气体内的输运现象

第4章气体内的输运现象4.1气体分子碰撞和平均自由程4.2输运过程的宏观规律4.3气体输运现象的微观解释1§4.1气体分子碰撞和平均自由程气体分子之间的碰撞对于气体中发生的过程有重要的作用，如在气体中建立分子按速率或速度分布的麦克斯韦分布律，确立能量按自由度均分定理等，都是通过气体分子的频繁碰撞加以实现并维持的。因此，分子间的碰撞时气体中建立并维持平衡态的保证。概念：有效碰撞截面、平均碰撞频率、平均自由程2斥力引力(分子力与分子间距离的关系)分子力表现为斥力分子力表现为引力由分子力与分子距离的关系，有一、有效碰撞截面1、分子的有效直径3分子碰撞过程：引力作用下，分子加速靠近r0处引力为零，仍具动能斥力作用下，减速靠近设动能为零时，r＝d——分子的有效直径碰撞时两分子质心距离的平均值称为分子的平均有效直径d4这里的σ就是弹性刚球的有效碰撞截面，是一个分子截面的4倍。当两分子质心之间垂直距离b<d时，两分子发生碰撞。2、分子的有效碰撞截面5热运动分子之间频繁碰撞，分子的运动路径曲折复杂分子在与其它分子的相邻两次碰撞之间所经历路程的平均值为平均自由程二、平均自由程和平均碰撞频率分子在单位时间内与其它分子的平均碰撞次数称为平均碰撞频率6反映了分子间碰撞的频繁程度，是对大量分子、多次碰撞的统计平均值。一个分子在单位时间内和其他分子碰撞的次数是偶然的、不可预测的。二者关系：平均自由程和平均碰撞频率：

71、分子间的相对运动速率设分子运动速度满足麦克斯韦分布律，根据统计规律，假设所有分子均以平均速率运动。则分子之间具有相对运动速率。按三角关系：两个分子的相对运动的速度：取统计平均值：因为

8由于分子运动速度满足麦克斯韦分布律，其相对运动速度也满足麦克斯韦速度分布律：2、分子的平均碰撞频率统计假设：1)同种分子：分子有效直径为d2)所有分子静止，特定分子运动以平均相对运动速率运动93)分子间弹性碰撞4)分子数密度为n单位时间内与分子A发生碰撞的分子数为平均碰撞频率为先假设其它分子静止10讨论：1)分子的平均自由程与分子的有效碰撞截面σ和分子的数密度n成反比，与平均速率无关。3、分子的平均自由程2)平衡态下，对确定的气体，平均自由程和平均碰撞频率有确定的值。3)用宏观量p、T表示的平均碰撞频率和平均自由程：114)平均自由程与压强、温度的关系

1～7×10−810−7

～0.7（灯泡内）10−11

～7×103（几百公里高空）T=273K：p(atm)(m)实验表明，在数密度恒定（温度恒定）的气体中平均自由程对温度仍有微弱的依赖关系，随温度的升高，平均自由程增加。这是由于有效碰撞截面随温度的升高而减小，从而使平均自由程增加。12真空是一个相对的概念，随着容器线度的减小，形成真空态的压强值提高。真空容器中所包含的气体是高度稀薄的气体，通常称为克努森气体，这种气体流动称为分子流。5)平均自由程与真空度在室温下，当空气压强为10−7atm时，平均自由程已达到m的量级，如果大于气体容器的线度，这时气体分子可以从容器的一壁出发，无碰撞地飞到容器的另一壁。这种气体多处的状态称为真空。13假设分子是两两相碰的，单位体积内的分子相互碰撞的总次数为这时分子的碰撞不用考虑重复计算问题。如果考虑气体是由A和B两种分子组成，分子直径和质量分别为dA、mA和dB、mB，则单位时间内A、B两种分子之间的碰撞次数：6)单位体积内气体分子相互碰撞次数14估算氢气分子在标准状态下的平均碰撞频率。常温常压下，一个分子在一秒内平均要碰撞几十亿次，可见气体分子之间的碰撞是多么的频繁！解例在标准状态下，有对氢气分子取d=2×10−10m，则15如图所示的气体层。三、有效碰撞截面的概率解释一个分子以相对速度u沿x方向入射气体层，层内其他分子看做相对静止。问：入射分子与气层内分子发生碰撞的概率有多大？16设气体足够稀薄，在入射方向上不同气层内的分子不重叠，则气层内所有分子的总碰撞截面为发生碰撞的概率为穿越单位距离与其他分子发生碰撞的概率为一个速度为v的分子穿过单位截面穿越单位距离实际碰撞数与可能发生的总碰撞数的比率为17思考：在平均自由程为的平衡态气体中，自由程介于l~l+dl的分子数目dN(l)占总分子数N的百分比多大？或者说，在这样的气体中，任意一个分子的自由程介于l~l+dl的概率多大？又或者说，一个分子自由飞越了l路程后，再飞越dl距离后与其他分子发生碰撞的概率多大？。四、气体分子按自由程的分布18其物理意义：气体分子中自由程介于l~l+dl范围内单位自由程内的分子数占总分子数的比率；或者气体中任意一个分子的自由程介于l~l+dl

单位自由程内的概率。1、气体分子按自由程的分布函数f(l)自由程介于l~l+dl的分子数目dN(l)占总分子数N的百分比：19其几何意义是如图所示的在l附近宽为dl长条的面积。满足归一化条件：平均自由程：20物理意义：一个分子在自由飞行了l距离后与其他分子发生碰撞的概率。2、气体分子自由程介于0~l的概率P(l)由分布函数的定义：气体分子中自由程介于0~l范围内气体分子数占总分子数的百分比或任意分子自由程介于0~l

的概率为：物理意义：一个分子在自由飞行了l距离后仍未与其他分子发生碰撞的概率。21分析：函数P(l)应具有如下性质：当l=0时，P(0)=0；刚完成碰撞的分子不再立刻发生碰撞；

P(∞)=1；自由程介于0~∞的概率为1；

P(l)应是如图所示的连续单调增函数；

P(l)的具体函数形式确定后，应用以下公式可求得分布函数22一个分子在自由飞行了l距离后仍未与其他分子发生碰撞的概率为[1−P(l)]。继续飞行dl距离后仍未与其他分子发生碰撞的概率为是一个与自由程无关的常数。分子在自由飞行了l+dl的概率为应用边值条件：P(0)=0，可得方程的解与分布函数23平均自由程相应的气体分子按自由程的分布律为P(l)=63%24§4.2输运过程的宏观规律非平衡态下气体各部分性质不均匀。处于非平衡态的系统的基本特征是：在没有外界影响的条件下，系统的各部分宏观性质会自发地发生变化，直到在系统中建立平衡态为止。促使系统从非平衡态过渡到平衡态的过程称为输运过程。气体不平衡输运过程气体平衡25三种输运现象：1.当气体各层流速不均匀时发生的——黏滞现象2.当气体温度不均匀时发生的——热传导现象3.当气体密度不均匀时发生的——扩散现象热运动+碰撞

、p、m的迁移26这也是为什么促使系统从非平衡态过渡到平衡态的过程称为输运过程或内迁移过程的原因。输运过程的特点：（1）描述系统状态的宏观参量在空间的分布不随时间改变的输运过程，称为稳定的输运过程，相应系统状态为稳定态。描述系统状态的宏观参量在空间的分布随时间改变的输运过程，称为非稳定的输运过程，相应系统状态为非稳定态。27（2）实际问题中三种过程往往同时发生，而且还会因为一种输运过程的存在而引起另一种输运过程。如：温度的不均匀可以引起热传导，同时在多元系气体中会引起扩散，称为热扩散。浓度分布不均匀也可导致温度分布不均匀，称为杜伏效应。28输运过程的讨论方法：（1）由于稳定的输运过程相应系统状态为稳定态。可以用描述平衡态的参量对状态进行描述。平衡态中推导出的相应结果可以直接使用。（2）讨论稀薄气体中发生的输运过程，将三种过程分开讨论，忽略可能出现的交叉现象。（3）输运现象不仅在气体中发生，在一切未达到热力学平衡态的系统中都会发生，而且规律相同。后面介绍的牛顿定律、傅里叶定律和斐克定律对固体和液体等凝聚态物质也成立。29一.黏滞（内摩擦）现象

1.现象：实验表明：气体类似于液体也有黏滞性。流动的气体，如果各气层的流速不均匀，则在两个气层之间的接触面上形成的一对阻碍两气层相对运动的等值反向的摩擦力。现象：先使B盘转动，不久A盘也开始转动，但转过一个角度后便停下来。这种力称为“内摩擦力”或“黏滞力”，这种现象称为黏滞现象或内摩擦现象。30xzu=u(z)

u0u=0z0dfdf

黏滞力与速度梯度、接触面积有关实验表明：黏滞力的大小与流层上下接触面的速度差和流层接触面积成正比。将沿着流速增大方向单位距离的流速差称为速度梯度。2.规律：31xzu=u(z)

u0u=0z0dfdf

引入比例系数：tx是作用在面元dS单位面积上的黏滞力，称为黏滞切应力；比例系数

称为动力学黏滞系数。或由图中可以看出，下层慢速气体对上层快速气体的黏滞切应力tx应该沿x负向，这时上层气体对下层气体的速度梯度（du/dz）为正：32xzu=u(z)

u0u=0z0dfdf

若用dK表示在dt时间内通过dS面元下由下层气体传递给称为一维情况下的牛顿黏滞定律。牛顿黏滞定律的另一种常用形式。其中的负号表示动量传递的方向与速度梯度增加的方向相反，即：动量传递总是沿着速度减小的方向进行的。上层气体的动量，由动量定理：33产生的力矩为解：由于气体的粘滞性，圆盘之间的摩擦力将产生对于轴线的摩擦力矩，其中对应环带间的摩擦力为例题：如图所示装置中有两个圆盘，A固定在悬丝下端，B可绕O轴转动，当B盘转动时，A因受空气摩擦力矩而开始转动，直至所受悬丝扭力矩与此平衡为止，设这时B的角速度为w

，已知圆盘半径为a，盘间距为d，气体粘滞系数为h，试求此摩擦力矩。其中则两盘间的摩擦力矩为34二、热传导现象

实验表明：当物体内各处温度分布不均匀时就有热量自高温处传递到低温处，这种热现象称为热传导。可以看出：穿过z0处dS面积的热量应与面积大小dS和传热时间dt成正比，与该处的温度梯度成正比，传热方向沿温度梯度的负方向。称为一维情况下的傅里叶（Fourier）热传导定律，也称热传导方程。zT+dTTz0+dzz035将傅里叶热传导方程改写：q是热流量，表示单位时间里通过单位面积所传递的热量。比例系数c称为导热系数或热导率。负号表示热量传递总是沿着温度下降的方向进行。36气体内稳定的温度分布为：解：由傅里叶定律可知，达到稳定时单位时间里在单位长度上传递的热量为例题4-5

同轴圆柱体半径分别为r1和r2(r1>r2)，中间充满热导率为c的气体，在轴线上有通电流的电阻丝加热，单位长度上的辐射功率为P，使得内圆柱体的温度T2，外圆柱体的温度T1。试求：气体内稳定的温度分布和确定热导率c的公式。确定热导率的公式为37三、扩散现象

两种或两种以上的气体由于浓度的不均匀引起的互相渗透的现象称为扩散。气体的扩散是指由于气体分子的热运动引起的浓度趋于均匀的现象。压强扩散是指由于压强差导致气体的宏观运动而引起的物质输运现象。热扩散是指由于温度差导致气体的宏观运动而引起的物质输运现象。38设有两种气体a和b，用隔板分开。设pa=pb

=p，Ta=Tb=T。当隔板抽去时，则发生a和b气体之间的纯扩散。实验表明：abz039整个扩散过程保持混合气体的温度T和压强p不变，则气体分子数密度为常数n可定性画出P108图4.2.4(b)所示气体分子数密度分布。只考察a分子的扩散，应有：比例系数Dab称为a和b两种气体的互扩散系数。负号表示气体分子扩散的方向总是沿着浓度减小的方向进行。40用Ja表示a气体的分子流，表示单位时间里通过单位面积所扩散的a气体的分子数。z0+dzz0zna

+dnana称为一维情况下的斐克扩散定律。对b分子进行类似讨论：比例系数Dba也是a和b两种气体的互扩散系数。41考虑气体输运的是气体的质量，方程改写为由于任意时刻混合气体中任意截面附近的总分子数密度保持不变。要求也称为一维情况下的斐克扩散定律。表示两种气体由于扩散所传递的质量流。42同一物质的两种同位素气体的扩散，除了质量有微小差别外，其他性质如平均自由程和有效碰撞截面均可认为相同：在实验中观察自扩散，若一种同位素有放射性，另一种没有，则可根据放射性的强度来跟踪其中一种气体分子的扩散，可以避免两种气体分子质量不同而引起气体中出现宏观流动的影响。D称为该气体的自扩散系数。在两种同位素气体中发生的扩散现象称为自扩散。43四、三种输运过程宏观规律的比较

所遵循的规律完全一样，都是与变化梯度成正比，输运的物理量都是沿着梯度增加的负方向传递。——傅里叶热传导定律——牛顿黏滞定律——斐克扩散定律——热流量——黏滞切应力——质量流44§4.3气体中输运现象的微观解释对气体中输运现象做微观解释的两个基本出发点：(1)气体必须足够稀薄，满足条件即平均自由程远大于分子的有效直径。保证气体中主要发生分子的两两碰撞，发生三分子间碰撞可以忽略。平均自由程计算公式仍然成立。另一方面，气体不能太稀薄，从非平衡态气体中选取任意一个小体积元DV，要求宏观上看很小，DV<<L3，微观上看很大，DV>>l3，仍包含有大量的分子，统计规律仍然成立。45(2)局域平衡的假设。非平衡态系统，一般不能用确定的参量进行描述。但在宏观小微观大的体积元DV中，宏观上已接近平衡态，微观上包含大量发生频繁碰撞的气体分子。故在确定的时间尺度上，可认为在一个小体积元DV内仍有确定的宏观状态参量。这一假设称为局域平衡假设。宏观量温度、速度、分子数密度在空间变化不太快的标准：即宏观量梯度在平均自由程距离上产生的改变量较之宏观量本身很小。可忽略与二级导数有关的量。46(3)气体分子碰壁数。单位时间内分子与单位面积器壁的碰撞次数：简单物理模型：按照统计规律，可以将分子看做沿直角坐标系的x,y,z（正负）6个方向运动，每个方向占有1/6的分子，假设分子按平均速率运动，则dt时间内碰到面积为dS上的分子数为即单位时间与单位面积器壁的碰撞次数为讨论中将采用简单物理模型确定的分子碰壁数公式。47一、热传导现象的微观解释zz0dSdQBATBTA假设气体沿z方向温度升高，面元dS在z0处将气体分为A、B两部分，温度TB>TA，相应的气体分子具有平均能量eA和eB，气体分子通过无规则运动和碰撞传递平均能量。481、dt时间内通过dS面积交换的分子数由于交换的分子数为zz0dSdQBATBTA492.每交换一对分子传递的热量zz0dSdQBATBTA碰撞同化假设气体分子在相互碰撞时，需要多次碰撞才能获得该温度层的平均能量。为简化，假设气体分子发生一次碰撞即可获得该层分子的平均能量，成为一次性碰撞同化假设。50关于a的意义在截面dS附近必存在一个气体层，气体分子在该层中发生最后一次碰撞，然后带着该层的平均能量通过dS，又经过一次碰撞将所携带的平均能量的多余部分（可正可负）传递给另一侧的分子，获得该侧分子的平均能量。zz0dSdQBATBTA实验表明：分子的平动动能趋向平衡分布快，转动和振动动能达到平衡分布较慢。但与气体分子的平均自由程应具有相同数量级，故引入系数a。a是一个数量级为1的比例系数，其数值通过比较理论值和实验值加以确定。513、dt时间内通过dS面传递的热量由于zz0dSdQBATBTA定体比热524、与宏观傅里叶定律比较与压强无关53(1)热导率与气体种类和温度有关，T一定时与压强无关5、讨论从如图所示实验曲线表明：

cc

=const.

p0

pcT一定压强较大时，c与p无关压强小于pc时，c与p成正比表明理论得到的结果在压强较大时与实际相符与压强无关54这很好地解释了T一定时c~p的实验关系。(2)热导率与温度的关系但考虑到分子的有效直径与温度有关，分子的有效碰撞截面是温度的函数，导致c随T的变化加剧，一般有(3)较严格的理论可得到：55由已知：解：由热传导的微观解释推导出的热导率表达式例题4-7

若已知氩原子的有效直径为3.6×10-10m，试计算氩气在0℃时的热导率c（设a=1）。热导率为实验值为比较可知，实验给出的56例已知保温瓶胆夹层厚l=5mm，问要抽空到多大压强以下，才能有效地保温？解：当空气分子d3.510-10m，取T=350K，令57即保温瓶胆夹层内要抽空至1.5

10−2mmHg以下，才能随压强的下降达到有效地保温。当p<pc时，才能随p的下降，使c也下降。581、dt

时间内通过dS面积交换的分子数由于黏滞现象中分子数密度和温度相同，交换的分子数为zz0dSdKBAuBuA假设气体沿z方向定向流速增加，面元dS在z0处将气体分为A、B两部分，定向流速uB>uA，相应的气体分子具有定向动量kA和kB，气体分子通过交换传递定向动量。二、黏滞现象的微观解释59zz0dSdKBAuBuA2、每交换一对分子传递的定向动量3、dt时间内通过dS面传递的定向动量由于604、与宏观牛顿黏滞定律比较仍与压强无关615、与实验值的比较(1)黏滞系数与气体种类和温度有关，T一定时与压强无关原因与导热系数与压强无关相同，故此结果只适用于稀薄气体。(2)较严格的理论可得到：62(3)黏滞系数与温度的关系相同的原因，考虑到分子的有效碰撞截面是温度的函数，导致h随T的变化加剧，一般有气体黏滞系数随温度的升高而增加，而液体的黏滞系数随温度的升高而减小。原因：液体分子除依靠热运动传递定向动量之外，还通过分子之间的直接相互作用力传递定向动量，而分子力随温度的升高总是下降的。63(4)热导率c与黏滞系数h的关系：原因：速率较大的分子穿过dS面的频率大，对热传导过程这些分子传递更多的能量，而对粘滞现象，这些分子并不多传递定向动量。实验给出的数值为1.3~2.5。64由已知：解：由热传导的微观解释推导出的热导率表达式例题4-8

若已知氮原子的有效直径为3.7×10-10m，试计算氮气在27℃时的黏滞系数h（设a׳=1）。黏滞系数为实验值为比较可知，实验给出的65zz0dSdNaBAnbBnaA假设气体沿z方向分子数密