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文档简介
2023-2024学年福建省罗源县第一中学高三上数学期末调研试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数在区间有三个零点,,,且,若,则的最小正周期为()A. B. C. D.2.公比为2的等比数列中存在两项,,满足,则的最小值为()A. B. C. D.3.已知集合,集合,则等于()A. B.C. D.4.在直角梯形中,,,,,点为上一点,且,当的值最大时,()A. B.2 C. D.5.《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤;斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现在有一根金箠,长五尺在粗的一端截下一尺,重斤;在细的一端截下一尺,重斤,问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设,假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列,则从粗端开始的第二尺的重量是()A.斤 B.斤 C.斤 D.斤6.为得到y=sin(2x-πA.向左平移π3个单位B.向左平移πC.向右平移π3个单位D.向右平移π7.已知,则()A. B. C. D.28.设函数恰有两个极值点,则实数的取值范围是()A. B.C. D.9.已知函数,将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标保持不变;再把所得图象向上平移个单位长度,得到函数的图象,若,则的值可能为()A. B. C. D.10.两圆和相外切,且,则的最大值为()A. B.9 C. D.111.某三棱锥的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为,则该三棱锥外接球的表面积为()A. B. C. D.12.若集合M={1,3},N={1,3,5},则满足M∪X=N的集合X的个数为()A.1 B.2C.3 D.4二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知非零向量的夹角为,且,则______.14.已知函数对于都有,且周期为2,当时,,则________________________.15.若变量,满足约束条件,则的最大值为__________.16.在中,点在边上,且,设,,则________(用,表示)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知动圆E与圆外切,并与直线相切,记动圆圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点的直线l交曲线C于A,B两点,若曲线C上存在点P使得,求直线l的斜率k的取值范围.18.(12分)某动漫影视制作公司长期坚持文化自信,不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材,创作出一批又一批的优秀动漫影视作品,获得市场和广大观众的一致好评,同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司年至年的年利润关于年份代号的统计数据如下表(已知该公司的年利润与年份代号线性相关).年份年份代号年利润(单位:亿元)(Ⅰ)求关于的线性回归方程,并预测该公司年(年份代号记为)的年利润;(Ⅱ)当统计表中某年年利润的实际值大于由(Ⅰ)中线性回归方程计算出该年利润的估计值时,称该年为级利润年,否则称为级利润年.将(Ⅰ)中预测的该公司年的年利润视作该年利润的实际值,现从年至年这年中随机抽取年,求恰有年为级利润年的概率.参考公式:,.19.(12分)已知,函数的最小值为1.(1)证明:.(2)若恒成立,求实数的最大值.20.(12分)已知数列的前n项和为,且n、、成等差数列,.(1)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;(2)若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列,求的值.21.(12分)某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查,该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生,调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”,现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%,统计情况如下表:同意不同意合计男生a5女生40d合计100(1)求a,d的值,根据以上数据,能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由;(2)将上述调查所得的频率视为概率,现在从所有学生中,采用随机抽样的方法抽取4位学生进行长期跟踪调查,记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为X,求X的分布列及数学期望.附:0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63522.(10分)在直角坐标系中,已知曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;(2)若射线的极坐标方程为().设与相交于点,与相交于点,求.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
根据题意,知当时,,由对称轴的性质可知和,即可求出,即可求出的最小正周期.【详解】解:由于在区间有三个零点,,,当时,,∴由对称轴可知,满足,即.同理,满足,即,∴,,所以最小正周期为:.故选:C.【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期,涉及函数的对称性的应用,考查计算能力.2、D【解析】
根据已知条件和等比数列的通项公式,求出关系,即可求解.【详解】,当时,,当时,,当时,,当时,,当时,,当时,,最小值为.故选:D.【点睛】本题考查等比数列通项公式,注意为正整数,如用基本不等式要注意能否取到等号,属于基础题.3、B【解析】
求出中不等式的解集确定出集合,之后求得.【详解】由,所以,故选:B.【点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题,涉及到的知识点有一元二次不等式的解法,集合的运算,属于基础题目.4、B【解析】
由题,可求出,所以,根据共线定理,设,利用向量三角形法则求出,结合题给,得出,进而得出,最后利用二次函数求出的最大值,即可求出.【详解】由题意,直角梯形中,,,,,可求得,所以·∵点在线段上,设,则,即,又因为所以,所以,当时,等号成立.所以.故选:B.【点睛】本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理,以及运用二次函数求最值,考查转化思想和解题能力.5、B【解析】
依题意,金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列,则,由此利用等差数列性质求出结果.【详解】设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为,设首项,则,公差,.故选B【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.6、D【解析】试题分析:因为,所以为得到y=sin(2x-π3)的图象,只需要将考点:三角函数的图像变换.7、B【解析】
结合求得的值,由此化简所求表达式,求得表达式的值.【详解】由,以及,解得..故选:B【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值,考查二倍角公式,属于中档题.8、C【解析】
恰有两个极值点,则恰有两个不同的解,求出可确定是它的一个解,另一个解由方程确定,令通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t应满足的条件.【详解】由题意知函数的定义域为,.因为恰有两个极值点,所以恰有两个不同的解,显然是它的一个解,另一个解由方程确定,且这个解不等于1.令,则,所以函数在上单调递增,从而,且.所以,当且时,恰有两个极值点,即实数的取值范围是.故选:C【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值,函数与方程的应用,属于中档题.9、C【解析】
利用二倍角公式与辅助角公式将函数的解析式化简,然后利用图象变换规律得出函数的解析式为,可得函数的值域为,结合条件,可得出、均为函数的最大值,于是得出为函数最小正周期的整数倍,由此可得出正确选项.【详解】函数,将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍,得的图象;再把所得图象向上平移个单位,得函数的图象,易知函数的值域为.若,则且,均为函数的最大值,由,解得;其中、是三角函数最高点的横坐标,的值为函数的最小正周期的整数倍,且.故选C.【点睛】本题考查三角函数图象变换,同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题,解题的关键在于确定、均为函数的最大值,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.10、A【解析】
由两圆相外切,得出,结合二次函数的性质,即可得出答案.【详解】因为两圆和相外切所以,即当时,取最大值故选:A【点睛】本题主要考查了由圆与圆的位置关系求参数,属于中档题.11、C【解析】
作出三棱锥的实物图,然后补成直四棱锥,且底面为矩形,可得知三棱锥的外接球和直四棱锥的外接球为同一个球,然后计算出矩形的外接圆直径,利用公式可计算出外接球的直径,再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.【详解】三棱锥的实物图如下图所示:将其补成直四棱锥,底面,可知四边形为矩形,且,.矩形的外接圆直径,且.所以,三棱锥外接球的直径为,因此,该三棱锥的外接球的表面积为.故选:C.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积,解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图,并分析三棱锥的结构,选择合适的模型进行计算,考查推理能力与计算能力,属于中等题.12、D【解析】可以是共4个,选D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】
由已知条件得出,可得,解之可得答案.【详解】向量的夹角为,且,,可得:,
可得,
解得,
故答案为:1.【点睛】本题考查根据向量的数量积运算求向量的模,关键在于将所求的向量的模平方,利用向量的数量积化简求解即可,属于基础题.14、【解析】
利用,且周期为2,可得,得.【详解】∵,且周期为2,∴,又当时,,∴,故答案为:【点睛】本题考查函数的周期性与对称性的应用,考查转化能力,属于基础题.15、【解析】
根据约束条件可以画出可行域,从而将问题转化为直线在轴截距最大的问题的求解,通过数形结合的方式可确定过时,取最大值,代入可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示:将化为,则最大时,直线在轴截距最大;由直线平移可知,当过时,在轴截距最大,由得:,.故答案为:.【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解,关键是能够将问题转化为直线在轴截距的最值的求解问题,通过数形结合的方式可求得结果.16、【解析】
结合图形及向量的线性运算将转化为用向量表示,即可得到结果.【详解】在中,因为,所以,又因为,所以.故答案为:【点睛】本题主要考查三角形中向量的线性运算,关键是利用已知向量为基底,将未知向量通过几何条件向基底转化.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】
(1)根据抛物线的定义,结合已知条件,即可容易求得结果;(2)设出直线的方程,联立抛物线方程,根据直线与抛物线相交则,结合由得到的斜率关系,即可求得斜率的范围.【详解】(1)因为动圆与圆外切,并与直线相切,所以点到点的距离比点到直线的距离大.因为圆的半径为,所以点到点的距离等于点到直线的距离,所以圆心的轨迹为抛物线,且焦点坐标为.所以曲线的方程.(2)设,,由得,由得且.,,同理由,得,即,所以,由,得且,又且,所以的取值范围为.【点睛】本题考查由抛物线定义求抛物线方程,涉及直线与抛物线相交结合垂直关系求斜率的范围,属综合中档题.18、(Ⅰ),该公司年年利润的预测值为亿元;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)求出和的值,将表格中的数据代入最小二乘法公式,求得和的值,进而可求得关于的线性回归方程,然后将代入回归直线方程,可得出该公司年年利润的估计值;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归直线方程计算出从年至年这年被评为级利润年的年数,然后利用组合计数原理结合古典概型的概率可得出所求事件的概率.【详解】(Ⅰ)根据表中数据,计算可得,,,又,,,关于的线性回归方程为.将代入回归方程得(亿元),该公司年的年利润的预测值为亿元.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知年至年的年利润的估计值分别为、、、、、、、(单位:亿元),其中实际利润大于相应估计值的有年.故这年中被评为级利润年的有年,评为级利润年的有年.记“从年至年这年的年利润中随机抽取年,恰有年为级利润年”的概率为,.【点睛】本题考查利用最小二乘法求回归直线方程,同时也考查了古典概型概率的计算,涉及组合计数原理的应用,考查计算能力,属于中等题.19、(1)2;(2)【解析】分析:(1)将转化为分段函数,求函数的最小值(2)分离参数,利用基本不等式证明即可.详解:(Ⅰ)证明:,显然在上单调递减,在上单调递增,所以的最小值为,即.(Ⅱ)因为恒成立,所以恒成立,当且仅当时,取得最小值,所以,即实数的最大值为.点睛:本题主要考查含两个绝对值的函数的最值和不等式的应用,第二问恒成立问题分离参数,利用基本不等式求解很关键,属于中档题.20、(1)证明见解析,;(2)11202.【解析】
(1)由n,,成等差数列,可得,,两式相减,由等比数列的定义可得是等比数列,可求数列的通项公式;(2)由(1)中的可求出,根据和求出数列,中的公共项,分组求和,结合等比数列和等差数列的求和公式,可得答案.【详解】(1)证明:因为n,,成等差数列,所以,①所以.②①-②,得,所以.又当时,,所以,所以,故数列是首项为2,公比为2的等比数列,所以,即.(2)根据(1)求解知,,,所以,所以数列是以1为首项,2为公差的等差数列.又因为,,,,,,,,,,,所以.【点睛】本题考查等比数列的定义,考查分组求和,属于中档题.2
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