2023-2024学年济南市育英中学数学高三第一学期期末综合测试模拟试题含解析

2023-2024学年济南市育英中学数学高三第一学期期末综合测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．半径为2的球内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（）A． B． C． D．2．如图，双曲线的左，右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为（）A． B．C． D．3．设函数定义域为全体实数，令．有以下6个论断：①是奇函数时，是奇函数；②是偶函数时，是奇函数；③是偶函数时，是偶函数；④是奇函数时，是偶函数⑤是偶函数；⑥对任意的实数，．那么正确论断的编号是（）A．③④ B．①②⑥ C．③④⑥ D．③④⑤4．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（）A． B． C． D．5．为得到y=sin(2x-πA．向左平移π3个单位B．向左平移πC．向右平移π3个单位D．向右平移π6．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的的值为，则输入的的值为（）A． B． C． D．7．已知圆关于双曲线的一条渐近线对称，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．8．若复数满足，则（）A． B． C．2 D．9．已知集合，若，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．10．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A．48 B．72 C．90 D．9611．已知全集，则集合的子集个数为（）A． B． C． D．12．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围有___________.14．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x轴上，且=,那么椭圆的方程是．15．在边长为2的正三角形中，，则的取值范围为______.16．的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线、的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于、两点（异于极点），定点，求的面积18．（12分）已知动圆过定点，且与直线相切，动圆圆心的轨迹为，过作斜率为的直线与交于两点，过分别作的切线，两切线的交点为，直线与交于两点．（1）证明：点始终在直线上且；（2）求四边形的面积的最小值．19．（12分）如图，四棱锥的底面中，为等边三角形，是等腰三角形，且顶角，，平面平面，为中点.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值大小.20．（12分）的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，点为边的中点，且，求的面积.21．（12分）为提供市民的健身素质，某市把四个篮球馆全部转为免费民用（1）在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从四场馆的使用场数中依次抽取共25场，在中随机取两数，求这两数和的分布列和数学期望；（2）设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为，其相应维修费用为元，根据统计，得到如下表的数据：x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求与的回归直线方程；②叫做篮球馆月惠值，根据①的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时的值参考数据和公式：，22．（10分）某社区服务中心计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶7元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：摄氏度℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间，需求量为500瓶；如果最高气温低于20，需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温天数414362763以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为（单位：瓶）时，的数学期望的取值范围？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，利用，可得，进一步得到侧面积，再利用基本不等式求最值即可.【详解】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，则，在中，，化为，，，当且仅当时取等号，此时.故选：B.【点睛】本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题.2、A【解析】

易得，过B作x轴的垂线，垂足为T，在中，利用即可得到的方程.【详解】由已知，得，过B作x轴的垂线，垂足为T，故，又所以，即，所以双曲线的离心率.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到的方程或不等式，本题属于容易题.3、A【解析】

根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性并证明.【详解】当是偶函数，则，所以，所以是偶函数；当是奇函数时，则，所以，所以是偶函数；当为非奇非偶函数时，例如：，则，，此时，故⑥错误；故③④正确.故选：A【点睛】本题考查了函数的奇偶性定义，掌握奇偶性定义是解题的关键，属于基础题.4、D【解析】

首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及的关系，最终得出选项．【详解】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：，此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，，故选D．【点睛】题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题．解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．5、D【解析】试题分析：因为，所以为得到y=sin(2x-π3)的图象，只需要将考点：三角函数的图像变换．6、C【解析】

根据程序框图依次计算得到答案.【详解】，；，；，；，；，此时不满足，跳出循环，输出结果为，由题意，得．故选:【点睛】本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.7、C【解析】

将圆，化为标准方程为，求得圆心为.根据圆关于双曲线的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，.再根据求解.【详解】已知圆，所以其标准方程为：，所以圆心为.因为双曲线，所以其渐近线方程为，又因为圆关于双曲线的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，所以.所以.故选：C【点睛】本题主要考查圆的方程及对称性，还有双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8、D【解析】

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算.【详解】解：由题意知，，，∴，故选：D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法.9、A【解析】

解一元二次不等式化简集合的表示，求解函数的定义域化简集合的表示，根据可以得到集合、之间的关系，结合数轴进行求解即可.【详解】，.因为，所以有，因此有.故选：A【点睛】本题考查了已知集合运算的结果求参数取值范围问题，考查了解一元二次不等式，考查了函数的定义域，考查了数学运算能力.10、D【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时，共有•=72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有=24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种故答案为：96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．11、C【解析】

先求B.再求，求得则子集个数可求【详解】由题=,则集合,故其子集个数为故选C【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算及子集个数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，是基础题12、C【解析】

根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.【详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.此时椭圆长轴长为，短轴长为6，所以椭圆离心率，所以.故选：C【点睛】本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、或【解析】

函数的零点方程的根，求出方程的两根为，，从而可得或，即或.【详解】函数在区间的零点方程在区间的根，所以，解得：，，因为函数在区间上有且仅有一个零点，所以或，即或.【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，在求含绝对值方程时，要注意对绝对值内数的正负进行讨论.14、【解析】

由题意可设椭圆方程为：∵短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在轴上∴又，∴，∴椭圆的方程为，故答案为．考点：椭圆的标准方程，解三角形以及解方程组的相关知识．15、【解析】

建立直角坐标系，依题意可求得，而，，，故可得，且，由此构造函数，，利用二次函数的性质即可求得取值范围．【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，设，，，，根据，即，，，则，，即，，，则，，所以，，，，，，且，故，设，，易知二次函数的对称轴为，故函数在，上的最大值为，最小值为，故的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意通过设元、消元，将问题转化为元二次函数的值域问题．16、【解析】

求出二项展开式的通项，令指数为零，求出参数的值，代入可得出展开式中的常数项；求出项的系数，利用作商法可求出系数最大的项.【详解】的展开式的通项为，令，得，所以，展开式中的常数项为；令，令，即，解得，，，因此，展开式中系数最大的项为.故答案为：；.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的求解，同时也考查了系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）.【解析】

（1）先把参数方程化成普通方程，再利用极坐标的公式把普通方程化成极坐标方程；（2）先利用极坐标求出弦长，再求高，最后求的面积．【详解】（1）曲线的极坐标方程为：，因为曲线的普通方程为：，曲线的极坐标方程为；（2）由（1）得：点的极坐标为，点的极坐标为，，点到射线的距离为的面积为.【点睛】本题考查普通方程、参数方程与极坐标方程之间的互化，同时也考查了利用极坐标方程求解面积问题，考查计算能力，属于中等题.18、（1）见解析（2）最小值为1．【解析】

（1）根据抛物线的定义，判断出的轨迹为抛物线，并由此求得轨迹的方程.设出两点的坐标，利用导数求得切线的方程，由此求得点的坐标.写出直线的方程，联立直线的方程和曲线的方程，根据韦达定理求得点的坐标，并由此判断出始终在直线上，且.（2）设直线的倾斜角为，求得的表达式，求得的表达式，由此求得四边形的面积的表达式进而求得四边形的面积的最小值．【详解】(1)∵动圆过定点，且与直线相切，∴动圆圆心到定点和定直线的距离相等，∴动圆圆心的轨迹是以为焦点的抛物线，∴轨迹的方程为：，设，∴直线的方程为：，即：①，同理，直线的方程为：②，由①②可得：，直线方程为：，联立可得：，，∴点始终在直线上且；（2）设直线的倾斜角为，由（1）可得：，，∴四边形的面积为：，当且仅当或，即时取等号，∴四边形的面积的最小值为1.【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中四边形面积的最值的计算，考查运算求解能力，属于中档题.19、（1）见解析；（2）【解析】

（1）设中点为，连接、，首先通过条件得出，加，可得，进而可得平面，再加上平面，可得平面平面，则平面；（2）设中点为，连接、，可得平面，加上平面，则可如图建立直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：设中点为，连接、，为等边三角形，，，，，，即，，，平面，平面，平面，为的中位线，，平面，平面，平面，、为平面内二相交直线，平面平面，平面DMN，平面；（2）设中点为，连接、为等边三角形，是等腰三角形，且顶角，，、、共线，，，，，平面平面.平面平面平面，交线为，平面平面.设，则在中，由余弦定理，得：又，，，，，为中点，，建立直角坐标系（如图），则，，，.，，设平面的法向量为，则，，取，则，，平面的法向量为，，二面角为锐角，二面角的余弦值大小为.【点睛】本题考查面面平行证明线面平行，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力和空间想象能力，是中档题.20、（1）；（2）.【解析】

(1)利用正弦定理边化角,再利用余弦定理求解即可.(2)为为的中线,所以再平方后利用向量的数量积公式进行求解,再代入可解得,再代入面积公式求解即可.【详解】（1）