2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题三立体几何微专题1空间几何体空间中的位置关系小题考法1空间几何体的表面积与体积

小题考法1空间几何体的表面积与体积(1)(2023·深圳模拟)圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为()A．384πB．392πC．398πD．404π(2)(2023·东莞市校级模拟)中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代(公元前476年—前222年)，其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器，如图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥的底面圆的直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的eq\f(2,3)(细管长度忽略不计)．若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为()A．2cmB．eq\f(4,3)cmC．eq\f(8,3)cmD．eq\f(64,27)cm(3)(2023·汕头一模)如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，若半径为r的球O与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积S＝________．解析：(1)设圆锥的半径为r，母线长为l，则r＝8，由题意知，2πr＝eq\f(π,3)l，解得l＝48，所以圆锥的侧面积为πrl＝8×48π＝384π.故选A.(2)由题意可知，开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高H＝eq\f(2,3)×8＝eq\f(16,3)，底面圆的半径r＝eq\f(2,3)×4＝eq\f(8,3)，故细沙的体积V＝eq\f(1,3)πr2H＝eq\f(1,3)π×(eq\f(8,3))2×eq\f(16,3)＝eq\f(1024π,81).当细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为4，设高为H′，则eq\f(1,3)π×42×H′＝eq\f(1024π,81)，得H′＝eq\f(64,27).故此锥形沙堆的高为eq\f(64,27)cm.故选D.(3)设正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面的中心为M、H，连接MH，则球O的球心为MH的中点，过O作OG⊥平面A1D1DA，因为AB＝4，A1B1＝2，所以NG＝NM＝1，GF＝FH＝2，所以FN＝3，过N作NE⊥FH交FH于点E，则MH＝NE＝eq\r(NF2－FE2)＝eq\r(9－1)＝2eq\r(2)，设球O的半径为R，则R＝eq\f(MH,2)＝eq\r(2)，则S＝4πR2＝8π，故答案为8π.答案：(1)A(2)D(3)8π1．求空间几何体的体积常用方法有：等体积转化法，割补法等．2．求空间几何体的表面积或侧面积关键思想是空间问题平面化．1．(2023·潮州二模)折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1)．图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC＝120°，则该圆台的体积为()A．eq\f(50\r(2),3)πB．9πC．7πD．eq\f(14\r(2),3)π解析：两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC＝120°，所以两个圆弧的弧长分别为2π，4π，可得圆台的两底面半径分别为1，2，圆台的高为eq\r(32－12)＝2eq\r(2).圆台的体积为V＝eq\f(1,3)π(22＋2×1＋12)×2eq\r(2)＝eq\f(14\r(2)π,3).故选D.答案：D2．(2023·广东一模)已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\r(3)解析：设圆锥和圆柱的底面半径为r，因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为l＝2r，则圆锥和圆柱的高为h＝eq\r(4r2－r2)＝eq\r(3)r，所以圆锥的侧面积为S1＝eq\f(1,2)×2πr×l＝2πr2，圆柱的侧面积为S2＝2πr×h＝2eq\r(3)πr2，所以圆锥和圆柱的侧面积之比为eq\f(S1,S2)＝eq\f(\r(3),3).故选C.答案：C3.(2023·广东模拟)如图为三棱锥A-BCD的平面展开图，其中AC＝CD＝CB＝2，AE⊥BD，垂足为C，则该三棱锥的体积为________．解析：由三棱锥A-BCD的平面展开图还原原三棱锥如图，三棱锥ABC