4.3.3等比数列的前n项和 原卷版

4.3.3等比数列的前n项和【考点梳理】考点一：等比数列的前n项和公式已知量首项、公比与项数首项、公比与末项求和公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)q≠1，,na1q＝1))Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a1－anq,1－q)q≠1，,na1q＝1))考点二：等比数列前n项和的性质1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，eq\f(S偶,S奇)＝q；②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1)．考点三：等比数列前n项和的实际应用1．解应用问题的核心是建立数学模型．2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型．3．注意问题是求什么(n，an，Sn)．注意：(1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答．(2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确．(3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．(4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求．【题型归纳】题型一：等比数列前n项和公式的基本运算1．（2023上·云南·高三云南师大附中校考）已知数列为等比数列，为的前项和，且，，则（

）A．8 B．5 C．6 D．72．（2023上·山东济南·高三统考开学考试）记为等比数列的前项和，若，，则（

）A． B． C．85 D．1203．（2023上·高二课时练习）已知数列为等比数列，前n项和为．(1)如果，，求；(2)如果，，求q；(3)如果，，求．题型二：等比数列的片段和性质的应用4．（2023上·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）已知等比数列的前n项和为45，前2n项和为60，则其前3n项和为（

）A．65 B．80 C．90 D．1055．（2023下·河南洛阳·高二校联考阶段练习）设等比数列的前项和为，若，则（

）A． B． C． D．36．（2023下·湖北宜昌·高二校联考期中）已知等比数列的前项和为，且，若，，则（

）A．27 B．45 C．65 D．73题型三：等比数列奇偶项和的性质7．（2023上·重庆·高二重庆一中校考期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（

）A．2 B．3 C．4 D．58．（2018上·安徽池州·高三统考期末）已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（

）A．15 B．30C．45 D．609．（2022上·山东聊城·高三山东聊城一中校考期末）已知等比数列的公比，且，则.题型四：等比数列中前Sn和与其它知识交汇问题10．（2023下·河南·高二河南大学附属中学校考期中）数列的前n项和，数列的前n项和为，则=（

）A．192 B．190 C．180 D．18211．（2022上·江苏连云港·高二期末）在等比数列中，，．设t为实数，为该数列的前2n项和，为数列的前n项和，且，则t的值为

（

）A． B．2 C．3 D．412．（2020上·河南郑州·高二郑州外国语学校校考期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（

）A．

B．

C．的最大值为

D．的最大值为题型五：等比数列的简单应用13．（2023上·江苏扬州·高二统考期中）在我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍.已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少尺？”该女子第一天织布的尺数是（

）A． B． C． D．14．（2023上·广东广州·高三广州市第七中学校考阶段练习）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案.设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、②、③、④……中图形的周长依次记为，得到数列.设数列的前项和为，若时，则的最小值为（

）（参考数据：，）A．5 B．8 C．10 D．1215．（2023·山东青岛·山东省青岛第五十八中学校考一模）云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成一个数列，则的值为（

）A．8 B．10 C．12 D．16题型六：等比数列前n项和综合问题16．（2023上·安徽阜阳·高二阜阳市第三中学校考期中）已知首项为1的正项等比数列，且成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，求的最小值.17．（2023上·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）已知数列是单调递增的等比数列，数列是等差数列，且．(1)求数列与数列的通项公式；(2)求数列的前项和．18．（2023上·山东青岛·高二统考期中）已知非零数列满足.(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的前项和.【双基达标】一、单选题19．（2023上·江苏苏州·高二统考期中）已知，，（，），为其前项和，则（

）A． B． C． D．20．（2023上·福建·高二统考期中）若数列满足，，则（

）A．511 B．1023 C．1025 D．204721．（2023上·山东青岛·高二统考期中）设是数列的前项和，,，，，则（

）A． B． C． D．22．（2023上·甘肃甘南·高二校考期中）已知为等比数列的前项和，若，则（

）A．3 B．6 C．9 D．1223．（2023·吉林·统考一模）在等比数列中，，，则（

）A． B． C． D．1124．（2023下·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）如果某人在听到喜讯后的1h内将这一喜讯传给2个人，这2个人又以同样的速度各传给未听到喜讯的另2个人……，如果每人只传2人，这样继续下去，要把喜讯传遍一个有2047人（包括第一个人）的小镇，所需时间为（

）A．8h B．9h C．10h D．11h25．（2023下·河南驻马店·高二统考期中）已知数列满足是数列的前项和，则（

）A． B． C． D．26．（2023上·北京·高二校联考期中）已知数列是等比数列，满足，，数列满足，，设，且是等差数列.(1)求数列和的通项公式；(2)求的通项公式和前项和.27．（2023上·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期中）等差数列满足：首项为2，公差为是的前项和.(1)求数列的通项公式.(2)求数列的前项和.28．（2023上·江苏盐城·高二校考期中）记为数列的前项和，为数列的前项和，若且.(1)证明：数列是等比数列；(2)若成立，求的最小值.【高分突破】一、单选题29．（2023下·江苏南通·高二期末）已知数列满足，在和之间插入n个1，构成数列：，则数列的前18项的和为（

）A．43 B．44 C．75 D．7630．（2023下·贵州毕节·高二校考阶段练习）已知公比为2的等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（

）A．31 B．63 C．64 D．12731．（2023下·辽宁沈阳·高二校联考期中）已知等比数列为递增数列，若，且与的等差中项为20，则数列的前项和为（

）A． B． C． D．，按复利计算，则小华每期付款金额约为（

）（参考数据：，，）A．764元 B．875元 C．883元 D．1050元33．（2023下·江西赣州·高二统考期末）已知数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是（

）A．数列为等比数列 B．数列为等比数列C． D．二、多选题34．（2023上·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）已知等比数列前n项和为，则下列不成立的是（

）A．若，则； B．若，则；C．若，则； D．若，则．35．（2023上·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知等比数列的前n项和为，若，，则数列的公比可能是（

）A． B． C． D．36．（2023上·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）某高中通过甲、乙两家餐厅给1920名学生提供午餐，通过调查发现：开学后第一天有的学生到甲餐厅就餐，剩余的学生到乙餐厅就餐，从第二天起，在前一天选择甲餐厅就餐的学生中，次日会有的学生继续选择甲餐厅，在前一天选择乙餐厅就餐的学生中，次日会有的学生选择甲餐厅．设开学后第n天选择甲餐厅就餐的学生比例为，则（

）A．B．是等比数列C．第100天选择甲餐厅就餐的学生比例约为D．开学后第一个星期（7天）中在甲餐厅就过餐的有5750人次37．（2023下·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）已知是数列的前n项和，．下列结论正确的是（

）A．若是等差数列，则B．若是等比数列，则C．若是等差数列，则公差D．若是等比数列，则公比是2或－238．（2023上·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）对于数列，设其前项和，则下列命题正确的是（

）A．若数列为等比数列，成等差，则也成等差B．若数列为等比数列，则C．若数列为等差数列，且，则D．若数列为等差数列，且，则中任意三项均不能构成等比数列39．（2023下·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）数列满足，若，则（

）A． B．C．的前n项和为 D．的前n项和为三、填空题40．（2023上·江苏盐城·高二校考期中）两个等比数列，的前n项和分别为和，已知，则．41．（2023上·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期中）我国古代数学著作《算法统宗》记载：遥望巍巍塔七层，灯光点点倍加增.意思是：总共七层，相邻两层，下一层灯数是上一层灯数的两倍.若要满足总灯数不少于千灯，则顶层最少盏灯.42．（2023上·甘肃酒泉·高二敦煌中学校联考期中）已知等比数列的前项和为，则．43．（2023上·上海·高二校考期中）在等比数列中，若，，则．44．（2023上·安徽淮北·高二校考期中）小明用数列记录某地区2023年8月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记，当第k天没下过雨时，记，他用数列记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记，当预报第k天没有雨时，记记录完毕后，小明计算出，那么该月气象台预报准确的总天数为.四、解答题45．（2023上·江苏苏州·高二统考期中）已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列．(1)求数列的通项公式；