2023-2024学年河南省驻马店市汝南县八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省驻马店市汝南县八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（）A． B． C． D．2．下列说法正确的是（）A．多边形的边数越多，外角和越大 B．三角形的一个外角等于两个内角的和 C．直角三角形只有一条高 D．三角形的三条角平分线的交点在三角形内3．由于疫情，现在网课已经成为我们学习的一种主要方式，网课期间我们常常把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，如图，此手机能稳稳放在支架上利用的原理是（）A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形的内角和为180° D．垂线段最短4．如图，已知△ABC≌△DEF（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F），若∠A＝25°，∠B＝30°，则∠F的度数是（）A．120° B．125° C．110° D．100°5．如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD＝∠DAB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS6．在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（）A．过C作EF∥AB B．延长AC到F，过C作CE∥AB C．过AB上一点D作DE∥BC，DF∥AC D．作CD⊥AB于点D7．如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（）A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE8．如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（）A．20° B．25° C．30° D．35°9．在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），若以B，O，C为顶点的三角形与△ABO全等，则点C的坐标不能为（）A．（0，﹣4） B．（﹣2，0） C．（2，4） D．（﹣2，4）10．如图，在等边△ABC中，BC边上的高AD＝5，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，EB+EF存在最小值，则这个最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．在平面直角坐标系中，点（﹣3，5）关于x轴对称的点的坐标为．12．已知三角形的三边长分别是3、4、x，则x的取值范围是．13．如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B间的距离，作线段AC与BD相交于点O，使AC＝BD，BO＝CO，测得CO＝60m，CD＝55m，则A、B两点之间的距离为．14．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接CE．若CE＝CA，∠ACE＝40°，则∠B的度数为．15．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝6，则PD等于．三、解答题（共8小题，满分75分）16．如图，△ABC中，∠A＝50°，∠C＝72°，BD是△ABC的一条角平分线，求∠CDB的度数．17．已知一个正多边形的内角和比外角和的3倍多180°，求这个正多边形的边数和每个内角的度数．18．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，CE＝DF，∠AEC＝∠BFD．（1）求证：△ACE≌△BDF；（2）若AB＝8，CD＝4，求AC的长．19．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，试判断△ABC的形状．20．如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，BE＝DE，∠A＝∠C．（1）求证：OB＝OD．（2）求证：OE⊥BD．21．如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC．求证：∠1＝∠2．丫丫同学的证明过程如下：证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°∵∠DOB＝∠EOC，∴∠B＝∠C…第一步在△ABO和△ACO中，，∴△ABO≌△ACO…第二步∴∠1＝∠2…第三步（1）丫丫同学的证明过程中，第步出现错误；（2）请写出正确的证明过程．22．如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．（1）求证：△ADE是等边三角形．（2）判断AE与AB的数量关系，并说明理由．23．在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B．（1）如图1，若AD⊥BC于点D，∠B＝40°，∠C＝60°，则∠EAD的度数为；（只写答案，不写解答过程）（2）如图1，根据（1）的解答过程，猜想并写出∠B、∠C、∠EAD之间的数量关系且说明理由；（3）小明继续探究，如图2在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请直接写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系．

参考答案一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查了轴对称图形的概念，熟知：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴．2．下列说法正确的是（）A．多边形的边数越多，外角和越大 B．三角形的一个外角等于两个内角的和 C．直角三角形只有一条高 D．三角形的三条角平分线的交点在三角形内【分析】根据多边形的外角和，三角形的外角性质，三角形的高与三角形的角平分线的性质进行判断即可．解：多边形的外角是360°，不会因边数的增加而改变，则A不符合题意；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，则B不符合题意；直角三角形有3条高，它们交于其直角顶点，则C不符合题意；三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部，则D符合题意；故选：D．【点评】本题考查多边形外角和及三角形的相关性质，熟练掌握其性质是解题的关键．3．由于疫情，现在网课已经成为我们学习的一种主要方式，网课期间我们常常把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，如图，此手机能稳稳放在支架上利用的原理是（）A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形的内角和为180° D．垂线段最短【分析】根据三角形具有稳定性进行求解即可．解：由图可知，手机和支架组成了一个三角形，而三角形具有稳定性，所以手机能稳稳放在支架上．故选：A．【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．4．如图，已知△ABC≌△DEF（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F），若∠A＝25°，∠B＝30°，则∠F的度数是（）A．120° B．125° C．110° D．100°【分析】根据三角形的内角和定理和全等三角形的性质即可得到结论．解：∵∠A＝25°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣25°﹣30°＝125°，∵△ABC≌△DEF，∴∠F＝∠ACB＝125°，故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．5．如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD＝∠DAB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】利用三角形全等的判定证明．解：从角平分线的作法得出，△AFD与△AED的三边全部相等，则△AFD≌△AED．故选：D．【点评】考查了全等三角形的判定，关键是根据三边对应相等的两个三角形全等（SSS）这一判定定理．6．在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（）A．过C作EF∥AB B．延长AC到F，过C作CE∥AB C．过AB上一点D作DE∥BC，DF∥AC D．作CD⊥AB于点D【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．解：A．由EF∥AB，则∠ECA＝∠A，∠FCB＝∠B．由∠ECA+∠ACB+∠FCB＝180°，得∠A+∠ACB+∠B＝180°，故A不符合题意．B．由CE∥AB，则∠A＝∠FEC，∠B＝∠BCE．由∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°，得∠∠A+∠B+∠ACB＝180°，故B不符合题意．C．由ED∥BC，得∠EDF＝∠AED，∠A＝∠FDB．由ED∥CB，得∠EDA＝∠B，∠C＝∠AED，那么∠C＝∠EDF．由∠ADE+∠EDF+∠FDB＝180°，得∠B+∠A+∠C＝180°，故C不符合题意．D．由CD⊥AB于D，则∠ADC＝∠CDB＝90°，无法证得三角形内角和是180°，故D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．7．如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（）A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE【分析】根据BE＝CF求出BF＝CE，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．解：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∴当∠A＝∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合题意；当∠AFB＝∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合题意；当AB＝DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合题意；当AF＝DE时，无法证明△ABF≌△DCE，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．8．如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（）A．20° B．25° C．30° D．35°【分析】根据等边三角形的性质可得∠ABC＝60°，根据等边三角形三线合一可得∠CBD＝30°，再根据作图可知BD＝ED，进一步可得∠DEC的度数．解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°，∵BD是AC边上的高，∴BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC＝30°，∵BD＝ED，∴∠DEC＝∠CBD＝30°，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．9．在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），若以B，O，C为顶点的三角形与△ABO全等，则点C的坐标不能为（）A．（0，﹣4） B．（﹣2，0） C．（2，4） D．（﹣2，4）【分析】根据全等三角形的判定和已知点的坐标画出图形，即可得出答案．解：如图所示：∵点A（2，0），B（0，4），∴OB＝4，OA＝2，∵△BOC与△AOB全等，∴OB＝OB＝4，OA＝OC＝2，∴C1（﹣2，0），C2（﹣2，4），C3（2，4）．综上可知，点C的坐标为（﹣2，0）或（2，4）或（﹣2，4），故选：A．【点评】本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，难点在于根据点C的位置分情况讨论．10．如图，在等边△ABC中，BC边上的高AD＝5，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，EB+EF存在最小值，则这个最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】先连接CE，再根据EB＝EC，将FE+EB转化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，求得CF的长，即为FE+EB的最小值．解：如图，连接CE，∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线，∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，∴EB＝EC，∴BE+EF＝CE+EF，∴当C、F、E三点共线时，EF+EC＝EF+BE＝CF，∵等边△ABC中，F是AB边的中点，∴AD＝CF＝5，即EF+BE的最小值为5．故选：A．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称性质等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．在平面直角坐标系中，点（﹣3，5）关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣5）．【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．解：在平面直角坐标系中，点（﹣3，5）关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣5），故答案为：（﹣3，﹣5）．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的变化规律．12．已知三角形的三边长分别是3、4、x，则x的取值范围是1＜x＜7．【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案．解：根据三角形的三边关系可得：4﹣3＜x＜4+3，即1＜x＜7，故答案为：1＜x＜7．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于其它的两边的差，而小于其它两边的和．13．如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B间的距离，作线段AC与BD相交于点O，使AC＝BD，BO＝CO，测得CO＝60m，CD＝55m，则A、B两点之间的距离为55m．【分析】结合AC＝BD，AO＝DO，可得BO＝CO，再利用∠AOB＝∠DOC，即可证出△ABO≌△DCO（SAS），利用全等三角形的性质可得出AB＝CD．解：∵AC＝BD，BO＝CO＝60m，∴AO＝DO，在△ABO和△DCO中，，∴△ABO≌△DCO（SAS），∴AB＝DC＝55m．故答案为：55m．【点评】本题考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定定理SAS证出△ABO≌△DCO是解题的关键．14．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接CE．若CE＝CA，∠ACE＝40°，则∠B的度数为35°．【分析】由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠AEC的度数，利用线段垂直平分线的性质可证得∠B＝∠BCE，再根据三角形外角的性质可求解．解：∵CE＝AC，∴∠A＝∠AEC，∵∠A+∠AEC+∠ACE＝180°，∠ACE＝40°，∴∠AEC＝70°，∵DE是BC的垂直平分线，∴BE＝CE，∴∠B＝∠BCE，∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∴∠B＝35°，故答案为：35°．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．15．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝6，则PD等于3．【分析】作辅助线PE⊥OA于点E，然后根据平分线的性质可知PE＝PD，再根据平行线的性质的性质，可以得到∠ECP的度数，从而可以求得PE的长，然后根据PE＝PD可以得到PD的长，本题得以解决．解：作PE⊥OA于点E，如图所示，∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，∠AOB＝30°，∴PD＝PE，∵CP//OB，∴∠ECP＝∠AOB＝30°，∵PC＝6，∠PEC＝90°，∴PE＝3，∴PD＝3，故答案为：3．【点评】本题考查角平分线的性质、平行线的性质、含30度角的直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．三、解答题（共8小题，满分75分）16．如图，△ABC中，∠A＝50°，∠C＝72°，BD是△ABC的一条角平分线，求∠CDB的度数．【分析】先利用三角形的内角和求出∠ABC，再利用角平分线的性质求出∠ABD，最后利用三角形的外角性质求出∠CDB．解：∵∠A＝50°，∠C＝72°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣72°＝58°．∵BD是△ABC的一条角平分线，∴∠ABD＝ABC＝29°．∴∠CDB＝∠A+∠ABD＝50°+29°＝79°．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理及推论，掌握“三角形的内角和是180°”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”及角平分线的性质是解决本题的关键．17．已知一个正多边形的内角和比外角和的3倍多180°，求这个正多边形的边数和每个内角的度数．【分析】由多边形的内角和定理，外角和是360°，即可计算．解：设正多边形的边数是n，由题意得：（n﹣2）×180°＝360°×3+180°，∴n＝9，∴正多边形的每个内角的度数是180°﹣360°÷9＝140°，答：这个正多边形的边数是9，每个内角的度数是140°．【点评】本题考查多边形的有关知识，关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数），外角和是360°．18．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，CE＝DF，∠AEC＝∠BFD．（1）求证：△ACE≌△BDF；（2）若AB＝8，CD＝4，求AC的长．【分析】（1）由AE＝BF，∠AEC＝∠BFD，CE＝DF，根据“SAS”证明△ACE≌△BDF；（2）由全等三角形的性质得AC＝BD，因为AC+CD+BD＝AB，且AB＝8，CD＝4，所以AC+4+AC＝8，则AC＝2．【解答】（1）证明：在△ACE和△BDF中，，∴△ACE≌△BDF（SAS）．（2）解：∵△ACE≌△BDF，∴AC＝BD，∵AC+CD+BD＝AB，且AB＝8，CD＝4，∴AC+4+AC＝8，∴AC＝2，∴AC的长是2．【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明△ACE≌△BDF是解题的关键．19．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，试判断△ABC的形状．【分析】根据题意和全等三角形的判定，证明Rt△BED≌Rt△CFD（HL）．可得∠B＝∠C．再根据等腰三角形的判定可以证明结论．解：△ABC是等腰三角形，理由如下：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．∵BD＝CD．在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）．∴∠B＝∠C．∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20．如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，BE＝DE，∠A＝∠C．（1）求证：OB＝OD．（2）求证：OE⊥BD．【分析】（1）由“ASA”可证△ABO≌△CDO，可得OB＝OD；（2）由线段的垂直平分线的判定可得解．【解答】证明：（1）在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（ASA），∴OB＝OD；（2）∵OB＝OD，∴点O在BD的垂直平分线上，∵BE＝DE，∴点E在BD的垂直平分线上，∴OE垂直平分BD，∴OE⊥BD．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．21．如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC．求证：∠1＝∠2．丫丫同学的证明过程如下：证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°∵∠DOB＝∠EOC，∴∠B＝∠C…第一步在△ABO和△ACO中，，∴△ABO≌△ACO…第二步∴∠1＝∠2…第三步（1）丫丫同学的证明过程中，第二步出现错误；（2）请写出正确的证明过程．【分析】（1）根据全等三角形的判定定理判断；（2）证明△DOB≌△EOC，根据全等三角形的性质得到OD＝OE，再证明Rt△ADO≌Rt△AEO，得到∠1＝∠2．【解答】（1）解：小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，故答案为：二；（2）证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠BDC＝∠CEB＝90°，在△DOB和△EOC中，，∴△DOB≌△EOC（AAS），∴OD＝OE，在Rt△ADO和Rt△AEO中，，∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），∴∠1＝∠2，【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．22．如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．（1）求证：△ADE是等边三角形．（2）判断AE与AB的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．（2）根据等边三角形的性质解答即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．∴△ADE是等边三角形．（2）解：AE＝AB，理由如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC．∵BD⊥AC交AC于点D，∴AD＝CD＝AC＝AB，∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD．∴AE＝AB．【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．23．在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B．（1）如图1，若AD⊥BC于点D，∠B＝40°，∠C＝60°，则∠EAD的度数为10°；（只写答案，不写解答过程）（2）如图1，根据（1）的解答过程，猜想并写出∠B、∠C、∠EAD之间的数量关系且说明理由；（3）小