4.2.1 等差数列的概念（八大题型）

4．2．1等差数列的概念【题型归纳目录】题型一：等差数列的判断题型二：等差数列的通项公式及其应用题型三：等差数列的证明题型四：等差中项及应用题型五：等差数列的实际应用题型六：的应用题型七：等差数列性质的应用题型八：等差数列中对称设项法的应用【知识点梳理】知识点一、等差数列的定义文字语言形式一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示．知识点诠释：⑴公差一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即公差）；符号语言形式对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差．知识点诠释：定义中要求“同一个常数”，必须与无关．等差中项如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即．知识点诠释：①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数．任意两实数，的等差中项存在且唯一．②三个数，，成等差数列的充要条件是．知识点二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式首相为，公差为的等差数列的通项公式为：，推导过程：（1）归纳法：根据等差数列定义可得：，所以，，，……当n=1时，上式也成立所以归纳得出等差数列的通项公式为：（）．（2）叠加法：根据等差数列定义，有：，，，…把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得，所以．（3）迭代法：所以．知识点诠释：①通项公式由首项和公差完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了．②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量．等差数列通项公式的推广已知等差数列中，第项为，公差为，则．证明：因为，所以所以由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式．可以看成是时的特殊情况．知识点三、等差数列的性质等差数列中，公差为，则①若，且，则，特别地，当时．②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为．③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列．④仍是等差数列．⑤数列（为非零常数）也是等差数列．【方法技巧与总结】等差数列中对称设项法的应用1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为；2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为；3、四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为．【典型例题】题型一：等差数列的判断例1．（2023·高二课时练习）已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是（

）①

②

③

④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】设的公差为，对于①，，是等差数列，故①正确；对于②，，是等差数列，故②正确；对于③，，是等差数列，故③正确；对于④，若，则不是等差数列，故④错误；故选：C．例2．（2023·湖北孝感·高二校联考期末）设是数列的前项积，则“”是“是等差数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则；当时，.所以，对任意的，，则，此时，数列是等差数列，故“”能得出“是等差数列”；若“是等差数列”，不妨设，则，即“是等差数列”不能得出“”.所以“”是“是等差数列”的充分不必要条件.故选：A.例3．（2023·重庆·高二统考学业考试）下列数列中等差数列的是（

）A． B． C．【答案】A【解析】对于A，，相邻两项的差为常数，是等差数列；对于B，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；对于C，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；故选：A变式1．（2023·广东惠州·高二统考期末）在数列中，若（为常数），则称为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若是等方差数列，则是等差数列；②不是等方差数列；③若是等方差数列，则（为常数）也是等方差数列；④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列.其中正确命题序号为（

）A．①③④ B．②③④ C．①③ D．①④【答案】A【解析】①是等方差数列，（为常数）得到为首项是，公差为的等差数列；故①正确②数列中，，所以是等方差数列；故②不正确③因为是等方差数列，所以，把以上的等式相加，得，，即数列是等方差数列，故③正确；④是等差数列，，则设，是等方差数列，是常数，故，故，所以，是常数，故④正确.正确命题的是①③④，故选：A变式2．（2023·高二课时练习）给出下列四个命题：①公比的等比数列是严格递增数列；②数列可以看作是一个定义在正整数集上的函数；③在平面直角坐标系中，表示数列的图象是一些离散的点；④数列是等差数列.其中正确命题的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】对于①，对于数列，时，有，，故①错误；对于②，对于数列1，2，3，4，5，该数列的定义域为，故②错误；对于③，由数列的概念可知，数列可以看作是函数，该函数的定义域是正整数集或其子集，所以表示数列的图象是一些离散的点，故③正确；对于④，因为，所以，是常数，故④正确.故选：B.变式3．（2023·陕西咸阳·高二统考期中）若数列为等差数列，则下列说法中错误的是（

）A．数列，，，…，…为等差数列B．数列，，，…，，…为等差数列C．数列为等差数列D．数列为等差数列【答案】C【解析】A选项：因为为等差数列，所以设（为常数），又，所以数列也为等差数列，故A正确；B选项：，所以数列为等差数列，故B正确；C选项：，不是常数，故不是等差数列，故C错；D选项：，所以数列为等差数列，故D正确.故选：C.【方法技巧与总结】对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差．题型二：等差数列的通项公式及其应用例4．（2023·甘肃酒泉·高二敦煌中学校联考期中）已知等差数列中，，则公差（

）A．4 B．3 C． D．【答案】B【解析】在等差数列中，，所以有．故选：B例5．（2023·全国·高二随堂练习）已知数列前n项和为．(1)试写出数列的前5项；(2)数列是等差数列吗？(3)你能写出数列的通项公式吗？【解析】（1）由得，，，，，所以.（2）由（1）知，所以数列不是等差数列.（3）当时，；当时，；综上.例6．（2023·全国·高二随堂练习）（1）求等差数列8，5，2，…的第20项；（2）是否为等差数列，，，…的项？如果是，是该数列的第几项？如果不是，说明理由．【解析】（1）可以得到公差，故第20项为（2）可以得到公差，故通项公式为，令，解得，故是等差数列，，，…的第100项.变式4．（2023·高二课时练习）已知等差数列8，5，2，…．(1)求该数列的第20项．(2)试问是不是该等差数列的项？如果是，指明是第几项；如果不是，试说明理由．(3)该数列共有多少项位于区间内？【解析】（1）记该等差数列为，公差为d，由，，得数列的通项公式是．该数列的第20项．（2）由第一问，，如果是这个数列的项，则方程有正整数解．解这个方程，得，故是该等差数列的第44项．（3）由第一问，，解不等式，得．因此，该数列位于区间内的项从第4项起直至第70项，共有67项．变式5．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和为，且，.求数列的通项公式.【解析】当时，，整理得，，解得；当时，①，可得②，①－②得，即，化简得，因为，，所以，从而是以为首项，公差为的等差数列，所以.变式6．（2023·高二课时练习）等差数列中，(1)已知，，求首项与公差；(2)已知，，求通项．【解析】（1）由已知可得，解得.（2）由已知可得，解得.所以，.变式7．（2023·全国·高二课堂例题）已知等差数列10，7，4，…．(1)求这个数列的第10项；(2)是不是这个数列中的项？呢？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由．【解析】（1）记数列为，则由题意知，因此数列的通项公式为．当时，有，因此第10项为．（2）是数列的第23项，不是数列中的项，理由如下：设是数列中的第n项，则，解得，所以是数列的第23项．设是数列中的第n项，则．解得，由此可知不是数列中的项．变式8．（2023·高二课时练习）等差数列中，，公差为整数，若，．(1)求公差的值；(2)求通项．【解析】（1）在等差数列中，由，，可得：，而为整数，所以.（2）由（1）可知，，所以.变式9．（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）在等差数列中，若，则公差（

）A．2 B．4 C．3 D．5【答案】B【解析】因为，所以，.故选：B.变式10．（2023·福建龙岩·高二校考阶段练习）已知等差数列中，，，则首项与公差分别为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设等差数列的公差为，依题得，解得.故选：D【方法技巧与总结】等差数列通项公式的求法与应用技巧（1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．（2）等差数列的通项公式中共含有四个参数，即，，，，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．（3）通项公式可变形为，可把看作自变量为的一次函数．题型三：等差数列的证明例7．（2023·全国·高二课堂例题）已知数列中，在时恒成立，求证：是等差数列．【解析】证明

因为，所以．因此，从第2项起，每一项与它的前一项的差都相等，所以是等差数列．例8．（2023·全国·高二专题练习）在数列中4，，．求证：数列{}是等差数列；【解析】的两边同时除以，得2，∴数列{}是首项为4，公差为2的等差数列例9．（2023·高二课时练习）已知，若，且（为正整数）.(1)写出数列的前5项；(2)证明是等差数列，并求.【解析】（1）由已知条件得，即，,,,故数列的前5项为1，，，，.（2）证明：∵，∴,∴，其中首项为，∴是首项为，公差为的等差数列，∴，∴.变式11．（2023·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）已知数列满足，且，．(1)设，证明：数列为等差数列；(2)求数列的通项公式．【解析】（1）因为，所以，即，且，所以数列是首项为1、公差为1的等差数列．（2）由(1)知，所以数列的通项公式为．变式12．（2023·高二课时练习）数列满足，，设.(1)数列是等差数列吗？试证明；(2)求数列的通项公式．【解析】（1）数列是等差数列.证明如下：由已知可得，，则，所以.所以数列是等差数列.（2）由（1）知，数列是等差数列，首项，公差.所以，所以，，所以.变式13．（2023·江苏扬州·高二校考阶段练习）已知数列满足，且.(1)求；(2)证明：数列是等差数列.【解析】（1）因为，所以.（2）因为，所以，则，故，又，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列.变式14．（2023·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知数列满足：，且．(1)求证：是等差数列，并求的通项公式；(2)是否存在正整数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【解析】（1）由，得，∴又，∴数列是以1为首项，为公差的等差数列∴∴（2）∵，∴则，解得，不符合题意∴不存在正整数，使得.变式15．（2023·河南郑州·高二校考阶段练习）已知数列{}满足．(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列{}的通项公式．【解析】（1）证明：数列{}满足．两边取倒数可得：，即，∴数列{}是等差数列，首项为，公差为2；（2）由（1）可得：，解得．【方法技巧与总结】证明等差数列的方法（1）定义法或数列是等差数列．（2）等差中项法数列为等差数列．（3）通项公式法数列{an}的通项公式形如（，为常数）数列为等差数列．题型四：等差中项及应用例10．（2023·陕西渭南·高二统考期末）在等差数列中，已知，则．【答案】5【解析】由等差数列的性质得，，故答案为：5.例11．（2023·高二课时练习）与的等差中项是．【答案】/【解析】设与的等差中项是，则故答案为：例12．（2023·甘肃白银·高二校考期中）已知等差数列满足，则.【答案】【解析】在等差数列中，，又，，解得，又，而，解得.故答案为：.变式16．（2023·山西大同·高二山西省浑源中学校考期末）有穷等差数列的各项均为正数，若，则的最小值是.【答案】【解析】由，且，则，当且仅当时等号成立且满足题设.故答案为：变式17．（2023·西藏日喀则·高二统考期末）在等差数列中，若，则.【答案】24【解析】因为在等差数列中，有，所以由，得，，又，所以.故答案为：24变式18．（2023·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期中）已知数列满足，且，，则．【答案】【解析】因为数列满足，所以数列为等差数列，所以，又因为，，所以，解得，故答案为：.【方法技巧与总结】若a，A，b成等差数列，则；反之，由也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项．题型五：等差数列的实际应用例13．（2023·陕西汉中·高二校联考期中）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（

）A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺【答案】D【解析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，所以春分当日日影长为.故选：D例14．（2023·四川绵阳·统考三模）在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为尺，立冬的晷长为尺，则冬至所对的晷长为（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】B【解析】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为,则立冬到冬至增加,冬至到雨水减少4,冬至的晷长为,则,解得,故选：B.例15．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”"起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此类推，排列到“癸西”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推.今年是辛丑年，也是重庆一中建校90周年，则重庆一中建校的那一年是（

）A．壬酉年 B．壬戊年 C．辛酉年 D．辛未年【答案】D【解析】所以90年前的天干为辛，所以90年前的地支为未，所以重庆一中建校的那一年是辛未年，故选：D.变式19．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第一中学校校考三模）习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（

）A．72万元 B．96万元 C．120万元 D．144万元【答案】C【解析】设等差数列的公差为，由题意可知，五年累计总投入资金为：，因为，所以，当且仅当时取等号，故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元，故选：C.变式20．（2023·江苏苏州·高二统考期末）单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和．例如，，……，现已知可以表示成4个单分数的和，记，其中，，是以101为首项的等差数列，则的值为（

）A．505 B．404 C．303 D．202【答案】A【解析】根据题中拆分后分数的特征以及分出结果中含，对分母增大倍数进行拆分，即得结果.依题意，拆分后的分数，分子都是1，分母依次变大，又中含，故可分解如下：，又，，是以101为首项的等差数列，故.故.故选：A.变式21．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）“孙子定理”是中国古代求解整除问题的方法，是数论中一个重要定理，又称“中国剩余定理”．现有如下一个整除问题：将1至2021这2021个数中，能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列共有（

）A．133项 B．134项 C．135项 D．136项【答案】C【解析】能被3除余1且被5除余1的数就只能是被15除余1的数，故，由，得，又，故此数列共有135项，故选：C．【方法技巧与总结】（1）解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．（2）能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题，是数学建模的核心素养的体现．题型六：的应用例16．（2023·全国·高二单元测试）（1）在等差数列中，已知，，求首项与公差d；（2）已知数列为等差数列，，，求．【解析】（1）等差数列的公差为，∵，，则解得，∴这个等差数列的首项，公差．（2）设等差数列的首项为，公差为d，则由题意得解得，故．例17．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，已知求及．【解析】因为数列是等差数列，故可得；又因为．故；．例18．（2023·全国·高二课时练习）已知数列为等差数列，且公差为．（1）若，，求的值；（2）若，，求公差．【解析】（1）由题意得，解得，故．所以．（2）由，得，∴．由，解得或，∴或．所以公差为3或．变式22．（2023·全国·高二课时练习）在等差数列中：（1）已知，求首项与公差d；（2）已知，求．【解析】（1）由题意得，解得（2）设等差数的公差为，则由题意得，所以【方法技巧与总结】灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令，即变为，可以减少记忆负担．题型七：等差数列性质的应用例19．（2023·安徽马鞍山·高二统考期中）等差数列中，若，则的值为（

）A．36 B．24 C．18 D．9【答案】B【解析】令的公差为，则，即，则.故选：B例20．（2023·西藏拉萨·高二校考期中）已知是等差数列，，则等于（

）A．48 B．40 C．60 D．72【答案】B【解析】根据等差数列性质计算可得，解得；所以可得，故选：B例21．（2023·甘肃嘉峪关·高二统考期末）若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（

）A．1 B．C． D．【答案】C【解析】设方程的四个根为，则，，又因为方程的四个根组成一个首项为的等差数列，设，所以，设等差数列的公差为，则，解得，则等差数列为，所以，则，故选：C变式23．（2023·北京·高三校考阶段练习）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为为等差数列，设公差为，因为数列单调递增，所以，所以，则，解得：，故选：C变式24．（2023·广东广州·统考二模）首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（

）A．d>3 B．d C．3≤d D．3<d【答案】D【解析】an＝﹣21+（n﹣1）d．∵从第8项起开始为正数，∴a7＝﹣21+6d≤0，a8＝﹣21+7d＞0，解得3＜d．故选：D．变式25．（2023·上海虹口·高二校考期末）已知函数是定义在上的严格增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则的值（

）A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为 D．可正可负【答案】A【解析】因为函数是上的奇函数且是严格增函数，所以，且当时，；当时，．因为数列是等差数列，，故．再根据，所以，则，所以．同理可得，，，所以，故选：．变式26．（2023·辽宁·高三校考阶段练习）已知数列为等差数列，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为数列为等差数列，且所以，解得，所以.故选：C变式27．（2023·高二课时练习）设为正项等差数列的公差，若，，则下列结论错误的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意得：，解得：，A正确；，B正确；，，C正确；，D错误.故选：D.【方法技巧与总结】等差数列运算的两种常用思路（1）基本量法：根据已知条件，列出关于，的方程（组），确定，，然后求其他量．（2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若，且，则．题型八：等差数列中对称设项法的应用例22．（2023·全国·高二单元测试）（1）三个数成等差数列，其和为，前两项之积为后一项的倍，求这三个数．（2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为，首末两项的积为，求这四个数．【解析】（1）设这三个数依次为，，，由题意可得：，解得：，所以这三个数依次为，，．（2）设这四个数依次为，，，（公差为），由题意可得，解得或（舍），故所求的四个数依次为，，，．例23．（2023·全国·高二专题练习）已知四个数成等差数列，中间两项之和为2，首末两项之积为，求这四个数．【解析】因为这四个数成等差数列，所以设这四个数为．由题意知，，解得．故这四个数为，或．注意

本例中，也可以设四个数为，然后代入已知条件求解，这是数列中常用的“基本量法”，但运算稍繁．本题解法运用“对称设法”，运算稍简单．一般地，若三个数构成等差数列，常设为；若五个数构成等差数列，常设为等．例24．（2023·宁夏·平罗中学高二阶段练习）四个数成递增等差数列，四个数之和等于，中间两个数之积为，求这四个数．【解析】设四个数为，，，，其中，，解得：，四个数为，，，．变式28．（2023·全国·高二课时练习）（1）已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列；（2）已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式．【解析】（1）设这四个数分别为，，，，则，又该数列是递增数列，所以，所以，，所以此等差数列为或．（2）设等差数列的公差为，则其前三项分别为，，，则，解得或．因为数列为递增数列，所以，所以等差数列的通项公式为．【方法技巧与总结】等差数列中对称设项法的应用1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为；2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为；3、四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为．【过关测试】一、单选题1．（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）在等差数列中，若，则（

）A．12 B．18 C．6 D．9【答案】D【解析】因为等差数列中，所以，所以.故选：D.2．（2023·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）在等差数列中，，，则（

）A．39 B．76 C．78 D．117【答案】C【解析】在等差数列中，，，则.故选：C.3．（2023·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考阶段练习）已知等差数列中，，，则（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】B【解析】等差数列，设公差为，，，则.故选：B4．（2023·甘肃天水·高二天水市第一中学校考阶段练习）已知数列满足，则（

）A．9 B． C．11 D．【答案】B【解析】由数列满足，可得，即，因为，可得，所以数列表示首项为，公差为的等差数列，则，所以.故选：B.5．（2023·甘肃嘉峪关·高二统考期末）若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（

）A．1 B．C． D．【答案】C【解析】设方程的四个根为，则，，又因为方程的四个根组成一个首项为的等差数列，设，所以，设等差数列的公差为，则，解得，则等差数列为，所以，则，故选：C6．（2023·河北保定·高三河北易县中学校考阶段练习）现有一张正方形剪纸，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到2张纸片，再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到3张纸片，……，以此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过10次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为（

）A．33 B．34 C．36 D．37【答案】B【解析】设没剪之前正方形的边数为，即，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开得到一个三角形和一个四边形，，然后无论是选择三角形或四边形，剪一次后边数都增加3，所以可知次剪纸得到的多边形纸片的边数成公差为3的等差数列，即，故经过10次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为，故选：B.7．（2023·河北衡水·高二衡水市第二中学校考期中）在数列中，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，所以，所以，两边取倒数得，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，.故选：A8．（2023·河南周口·高二校联考阶段练习）已知数列的通项公式分别为，将各项并在一起，相等的项即为一项，从小到大排列成一个新的数列，则（

）A．14155 B．6073 C．4047 D．4045【答案】D【解析】根据题意，得；；故，把中的项按6个一组划分，则第组可表示为，，，，，，，又，故是第组的第一个数，则．故选：D．二、多选题9．（2023·高二课时练习）已知等差数列的公差，则下列四个命题中真命题为（

）A．数列是递增数列 B．数列是递增数列C．数列是递增数列 D．数列是递增数列【答案】AD【解析】对于A，等差数列的公差，则数列是递增数列，正确；对于B，不妨取，则不是递增数列，B错误；对于C，不妨取，则不是递增数列，C错误；对于D，由于等差数列的公差，随n的增大而增大，随n的增大而增大，故也随n的增大而增大，即数列是递增数列，D正确，故选：AD10．（2023·湖南岳阳·高二统考期末）已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则（）A．公差的取值范围是 B．C． D．【答案】BCD【解析】由题意得,,，所以，解得，所以，故A错误；由，故B正确；由，故，C选项正确；由等差数列性质，，故D正确.故选：BCD11．（2023·福建三明·高二统考期末）已知函数，数列满足，且，.若是等差数列，则可能取的整数是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】，A选项，，，，所以是首项，公差为的等差数列.所以A选项正确.B选项，，所以，则为常数列，也是等差数列.所以B选项正确.C选项，，，，所以不是等差数列.所以C选项错误.D选项，，，当时，，所以是首项，公差为的等差数列.所以D选项正确.故选：ABD12．（2023·湖南·校联考模拟预测）若正项数列是等差数列，且，则（

）A．当时， B．的取值范围是C．当为整数时，的最大值为29 D．公差d的取值范围是【答案】ABC