课时验收评价(五十) 立体几何中的动态问题

PAGE第5页共7页课时验收评价(五十)立体几何中的动态问题1.(2022·新乡一模)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点H在棱AA1上，且HA1＝1，P是侧面BCC1B1内一动点，HP＝eq\r(,13)，则CP的最小值为()A.eq\r(,13)－2 B.eq\r(,13)－3C.eq\r(,15)－2D.eq\r(15)－3解析：选A如图，作HG⊥BB1交BB1于点G，则可得HG⊥平面BCC1B1，因为GP⊂平面BCC1B1，所以HG⊥GP，则HG＝3，因为HP＝eq\r(,13)，所以GP＝2，所以点P的轨迹是以G为圆心，2为半径的圆弧，所以CP的最小值为CG－2＝eq\r(,13)－2.故选A.2．(2022·韶关一模)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为底面正方形ABCD内的一动点，若三角形APC1的面积S＝eq\f(1,2)，则动点P的轨迹是()A．圆的一部分 B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分解析：选D设d是三角形APC1边AC1的高，S△APC1＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AC1))·d＝eq\f(\r(,3),2)d＝eq\f(1,2)，所以d＝eq\f(\r(,3),3)，即点P到直线AC1的距离为定值eq\f(\r(,3),3)，所以点P在以直线AC1为轴，以eq\f(\r(,3),3)为底面半径的圆柱侧面上，直线AC1与平面ABCD既不平行也不垂直，所以点P的轨迹是平面ABCD上的一个椭圆，其中只有一部分在正方形ABCD内．故选D.3.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱AB的中点，动点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，总有AP⊥D1M，则动点PA.eq\f(\r(,2),2) B.eq\f(\r(,5),2)C.eq\f(π,16) D.eq\f(\r(,3),2)解析：选A如图，分别取BC，BB1的中点E，F，连AE，AF，EF，A1M，DM，A1F，因为M为AB的中点，E为BC的中点，四边形ABCD为正方形，所以DM⊥AE，又D1D⊥平面ABCD，所以D1D⊥AE，而DM∩D1D＝D，所以AE⊥平面D1DM，所以D1M⊥AE，同理可得D1M⊥AF，又AE∩AF＝A，所以D1M⊥平面AEF，因为AP⊂平面AEF，所以AP⊥D1M，因为动点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，所以动点P的轨迹是线段EF，而EF＝eq\f(\r(2),2)，所以动点P的轨迹的长度为eq\f(\r(,2),2).故选A.4.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F是线段A1C1上的两个动点，且EFA．BD⊥CEB．BD⊥面CEFC．三角形BEF和三角形CEF的面积相等D．三棱锥B-CEF的体积为定值解析：选CBD⊥面ACC1A1，CE⊂面ACC1A1，面CEF与面ACC1A1重合，所以A、B均正确；B到EF的距离为△BA1C1的高，C到EF的距离即为CC1，显然△BEF的面积大于△CEF的面积，C错误；B点到面CEF的距离为定值，为eq\f(BD,2)长，△CEF5．已知点A，B，C在半径为5的球面上，且AB＝AC＝2eq\r(,14)，BC＝2eq\r(,7)，P为球面上的动点，则三棱锥P-ABC体积的最大值为()A.eq\f(56\r(7),3) B.eq\f(52\r(7),3)C.eq\f(49\r(7),3)D.eq\f(14\r(,7),3)解析：选A如图，M是△ABC的外心，O是球心，OM⊥平面ABC，当P是MO的延长线与球面交点时，P到平面ABC距离最大，由AB＝AC＝2eq\r(,14)，BC＝2eq\r(,7)，得cos∠ACB＝eq\f(\r(,7),2\r(,14))＝eq\f(\r(,2),4)，则sin∠ACB＝eq\f(\r(,14),4)，2AM＝eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(2\r(,14),\f(\r(,14),4))＝8，AM＝4，OM＝eq\r(,OA2－AM2)＝eq\r(,52－42)＝3，PM＝3＋5＝8，又S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC·sin∠ACB＝eq\f(1,2)×2eq\r(,14)×2eq\r(,7)×eq\f(\r(,14),4)＝7eq\r(,7)，所以最大的VP-ABC＝eq\f(1,3)×7eq\r(,7)×8＝eq\f(56\r(,7),3).故选A.6．(2022·临汾一模)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面α⊥B1D，则以平面α截正方体所得的截面面积最大时的截面为底面，以B1A．12π B.eq\f(25π,3)C.eq\f(20π,3) D．6π解析：选B如图，由正方体的对称性，可知当截面为正六边形EFGHKI时，截面面积最大，此时正六边形的边长为eq\r(,2)，设B1D交截面EFGHKI于M，则M为B1D的中点，所以B1M＝eq\f(1,2)B1D＝eq\r(,3)，设正六棱锥外接球的球心为O，外接球半径为R，当球心在棱锥内部时，有R2＝(eq\r(2))2＋(eq\r(3)－R)2，解得R＝eq\f(5,2\r(3))，外接球表面积为4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2\r(3))))2＝eq\f(25π,3)；当球心在棱锥外部时，有R2＝(eq\r(2))2＋(R－eq\r(3))2，解得R＝eq\f(5,2\r(3))＜eq\r(3)(舍去)．所以以B1为顶点的锥体的外接球的表面积为eq\f(25π,3).故选B.7．在梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC＝2CB，将△BDC沿BD折起，使C到C′的位置(C与C′不重合)，E，F分别为线段AB，AC′的中点，H在直线DC′上，那么在翻折的过程中，下列说法错误的是()A．DC′与平面ABD所成角的最大值为eq\f(π,6)B．F在以E为圆心的一个定圆上C．若BH⊥平面ADC′，则eq\o(DH,\s\up7(→))＝3eq\o(C′H,\s\up7(→))D．当AD⊥平面BDC′时，四面体C′­ABD的体积取得最大值解析：选B如图，在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AB＝2AD＝2DC＝2CB，E是AB的中点，所以CD∥BE，CD＝BE，所以四边形BCDE是菱形，所以BC＝DE，由于AD＝DE＝AE，所以三角形ADE是等边三角形，所以DE＝eq\f(1,2)AB，故AD⊥BD，∠BDC＝∠DBC＝eq\f(π,6).在将△BDC沿BD翻折至△BDC′的过程中，∠BDC，∠DBC的大小保持不变，由线面角的定义可知，DC′与平面ABD所成角的最大值为eq\f(π,6)，故A正确；因为∠DBC大小不变，所以在翻折的过程中，C′的轨迹在以BD为轴的一个圆锥的底面圆周上，而EF是△ABC′的中位线，所以点F的轨迹在一个圆锥的底面圆周上，但此圆的圆心不是点E，故B不正确；当BH⊥平面ADC′时，BH⊥DH.因为∠HC′B＝eq\f(π,3)，所以DC′＝BC′＝2C′H，所以eq\o(DH,\s\up7(→))＝3eq\o(C′H,\s\up7(→))，故C正确；在翻折的过程中，△BC′D的面积不变，所以当AD⊥平面BDC′时，四面体C′­ABD的体积取得最大值，故D正确．9．已知母线长为6的圆锥的顶点为S，点A，B为圆锥的底面圆周上两动点，当SA与SB所夹的角最大时，锐角△ASB的面积为8eq\r(,2)，则此时圆锥的体积为________．解析：设底面半径为r，当SA与SB所夹的角最大时，AB为底面圆的直径，此时S△SAB＝eq\f(1,2)×6×6×sin∠ASB＝8eq\r(,2)，解得sin∠ASB＝eq\f(4\r(,2),9)，∵△ASB为锐角三角形，∴cos∠ASB＝eq\r(,1－sin2∠ASB)＝eq\f(7,9)，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2r))2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))2＝62＋62－2×6×6×eq\f(7,9)＝16，解得r＝2，则圆锥的体积为eq\f(1,3)×π×22×eq\r(,62－22)＝eq\f(16\r(,2)π,3).答案：eq\f(16\r(,2)π,3)10．已知三棱锥P-ABC中，AP，AB，AC三条棱两两垂直，且长度均为2eq\r(,3)，以顶点P为球心，4为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为________．解析：由题可知AP，AB，AC三条棱两两垂直，且长度均为2eq\r(,3)，如图，所以PC＝PB＝BC＝eq\r(2×2\r(3)2)＝2eq\r(6)，AM＝AF＝eq\r(42－2\r(3)2)＝2，所以tan∠APF＝tan∠APM＝eq\f(2,2\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，则∠APF＝∠APM＝eq\f(π,6)，所以∠EPF＝∠CPM＝eq\f(π,12)，则＝＝eq\f(π,12)×4＝eq\f(π,3)，＝eq\f(π,3)×4＝eq\f(4π,3)，＝eq\f(π,2)×2＝π，所以球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为eq\f(π,3)×2＋eq\f(4π,3)＋π＝3π.答案：3π11．乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，2000年之后国际比赛用球的直径为40mm.现用一个底面为正方形的棱柱盒子包装四个乒乓球，为倡导环保理念，则此棱柱包装盒(长方体)表面积的最小值为______cm2.(忽略乒乓球及包装盒厚度)解析：设A，B，C，D是四个球的球心，以下面积单位是cm2.①A，B，C，D四点共线，则S＝2×42＋4×4×16＝288.②A，B，C，D四点构成一个正方形，则S＝2×82＋4×8×4＝256.③A，B，C，D四点构成一正四面体，如图，设E是△BCD中心，则AE⊥平面BCD，AE⊥BE，BE＝eq\f(\r(,3),3)×4＝eq\f(4\r(,3),3)，AE＝eq\r(,42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(,3),3)))2)＝eq\f(4\r(,6),3)，所用的盒子为正四棱柱，即正方体，棱长为eq\f(4\r(,6),3)＋4，表面积为S＝6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(4\r(,6),3)))2＝32(5＋2eq\r(,6))＞256.比较可得表面积最小值为256cm2.答案：25612．(2022·六安示范高中质检)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，DE⊥AB，垂足为E.现将△ABC沿AD折起，使得BC⊥BD，若三棱锥A-BCD外接球的球心为O，半径为1，则△DOE面积的最大值为________．解析：如图所示，取AC中点为F，DC中点为G，连接FD，FE，FG，∴FG∥AD，∵BC⊥BD，∴G到B，C，D的距离相等．同理，F到A，C，D的距离相等．∵在原图中AD⊥BC，∴折叠后AD⊥DC，AD⊥BD，∴AD⊥平面BCD，∴FG⊥平面BCD，且FD＝FB＝FC＝FA，∴F即为三棱锥A-BCD外接球的球心为O，∵BC