2023届贵州省湄潭县湄江高考冲刺数学模拟试题含解析

2023高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知不同直线/、〃?与不同平面a、0,且/ua,mu/3,则下列说法中正确的是（）

A.若。〃则〃4MB.若a_L£,贝！

C.若则aJ•尸D.若。，尸，则〃

2.设机，〃为非零向量，贝IJ“存在正数/I,使得是“加力〉。”的（）

A.既不充分也不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.充分不必要条件

3.已知。，b,c分别是ABC三个内角A,B,C的对边，acosC+ecsinA=b+c,则A=（）

冗71c兀2万

A.—B.—C.—D.—

6433

4.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中.“〃阶幻方（〃之3,〃eN*）”是由前〃2个正整数组

成的一个〃阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的〃个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如

图所示）.则“5阶幻方”的幻和为（）

A.75B.65C.55D.45

5.已知定义在R上的函数/(©=止2凶，«=/(log3V5),Z?=-/(log3^),c=/(ln3),则a,h,c的大小关

系为()

A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

6.已知奇函数/(x)是R上的减函数，若〃M满足不等式组/(〃L〃-1)20，则2〃?—〃的最小值为()

/(加)<0

A.-4B.-2C.0D.4

7.已知Q=5S/=log4J^,c=log52,则。也的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

8.若复数2=(〃7+1)+(2-，77»(加€/?)是纯虚数，则生◎=()

z

A.3B.5C.75D.375

/

X

9.将函数y=2cos2—+-1的图像向左平移机（根>0）个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则机的

【2

最小值为（）

10.已知命题〃：*<2加+1应：/-5x+6<0,且/，是4的必要不充分条件，则实数/〃的取值范围为（）

A.m>—B.m>—C.m>\D.m>l

22

11.某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生

中抽取一个容量为〃的样本.若样本中高中生恰有30人，则〃的值为（）

A.20B.50C.40D.60

12.若（2x+的二项式展开式中二项式系数的和为32,则正整数〃的值为（）

A.7B.6C.5D.4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到

黑色障碍物，最后落入A袋或3袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是上，则小球落入

2

A袋中的概率为.

B

y>0

14.若实数MJ满足不等式组2x-y+320,贝ijz=2y—x的最小值是一

x+y-140

15.设函数/(x)(xeR)满足/(一外=/0),/0)=/(2-1),且当16[0,1]时/(x)=V,又函数g(x)=|xcos(»x)|,

13

则函数〃(x)=g(x)-/(x)在号,步上的零点个数为.

16.(“一2域(l—c)的展开式中，“3后c的系数是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)a,〃,c分别为qAfiC的内角的对边.已知a(sinA+4sin6)=8sinA.

IT

(1)若b=1,A=—,求sin8；

6

7T

(2)已知C=§,当.ABC的面积取得最大值时，求.ABC的周长.

18.(12分)己知a>0,匕>0,c>0.

44

/八七f4224ab(a+b]

(1)求证：a4-a2b2+b4..：~——

a2+b2

⑵若abc=1,求证：a3+by+c3..ah+hc+ac.

19.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：工+汇=1的左顶点为A，右焦点为尸，P,。为椭圆C上两

43

点，圆O：Jf2+y2=/(尸>0).

(1)若轴，且满足直线AP与圆。相切，求圆。的方程；

(2)若圆。的半径为百，点P,Q满足自户•《昭:一2,求直线PQ被圆。截得弦长的最大值.

20.(12分)已知函数/(x)=|X-/|+|x-2a+3],g(x)=/+QC+3.

(1)当。=1时，解关于x的不等式/(无)46；

(2)若对任意玉GR,都存在々G/?,使得不等式/a)>g(w)成立，求实数”的取值范围.

+

21.(12分)已知椭圆C：4-1(«>/?>0)的左、右顶点分别为A、B,焦距为2,点P为椭圆上异于A、

3

3的点，且直线以和m的斜率之积为-“

(1)求C的方程;

IAPWAQI

(2)设直线AP与＞轴的交点为Q,过坐标原点。作OM〃AP交椭圆于点试探窕是否为定值，若

|0M「

是，求出该定值；若不是，请说明理由.

22.(10分)如图，在四棱锥P—ABC。中，平面ABC。平面由O,AD//BC,AB=BC=AP=-AD,ZADP=3O,

2

ZBAD=90，E是。。的中点.

(1)证明：PDLPB;

(2)设4)=2,点M在线段PC上且异面直线与CE所成角的余弦值为半，求二面角M—AB—P的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.

【详解】

对于A,若a〃6，则/,加可能为平行或异面直线，A错误；

对于B,若则/，根可能为平行、相交或异面直线，8错误；

对于C,若/，尸，且/ua,由面面垂直的判定定理可知a，尸，C正确；

对于。，若aA.0,只有当〃，垂直于外月的交线时才有O错误.

故选：c.

【点睛】

本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.

2.D

【解析】

充分性中，由向量数乘的几何意义得（租,"）=0,再由数量积运算即可说明成立；必要性中，由数量积运算可得

,90）,不一定有正数X,使得m=丸〃，所以不成立，即可得答案.

【详解】

充分性:若存在正数4,使得m=4〃，则（肛“）=0,/n-n=|m||n|cosO=|/n||n|>0,得证；

必要性：若加.〃>0,贝!]（九”）€[0,90）,不一定有正数4,使得〃2=4〃，故不成立；

所以是充分不必要条件

故选：D

【点睛】

本题考查平面向量数量积的运算，向量数乘的几何意义，还考查了充分必要条件的判定，属于简单题.

3.C

【解析】

原式由正弦定理化简得GsinCsinA=cosAsinC+sinC,由于sinCwO,0<A<»可求A的值.

【详解】

解：由“cosC+J5csinA=b+c及正弦定理得sinAcosC+百sinCsinA=sinB+sinC-

因为B=所以sin3=sinAcosC+cosAsinC代入上式化简得6sinCsinA=cosAsinC+sinC.

由于sinCxO,所以sin（A-?）=；.

又0<A<乃，故4=一.

3

故选：c.

【点睛】

本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.

4.B

【解析】

计算1+2++25的和，然后除以5,得到“5阶幻方”的幻和.

【详解】

1+25

依题意“5阶幻方”的幻和为1+2++25F-xcq故选B.

------------=---------=63

55

【点睛】

本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前〃项和公式，属于基础题.

5.D

【解析】

先判断函数在x〉0时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到b=/'(log."),比较

logs石，Iog32,ln3三个数的大小，然后根据函数在x>0时的单调性，比较出三个数a,Ac•的大小.

【详解】

当x〉0时，f(x)=x-2W=x-2'=>/'(x)=2'+x-In2-2X>0,函数.f(x)在x〉0时，是增函数.因为

H

/(-%)=-X-2=-x-2'=-f(x),所以函数,fM是奇函数，所以有人-/(log3g)=/(-log3g)=/(log,2),

因为In3>l>log36>log32>0,函数/(x)在尤>0时，是增函数，所以。>。>从故本题选D.

【点睛】

本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.

6.B

【解析】

根据函数的奇偶性和单调性得到可行域，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.

【详解】

m<2-H

奇函数〃元)是R上的减函数，则"0)=0,且一根-〃-140,画出可行域和目标函数，

m>0

z=2m—n,即〃=2m—z,z表示直线与)，轴截距的相反数，

根据平移得到：当直线过点(0,2),即加=0.〃=2时，z=2〃?一“有最小值为-2.

故选：B.

【点睛】

本题考查了函数的单调性和奇偶性，线性规划问题，意在考查学生的综合应用能力，画出图像是解题的关键.

7.A

【解析】

根据指数函数的单调性，可得〃再利用对数函数的单调性，将"c与1,1对比，即可求出结论.

【详解】

由题知。=5与>5°=1,1>/?=log4V5>log42=—,

c=log52<log55/5=—,贝！JQ>O>C.

故选:A.

【点睛】

本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题..

8.C

【解析】

先由已知，求出加=-1,进一步可得"包=l-2i,再利用复数模的运算即可

Z

【详解】

由z是纯虚数，得m+1=0且2-加。()，所以根=-1,z=3i.

E“6+3z6+3zI"/z

因此，-----=--=1-2/=V5.

z3i

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的除法、复数模的运算，考查学生的运算能力，是一道基础题.

9.B

【解析】

由余弦的二倍角公式化简函数为y=cos[x+f],要想在括号内构造[变为正弦函数，至少需要向左平移四个单位

I4J24

长度，即为答案.

【详解】

=cosjx+f]对其向左平移四个单位长度后，

I4；4

y=cos=coslx+j=-sinx,其图像关于坐标原点对称

兀

故，”的最小值为一

4

故选：B

【点睛】

本题考查三角函数图象性质与平移变换，还考查了余弦的二倍角公式逆运用，属于简单题.

10.D

【解析】

求出命题夕不等式的解为2<x<3,。是夕的必要不充分条件，得4是P的子集，建立不等式求解.

【详解】

解：命题〃：x<2m+l,q:x2-5x+6<0,即：2cx<3,

〃是4的必要不充分条件，

.•.(2,3)^(-℃>,2m+l,),

2m+l>3,解得机21.实数加的取值范围为加2/.

故选：D.

【点睛】

本题考查根据充分、必要条件求参数范围，其思路方法：

(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参

数的不等式(组)求解.

⑵求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验.

11.B

【解析】

利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可.

【详解】

由题意，30=1500解得“=50.

故选：B.

【点睛】

本题考查简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题.

12.C

【解析】

由二项式系数性质，（“+》）”的展开式中所有二项式系数和为2"计算.

【详解】

2x+^=］的二项展开式中二项式系数和为2"，2"=32,;.〃=5.

故选：C.

【点睛】

本题考查二项式系数的性质，掌握二项式系数性质是解题关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

3

13.一

4

【解析】

记小球落入8袋中的概率P（B）,则P（A）+P（B）=1,又小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向

右下落，小球将落入B袋，所以有则P（A）=1-尸（8）=q.故本题应填:

14.-1

【解析】

作出可行域，如图:

由z=2y-x得y=1x+Lz,由图可知当直线经过A点时目标函数取得最小值，A(1,0)

22

所以Zmm=・1

故答案为“

15.1

【解析】

判断函数为偶函数，周期为2,判断g(x)为偶函数，计算/(0)=0,/(1)=1,g(0)=g(g)=g(—g)=gg)=0,

画出函数图像，根据图像到答案.

【详解】

/(—x)=/(x)知，函数/")为偶函数，f(x)=f(2-x),函数关于x=l对称。

/(x)=/(2—x)=/(x—2),故函数/(x)为周期为2的周期函数，且/(0)=0,/⑴=1。

g(x)=|xcos(;rx)|为偶函数，g(0)=g(，)=g(-g)=g(m)=0,g⑴=1,

当xe0,；时，g(x)=xcos(;rx),g'(x)=cos(»x)-Gsin(G),函数先增后减。

/13-1.

当时，g(x)=-xcos(»x),g'(x)=Gsin(G)-cos(>rx),函数先增后减。

1313

在同一坐标系下作出两函数在［-不不上的图像，发现在［-二,=］内图像共有1个公共点,

2222

13

则函数/?(x)在［-不口上的零点个数为1.

22

故答案为：6.

本题考查了函数零点问题，确定函数的奇偶性，对称性，周期性，画出函数图像是解题的关键.

16.-40

【解析】

先将原式展开成(。-乃『-c(a-2力，发现(a-20)5中不含泊丘，故只研究后面一项即可得解.

【详解】

(a-2Z?)5(l-c)=(«-2Z?)5-c(a-2Z?)5,

依题意，只需求一小(。一%)5中/从c的系数，是-Cb(-2)2=-40.

故答案为：-40

【点睛】

本题考查二项式定理性质，关键是先展开再利用排列组合思想解决，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)sinB=-(2)5+Vl3

8

【解析】

(1)根据正弦定理，将a(sinA+4sin3)=8sinA,化角为边，即可求出a,再利用正弦定理即可求出sin8；

TTJ

(2)根据C=；,选择S=；；aAinC,所以当A6C的面积取得最大值时，ab最大，

32

结合(1)中条件a+4匕=8,即可求出。人最大时，对应的a1的值，再根据余弦定理求出边，，进而得到，A6C的

周长.

【详解】

(1)由a(sinA+4sin5)=8sinA,得a(a+4/?)=8〃，

即a+4Z?=8.

因为匕=1,所以a=4.

41,

由sin兀sin8，得sin8=^.

‘6'

(2)因为a+4b=8N2y[^=4册,

所以而W4,当且仅当a=4/?=4时，等号成立.

因为，ASC的面积S=!absinC4，x4xsinE=6.

223

所以当a=46=4时，A6C的面积取得最大值，

此时c?=42+『-2x4xlxcos二=13,则c=Vl^,

3

所以..ABC的周长为5+屈.

【点睛】

本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，涉及到基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能

力.

18.(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】

(1)采用分析法论证，要证y咆/卫2,分式化整式为(/+02),4“2加+/)“(/+/),

a2+b2

再利用立方和公式转化为/+h6..a5h+ab5,再作差提取公因式论证.

(2)由基本不等式得分+)3+1斶42/3+/+13儿,苏+/+1?3。。，再用不等式的基本性质论证.

【详解】

⑴要证/一B+氏4^1'

即证+。2)(。4-a2b2+人4)..仍(。4+h4),

na6+b6..a5b+ab5,

即证6?+户一/匕一皿5..0,

即证/(a-b)-(a-加庐.0,

即证(a，-//)(〃-/?)..(),

该式显然成立，当且仅当。=人时等号成立，

故/—L…吸+口

a2+b2

(2)由基本不等式得/+川+。33出七，

o,+b7,+1廊ab,b'+c3+13bc,o'+c3+1?3ac,

当且仅当a=b=c=l时等号成立.

将上面四式相加，可得3a3+3/+3<?+3..3aZ?c+3aZ?+3bc+3ac,

BPa3+b3+c3..ab+be+ac.

【点睛】

本题考查证明不等式的方法、基本不等式，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题..

19.(1)x~+y~=—(2)

【解析】

试题分析：(1)确定圆。的方程，就是确定半径的值，因为直线AP与圆。相切，所以先确定直线方程，即确定点P

331

坐标：因为轴，所以尸(1,±9，根据对称性，可取则直线AP的方程为y=/(x+2),根据圆心到

2

切线距离等于半径得一=祢(2)根据垂径定理，求直线PQ被圆。截得弦长的最大值，就是求圆心。到直线P。的

\b\3

距离的最小值.设直线PQ的方程为y=a，+6,则圆心。到直线P2的距离d=,利用《「心久二一三得

yjk+14

3入氏+4y%=°，化简得(3+4公)工也+4奶区+々)+4〃=0,利用直线方程与椭圆方程联立方程组并结合韦达

定理得=4二+3,因此d=4坐了=、2——I—,当人=0时，△取最小值，PQ取最大值为几.

y2(r+1)V2(r+1)

试题解析：解：(1)

y

因为椭圆。的方程为二+匕=1,所以A(—2,0),F(l,0).

43

因为轴，所以尸(1,土|),而直线AP与圆。相切,

根据对称性，可取P(l,3),

2

则直线AP的方程为y=万(x+2),

即x-2y+2=0.

2

由圆。与直线AP相切，得7彳，

所以圆。的方程为f+y2=1.

(2)

易知，圆。的方程为/+>2=3.

3

①当尸QJ_x轴时，kOP-kOQ=-kOp

所以如=±#,

此时得直线PQ被圆。截得的弦长为处.

7

②当PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y=^+6,P(M，x),Q(X2，y2)(X|X2力0)，

3

首先由左”•％=-工，得3%々+4,必=°，

即3X,X2+4(Ax,+b)(kx2+b)=0,

所以(3+4Z‘)x无2+4奶(％+9)+4/?2=0(*).

y-kx+b

联立｛/丫2,消去x,得(3+4/)/+8姑x+4〃-12=0,

—+—=1

43

将一高⑷2=空^代入⑺式，

得2b2=4%2+3.

由于圆心。到直线PQ的距离为d=,

收+1

所以直线P。被圆。截得的弦长为/=213-=,4+白丁故当％=0时，/有最大值为".

综上，因为木>小夕，所以直线P。被圆。截得的弦长的最大值为指.

7

考点：直线与圆位置关系

20.⑴{x|-3WxW3}；(2)(-8,0)。(|,+8).

【解析】

(1)分类讨论去绝对值号，然后解不等式即可.

(2)因为对任意不eR,都存在々eA,使得不等式/(%)>g(w)成立，等价于/(x)mm>g(x)min，"x).根据绝

对值不等式易求，g(X)min根据二次函数易求，

然后解不等式即可.

【详解】

—2x,尢<—1,

解：(1)当。=1时,/(x)Hx-l|+|x+l|,则/(%)=<2,-L,%<1,

2x,x.A.

当xv—1时，由/(x)»6得，一2毛,6,解得一3nx<—1；

当一l,,x<l时，/(x),,6恒成立；

当乂.1时，由/(戏，6得，2%,6,解得掇山3.

所以/(X),,6的解集为[x\-3<x<3}

(2)对任意”R,都存在％wR,得八百)>g(x2)成立，等价于/(x)rain>g(x)min.

因为。~一2。+3=(a—1)~+2>0,所以Q2>2Q—3，

且|卜-1+1x—2cl+31..j(x_)-(工-2a+3)|二卜厂-2^/+3|

=/_2。+3,①

当2。一3麴k"时，①式等号成立，即/a)mm="—2a+3.

22

又因为x2+以+3=(x+@y+3-幺..3-幺，②

244

2

当x=-£时，②式等号成立，即g(x)mm=3-巴.

24

2

所以。2。+3>3---,即5〃2—8。>0

4

即〃的取值范围为：(-8,0)u[*+oc).

【点睛】

知识：考查含两个绝对值号的不等式的解法；恒成立问题和存在性问题求参变数的范围问题；能力：分析问题和解决

问题的能力以及运算求解能力；中档题.

22

21.(1)土+二=1(2)是定值，且定值为2

43

【解析】

3A2

(1)设出P点坐标并代入椭圆方程，根据火”/外=-二列方程，求得二的值，结合2c=2求得。力的值，进而求

4a~

得椭圆C的方程.

(2)设出直线AROM的方程，联立直线AP的方程和椭圆方程，求得P点的横坐标，联立直线OM的方程和椭圆

方程，求得X：,由此化简求得,『且=2为定值.

【详解】

(1)已知点P在椭圆C：7V=1(.a>b>0)上,

可设尸(%,%)，即国_+耳=1，

ab.

b2

又上"•即.=』-•』—22—23

/+Q/-〃x^—aa4,

22

且2c=2,可得椭圆C的方程为土+匕=1.

43

(2)设直线AP的方程为：y=k(x+2),贝!］直线OM的方程为.y=履.

联立直线AP与椭圆C的方程可得：(3+4公卜2+16左2%+i6k27