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文档简介

§4.6函数的凹向，拐点

（一）上凹、下凹的定义（二）凹性的性质及判定（三）拐点12/23/20231问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于切线的下方，由大变小图形上任意弧段位于切线的上方，由小变大12/23/20232（一）凹性定义定义4.2如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点切线的上方，则称曲线在这个区间内是上凹的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点切线的下方，则称曲线在这个区间内是下凹（或凸）的。12/23/20233等价定义：图形上任意弧段在弦的下方图形上任意弧段在弦的上方12/23/20234递增上凹函数的切线斜率随着自变量增加递增12/23/20235（二）上（下）凹性的判定定理1：(用一阶导数判定)12/23/20236略12/23/20237定理2：(用二阶导数判定函数的凸性)12/23/20238例

判定曲线y=lnx

的上凹，下凹性.解因为所以在函数的定义域所以，曲线是下凹的.12/23/20239解注意到,12/23/202310（三）拐点结论：（拐点必要条件）定义:连续曲线上凹和下凹分界点.12/23/202311例1求曲线的拐点解解方程得12/23/202312例2.求曲线的拐点.

解:不存在上凹下凹点(0,0)

为曲线的拐点.12/23/202313求凹凸区间与拐点的步骤:1）求出的点和不存在的点每个区间上判断的符号从而判断凹凸性.拐点.2）以为分界点把定义域划分成几个区间,12/23/202314例3解上凹下凹上凹拐点拐点12/23/202315止12/23/202316例4问曲线是否有拐点？解显然，只有x=0是方程的根.但当因此点(0,0)不是这曲线的拐点.曲线没有拐点，它在内是上凹的.止12/23/202317思考题12/23/202318思考题解答例12/23/202319例5：（用凹性证明不等式）证明：故结

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