几类基本不等式及其应用

握情况的重要内容.学生在学习高等数学过程中，掌握并能够正确的运用基本不于不等式的研究，向着更加高深、复杂，并且多用，能够为高数不等式教学提供参考和借鉴.当且仅当两数值相等时，即a=b，等号成立.2(a+b)2(a+b)2基本不等式可以用于比较实数大小或证明不等式、求最值、求取值范围等.已知a>0，b>0，a+b=1，证明a++b+≤2.x.xx.x(1)(1)(1)(1)11x当且仅当x=─时，即x=8时，取等号.)取最小值，为36.xxx+yxx例3求取值范围.x+yx+yx+yx+y2=x式之一.2n…a≤1++…+均值不等式主要应用在极限的证明、求极限等.n<(.（n)（k)（n)（k)k（n)（k)（n)（k)k.（k+1)（n+1)（n)（k).n（n)（n)（n)（k)（k)（n)（n)（n)（k)成立.n（n)（n)（k)（k)（n)（n)（n)n（n)--n+2=(（n)（n)n+1（n)n-++-1−lnn为收敛，其极限值为Euler数.例5求极限limnn.n则n在不等式的应用中，在涉及到重量、面积、到原点之间的距离叫做数a的绝对值.性质.绝对值不等式主要应用于最值的求解、求取值范围等.21-b2l的最大值为M，若M≥k对任意的b、c恒成立，求k的最大值.解将函数f(x)进行化简，得出f(x)=x－b+—1+b+c若1-b-1-b（1-b)（-1-b)43因此当b<−2时，M≥-.3若||)(m>0,n>0)可以将c消除，得出2(m+n)M≥n+n+m+m-2(m+n)，l-1，因此k的最大值为2－1.例7求取值范围.使得不等式f(x0)≥M成立，求实数M的取值范围.运用绝对值不等式，将参数a,b将消除，则设再运用待定系数法，将m、n、k值求出，则为16M≥51-a-b+33-9a-b+82-4a-b8即M的最大值为，此时a=，b=80定理1设函数f(x)在a存在n阶导数，则Vxnn)此式称为麦克劳林公式.2f(n+1f()，0<θ<1.计算、判断反常积分及级数敛散性.开时中，进行简单计算验证本题.22≤πM.4设f(x,y)在点(0,0)，运用泰勒公式展开到二阶，并且已知f2+2f2+f2≤M，将记则2f2+2f2+f2≤M，22≤M，2+22+2)-例9求函数极限.2-x)才能够计算出结果，计算量较为庞大，而运用泰勒公式，则运算过程较为简单.--1--21--232-x(x)(x)(x)(x)((()2-x)limf(x)中，要运用泰勒公式，将非零因子项（乘或者除项）进行转换，再通行这类题目的计算过程中，注意到这些原理有助于提高计算的准确度.(2(2解,，,，(,，,，((2(2((2(2(θ)((3(2(2xx行近似值计算，可以依据题目中精确度要求展开至合适的阶数.2xx-x2（x)(θ)sin|(θ)2(θ)1(θ)即当x=501时，满足题目中的假设条件解.并根据题目中对精确度的具体要求，来确定泰勒展开式的阶数.22=1+0.32+0.0352+0.001152+0.论.---1]-xx-极限值进行敛散性的判断，在这种情况下，将在x=0处进行泰勒展开，是x一种简单且十分快速有效的求解方法.--1]---1]--=(该式与-1x1-|0-|0则--1.（x2)--1]②设a=(|1-plnn)|n，判断Σa的敛散性.n(~n-pn2)Σb2)).bnv向量a，β,则有(a，β)≤a·βI-3,2,,等式证明.1─a+b,证明++31bbaasin2a=—a=—b4+..2—++—aa==1a1a即11a1221—+…+—an+…+─—+…+—aaA2+B2+C20-平面a的距离.aaA220-22000A2+B2+C2在施瓦茨不等式的应用中，可以在实数域、到应用.式ΣΣ都收敛，则对vneN有不等·Σamam，)jf证明已知函数f(x)定义在区间[a,b]上，且连续（jeN将[a,b]区间ji