2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题一三角函数与平面向量01真题赏析类型三解三角形

类型三解三角形1．(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝eq\r(6)，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________．解析：如图，因为在△ABC中，AB＝2，∠BAC＝60°，BC＝eq\r(6)，所以由正弦定理可得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，所以sin∠ACB＝eq\f(AB×sin∠BAC,BC)＝eq\f(2×\f(\r(3),2),\r(6))＝eq\f(\r(2),2)，又∠BAC＝60°，所以∠ACB＝45°，所以∠ABC＝180°－45°－60°＝75°，又AD为∠BAC的平分线，且∠BAC＝60°，所以∠BAD＝30°，又∠ABC＝75°，所以∠ADB＝75°，所以AD＝AB＝2.答案：22．(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosB－bcosA＝c，且C＝eq\f(π,5)，则B＝()A.eq\f(π,10)B.eq\f(π,5)C.eq\f(3π,10)D.eq\f(2π,5)解析：由acosB－bcosA＝c得sinAcosB－sinBcosA＝sinC，得sin(A－B)＝sinC＝sin(A＋B)，即sinAcosB－sinBcosA＝sinAcosB＋sinBcosA，即2sinBcosA＝0，得sinBcosA＝0，在△ABC中，sinB≠0，所以cosA＝0，即A＝eq\f(π,2)，则B＝π－A－C＝π－eq\f(π,2)－eq\f(π,5)＝eq\f(3π,10).故选C.答案：C3．(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB.(1)求sinA；(2)设AB＝5，求AB边上的高．解：(1)因为A＋B＝3C，A＋B＋C＝π，所以4C＝π，所以C＝eq\f(π,4)，因为2sin(A－C)＝sinB，所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，所以2sinAcosC－2cosAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC，所以sinAcosC＝3cosAsinC，所以eq\f(\r(2),2)sinA＝3×eq\f(\r(2),2)cosA，所以sinA＝3cosA，即cosA＝eq\f(1,3)sinA，又因为sin2A＋cos2A＝1，所以sin2A＋eq\f(1,9)sin2A＝1，解得sin2A＝eq\f(9,10)，又因为A∈(0，π)，所以sinA>0，所以sinA＝eq\f(3\r(10),10).(2)由(1)可知sinA＝eq\f(3\r(10),10)，cosA＝eq\f(1,3)sinA＝eq\f(\r(10),10)，所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(3\r(10),10)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(10),10)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(2\r(5),5)，所以eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sinA)＝eq\f(5,sin\f(π,4))＝5eq\r(2)，所以AC＝5eq\r(2)sinB＝5eq\r(2)×eq\f(2\r(5),5)＝2eq\r(10)，BC＝5eq\r(2)×sinA＝5eq\r(2)×eq\f(3\r(10),10)＝3eq\r(5)，设AB边上的高为h，则eq\f(1,2)AB·h＝eq\f(1,2)×AC×BC×sinC，所以eq\f(5,2)h＝eq\f(1,2)×2eq\r(10)×3eq\r(5)×eq\f(\r(2),2)，解得h＝6，即AB边上的高为6.4．(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为eq\r(3)，D为BC的中点，且AD＝1.(1)若∠ADC＝eq\f(π,3)，求tanB；(2)若b2＋c2＝8，求b，c.解：(1)因为D为BC中点，S△ABC＝eq\r(3)，则S△ACD＝eq\f(\r(3),2)，过A作AE⊥BC，垂足为E，如图所示：△ADE中，DE＝eq\f(1,2)，AE＝eq\f(\r(3),2)，S△ACD＝eq\f(1,2)·eq\f(\r(3),2)CD＝eq\f(\r(3),2)，解得CD＝2，所以BD＝2，BE＝eq\f(5,2)，故tanB＝eq\f(AE,BE)＝eq\f(\f(\r(3),2),\f(5,2))＝eq\f(\r(3),5).(2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，eq\o(AD,\s\up6(→))2＝eq\f(1,4)(c2＋b2＋2bccosA)，AD＝1，b2＋c2＝8，则1＝eq\f(1,4)(8＋2bccosA)，所以bccosA＝－2，①S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(3)，即bcsinA＝2eq\r(3)，②由①②解得tanA＝－eq\r(3)，所以A＝eq\f(2π,3)，所以bc＝4，又b2＋c2＝8，所以b＝c＝2.5．(2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知eq\f(b2＋c2－a2,cosA)＝2，(1)求bc；(2)若eq\f(acosB－bcosA,acosB＋bcosA)－eq\f(b,c)＝1，求△ABC面积．解：(1)因为eq\f(b2＋c2－a2,cosA)＝eq\f(2bccosA,cosA)＝2bc＝2，所以bc＝1.(2)eq\f(acosB－bcosA,acosB＋bcosA)－eq\f(b,c)＝eq\f(sinAcosB－sinBcosA,sinAcosB＋sinBcosA)－eq\f(sinB,sinC)＝1，所以eq\f(sin（A－B）,sin（A＋B）)－eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(sin（A－B）－sinB,sinC)＝1，所以sin(A－B)－sinB＝sinC＝sin(A＋B)，所以sinAcosB－sin