2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题三立体几何微专题2立体几何与空间向量大题考法2平行与垂直关系的证明及面面角的求解

大题考法2平行与垂直关系的证明及面面角的求解(2023·东莞模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝eq\f(2π,3)，AB＝BC＝2，且A1B⊥AC.(1)证明：A1A＝A1C；(2)若A1A＝2，二面角A1-AC-B的大小为eq\f(π,3)，求平面A1CB1与平面BCC1B1夹角的余弦值．(1)证明：设AC的中点为O，连接OA1，OB，A1B，因为AB＝BC，所以AC⊥OB，又因为AC⊥A1B，且A1B∩OB＝B，A1B，OB⊂平面OBA1，所以AC⊥平面OBA1因为OA1⊂平面OBA1，所以AC⊥OA1，又因为O是AC中点，所以AA1＝A1C.(2)解：由上可知：A1A＝A1C＝2，在△ABC中，由余弦定理得：AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cos\f(2π,3))＝2eq\r(3)，则BO＝eq\f(1,2)AB＝1，A1O＝eq\r(A1A2－AO2)＝1，又因为AC⊥平面OBA1，二面角A1-AC-B的大小为eq\f(π,3)，则∠A1OB＝eq\f(π,3)，以eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))所在直线分别为x轴，y轴，以过O垂直于底面ABC的直线为z轴，建系如图，则根据题意可得：A1(eq\f(1,2)，0，eq\f(\r(3),2))，C(0，eq\r(3)，0)，B1(eq\f(3,2)，eq\r(3)，eq\f(\r(3),2))，C1(eq\f(1,2)，2eq\r(3)，eq\f(\r(3),2))，B(1，0，0)，所以eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,2)，eq\r(3)，－eq\f(\r(3),2))，eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3)，0)，eq\o(BB1,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，eq\r(3)，eq\f(\r(3),2))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，eq\r(3)，0)．设平面A1CB1的法向量为m＝(x，y，z)，平面BB1C1C的法向量为n＝(a，b，c)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(A1C,\s\up6(→))＝－\f(1,2)x＋\r(3)y－\f(\r(3),2)z＝0，,m·\o(A1B1,\s\up6(→))＝x＋\r(3)y＝0，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(BB1,\s\up6(→))＝\f(1,2)a＋\r(3)b＋\f(\r(3),2)c＝0，,n·\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋\r(3)b＝0，))取m＝(eq\r(3)，－1，－3)，n＝(eq\r(3)，1，－3)，记平面A1CB1与平面BCC1B1的夹角为θ，所以cosθ＝eq\f(|m·n|,|m|·|n|)＝eq\f(|3－1＋9|,\r(13)×\r(13))＝eq\f(11,13).利用向量求二面角求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．注意：两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角．此外平面与平面所成角为锐角或直角，因此设平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，ν＝(a4，b4，c4)，平面α，β的夹角为θ(0≤θ≤eq\f(π,2))，则cosθ＝eq\f(|μ·ν|,|μ||ν|)＝|cos〈μ，ν〉|.(2023·湛江二模)如图1，在五边形ABCDE中，四边形ABCE为正方形，CD⊥DE，CD＝DE，如图2，将△ABE沿BE折起，使得A至A1处，且A1B⊥DE.(1)证明：DE⊥平面A1BE.(2)求二面角C-A1E-D的余弦值．(1)证明：由题意可知∠BEC＝∠CED＝eq\f(π,4)，∠BED＝eq\f(π,2)，DE⊥BE，因为A1B⊥DE，A1B∩BE＝B，所以DE⊥平面A1BE.(2)解：取BE的中点O，可知BE＝2CD，DE＝CD，由DE⊥BE，且CD⊥DE，可得OE∥CD，所以OCDE是平行四边形，CO∥DE，CO⊥平面A1BE，设BE＝2，以O为坐标原点，OB，OC，OA1所在直线为坐标轴建立如图2所示的空间直角坐标系，A1(0，0，1)，E(－1，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，D(－1，1，0)，所以eq\o(EA1,\s\up6(→))＝(1，0，1)，eq\o(EC,\s\up6(→))＝(1，1，0)，设平面A1EC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(EA1,\s\up6(→))＝x＋z＝0，,n·\o(EC,\s\up6(→))＝x＋y＝0，))令x＝1，则y＝－1，z＝－1，所以平面A1BC的一个法向量为n＝(1，－1，－1)，由已知A1B⊥DE，且A1B⊥A1E，DE∩A1E＝E，所以A1B⊥平面A1ED，所以平面A1ED的一个法向量为m＝eq\o(A1B,\s