式的积（x-2y）（x-3y），而右边为0，因此，方程②可以化为两个二元一次方程x-2y=0,x-3y=0。它们与方程①分别组成两个方程组解这两个方程组，就得到原方程组的所有的解。解：由②，得(x-2y)(x-3y)=0所以x-2y=0,或。因此，原方程组可以化为两个方程组（1）（2）根据上次课程，由一个二元二次方程与一个二元一次方程组成的方程组的解法，可解出方程组（1），（2）。由方程组（1）得由方程组（2）得为了弄清这个问题，避免出现不应有的错误，我们渗透了同解方程组的概念和理论。设A（是含有未知数的二元二此整式。M（是含有未知数的二元一次整式，则有定理3方程组（1）与下列两个方程组（1）和（3）是同解方程组。例1的解题根据就是定理3例2

解方程组②②①①分析：方程①，②都能分解因式。解：原方程变形为④④③③

（1）方程组（1），同解于下列两个方程组（2），（3）。（2）（3）同理，方程组（2），同解于方程组（4），（5）。同理，方程组（3），同解于方程组（6），（7）。即（4）（5）（6）（7）由二元一次方程组（4），（5），（6），（7）分别解得例3解方程组：②②①①分析：方程①与方程②的右边都不是0，（而方程一边为0是分解因式法解方程的必要前提），于是把①、②右边都移项，成为④④③③

虽经过这样的变形，但③、④的左边都不能分解因式，还需做一些技术处理。把③-④，得即即⑤方程组（1）同解于下列方程组（2），即(2)而方程组（2）同解于下列两个方程组（3），（4）。即（3）（4）由（3）解得由（4）解得此例3的解题依据是用了下述的同解定理4。定理4设A（x,y）,B(x,y)都是二元二次式，且m,n是非零实数，则方程组（1）同解于方程组（2）例4解方程组②②①①分析：先移项，使方程一边为0，得④④③③但是这两个方程的左边三项都不能分解因式。我们在前面学过的，用分式法分解二次三项式时，会对或等式子因式分解，也就是说，我们会对二次齐次三项式因式分解。注意二次齐次三项式不含常数项。为此，我们想法从③、④来构造出一个不含常数项的二次齐次三项式。⑤⑤把③式两边都乘以2，得⑥⑥把④式两边都乘以7，得把⑤-⑥，得 2x2-xy-28y2=0 ⑦根据定理4，由⑦与④组成的方程组（1）与原方程组是同解方程组。②②①①即 与（1） 是同解方程组。⑦的左边可分解为（2x+7y）(x-4y)=0,即（1）为方程组（1）同解于下面两个方程（2），（3），即

（2） （3）

方程组（2），（3）都是由一个二元二次方程与一个二元一次方程组组成的方程组，用代入消元法一定会解，解得 （三）课堂练习解方程组：提示：得4个方程组 分别解得（四）小结1.

本单元内容与上一单元有密切联系，上一单元的解法关键是代入消元；本单元的解法关键是先通过因式分解，把二元二次方程降次为两个二元一次方程，然后再用上一单元的解法。由此可知，消元与降次这两个方法是解二元二次方程组的核心。2.

在用因式分解法解方程时，方程的一边必须是零。而方程的左边的因式分解，有时要求技巧较高，需要用换元等方法。尤其要注意二次齐次三项式ax+bxy+cy在b-4ac0时，总可用求根公式法分解因式。3.

有时需要用定理4，对原方程组中的方程进行适当的加、减、乘，构造出一个能分解因式的二元二次方程，由此制造出一个与原方程组同解的方程组。（五）作业1.

把下列方程化成两个二元一次方程：(1) x-3xy+2y=0; (2)x-4xy+3y=0(3) x-6xy+9y=16; (4) 2x-5xy=3y;(5) (x+y)-10=3(x+y); (6) x-4xy+4y=2x-4y+3.2.

解下列方程组： （1） （2）（3）3．解下列方程组：（1） （2）（3）（4）课堂教学设计说明1．在复习旧知识为引入新课作准备时，突出了“代入消元法”及用因式分解法解一元二